Verdadeiro ou Falso (10 pontos)
Indique se as seguintes afirmações são Verdadeiras (V) ou Falsas (F):
7. (V) No Método Iterativo Linear, a escolha de uma má aproximação inicial pode levar à divergência do método.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pergunta:
“Verdadeiro ou Falso: No Método Iterativo Linear, a escolha de uma má aproximação inicial pode levar à divergência do método.”
Conteúdo envolvido: método iterativo linear para resolver sistemas do tipo
x^(k+1) ;=; M,x^(k) + c,
e o critério de convergência baseado no raio espectral da matriz . Para resolver, vamos precisar entender o conceito de raio espectral e como ele determina se a sequência converge ou diverge, independentemente de qual for .

Passo 2

O Método Iterativo Linear gera uma sequência
x^(0),; x^(1),; x^(2),;dots
pela regra
x^(k+1) ;=; M,x^(k) + c
Aqui, rho(M) ;=; max,|lambda| : lambda é autovalor de M, é uma matriz fixa e rho(M) < 1 um vetor. A teoria diz que essa sequência só converge (para a solução do sistema) se o raio espectral de , denotado por
é
satisfizer
Isso significa, basicamente, que “aperta” (é uma aplicação contrativa) e faz a diferença ficar cada vez menor.

Passo 3

Agora, o ponto-chave:
  • Se , o método converge para qualquer . Não importa se você começou com um chute maluco: ele vai se “ajustar” e chegar na solução.
  • Se , o método diverge para qualquer . Não há inicialização que salve.
Ou seja, o que determina convergência ou não é a matriz , e não o chute inicial. Você não consegue fazer um método que é instável (com ) convergir só por escolher bem , nem fazer um método estável divergir escolhendo mal .

Resposta

F
(A afirmação é falsa.)

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