Exercícios Resolvidos de Extensão de Funções

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Enunciado

( a ) Apresente a extensão par da função

f x = 0 ,     0 ≤ x < 1 1 ,     1 ≤ x < 2 2 ,     2 ≤ x < 3

e esboce o gráfico no intervalo - 3 < x < 3 .

Passo 1

Antes de começar o exercício propriamente dito, é primordial aqui você começar com a seguinte reflexão, meu caro filósofo:

“O que é uma função par?”

Poxa, funções pares, lá da teoria, é uma função que tem uma reflexão no eixo y . A função x 2 é uma função par, pois olha o gráfico dela:

O que vamos ter que fazer, basicamente é colocar a nossa função f x com esse tipo de reflexão (ao redor do eixo y ). Assim ela se torna par!

Outra boa pergunta então a se fazer agora é: quem é a nossa função f x ?

Passo 2

A melhor forma de saber quem é uma função, é desenhando, então vamos lá!

f x = 0 ,     0 ≤ x < 1 1 ,     1 ≤ x < 2 2 ,     2 ≤ x < 3

Essa é a nossa função. Pra desenhar, basta você colocar as curvas de cada intervalo no gráfico. Por sorte, as nossas curvas são retas:

Passo 3

Então, agora é só você pegar a reflexão dessa função f x do outro lado do gráfico para transforma-la em par:

E claro, agora colocar esse padrão se repetir em todo o x (como se pegasse ele e puxasse), pois a extensão em si deve ser periódica:

Prontinho! Graficamente temos a nossa extensão par. Mas e matematicamente? Como representamos isso?

Passo 4

Aqui a gente tem que pegar a extensão gráfica...

E anotá-la matematicamente falando.

Pow, perceba que a função de - 1 a 1 é 0 :

f x = 0 ,     - 1 < x < 1                                                

De - 2 até - 1 e de 1 a 2 a função é 1 :

f x = 0 ,     - 1 < x < 1                                             1 ,       - 2 < x ≤ - 1   e   1 ≤ x < 2  

E de - 3 e - 2 , bem como de 2 a 3 a função é igual a 2 :

f x = 0 ,     - 1 < x < 1                                             1 ,       - 2 < x ≤ - 1   e   1 ≤ x < 2 2 ,       - 3 < x ≤ - 2   e   2 ≤ x < 3

Como vimos, a função é periódica de extensão par e de período 6 , então podemos falar que...

f x + 6 = f ( x )

Resposta

f x = 0 ,     - 1 < x < 1                                             1 ,       - 2 < x ≤ - 1   e   1 ≤ x < 2 2 ,       - 3 < x ≤ - 2   e   2 ≤ x < 3         e         f x + 6 = f ( x )

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