Verdadeiro ou Falso (10 pontos)
Indique se as seguintes afirmações são Verdadeiras (V) ou Falsas (F):
7. No Método Iterativo Linear, a escolha de uma má aproximação inicial pode levar à divergência do método.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pergunta:
“Verdadeiro ou Falso: No Método Iterativo Linear, a escolha de uma má aproximação inicial pode levar à divergência do método.”
Conteúdo envolvido: método iterativo linear para resolver sistemas do tipo
e o critério de convergência baseado no raio espectral da matriz . Para resolver, vamos precisar entender o conceito de raio espectral e como ele determina se a sequência converge ou diverge, independentemente de qual for .
Passo 2
O Método Iterativo Linear gera uma sequência
pela regra
Aqui, é uma matriz fixa e um vetor. A teoria diz que essa sequência só converge (para a solução do sistema) se o raio espectral de , denotado por
satisfizer
Isso significa, basicamente, que “aperta” (é uma aplicação contrativa) e faz a diferença ficar cada vez menor.
Passo 3
Agora, o ponto-chave:
Se , o método converge para qualquer. Não importa se você começou com um chute maluco: ele vai se “ajustar” e chegar na solução.
Se , o método diverge para qualquer. Não há inicialização que salve.
Ou seja, o que determina convergência ou não é a matriz , e não o chute inicial. Você não consegue fazer um método que é instável (com ) convergir só por escolher bem , nem fazer um método estável divergir escolhendo mal .