Verifique se a matriz A é simétrica definida positiva.
Resolva o SEL A x=b.
Calcule \operatorname{det}(A) e, se possível, A^{-1}.
A=\left(\begin{array}{rrrrr} 6 & 2 & -1 & -1 & 1 \\\\ -6 & -4 & 0 & 2 & 0 \\\\ 3 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\\ -6 & 0 & 2 & 1 & -3 \\\\ 3 & 0 & -1 & 1 & 4 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{r} -1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ 0 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre a matriz
A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & -1 & -1 & 1\\\\ -6 & -4 & 0 & 2 & 0\\\\ 3 & 0 & -1 & 0 & 1\\\\ -6 & 0 & 2 & 1 & -3\\\\ 3 & 0 & -1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \quad\text{e o vetor}\quad b = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ -1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. Verificar se A é simétrica definida positiva.
  2. Resolver o sistema linear A x = b.
  3. Calcular \det(A).
  4. Se possível, encontrar A^{-1}.

Passo 2

Para ser simétrica definida positiva, A primeiro precisa ser simétrica, ou seja \,A = A^T. Porém
A_{12} = 2 \neq A_{21} = -6,
logo A não é simétrica. Consequentemente não pode ser definida positiva.

Passo 3

Vamos resolver A x=b por eliminação de Gauss. A forma escalonada obtida é
\begin{pmatrix} 6 & 2 & -1 & 0 & 0 &\vline& -4\\\\ 0 & -2 & -1 & 0 & 0 &\vline& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 &\vline& -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 &\vline& 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{pmatrix},
onde as linhas correspondem às equações após as operações elementares.

Passo 4

Fazendo a retrosubstituição, obtemos
\begin{cases} 4\,x_{5} = 4 \;\Rightarrow\; x_{5} = 1,\\\ x_{4} = -2,\\\\ -2\,x_{2} - x_{3} = 0 \;\Rightarrow\; x_{2} = -\tfrac12\,x_{3},\\\\ 6\,x_{1} + 2\,x_{2} - x_{3} = -4 \;\Rightarrow\; x_{1} = \tfrac13\,x_{3} - \tfrac23. \end{cases}
Chamando x_{3} = t (parâmetro livre), a solução geral é
x = \begin{pmatrix} \tfrac13\,t - \tfrac23\\\\ -\tfrac12\,t\\\ t\\\\ -2\\\\ 1 \end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Como surgiu uma linha zero com termo independente zero, o sistema é compatível indeterminado. Além disso, vimos que \det(A) sai zero (rank <5), logo
\det(A)=0
e A é singular. Portanto não existe A^{-1}.

Resposta

A não é simétrica e nem definida positiva.
A solução de A x=b é
x = \bigl(\tfrac13\,t - \tfrac23,\,-\tfrac12\,t,\,t,\,-2,\,1\bigr)^T,\quad t\in\mathbb{R}. \det(A)=0, logo A^{-1} não existe.

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