Exercícios Resolvidos de Extensão de Funções

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Enunciado

Determine a solução do problema

E D   ∂ t u = 3   ∂ 2 x u ,   0 < x < π ,   t > 0 ;

C F   u x ( 0 , t ) = 4 , u x ( π , t ) = 4 ,   t > 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = s e n ( 4 x ) ,   0 < x < π .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos a seguinte equação diferencial (ED)

∂ t u = 3   ∂ 2 x u ,   0 < x < π ,   t > 0 ;

com as condições de fronteira (CF)

u x ( 0 , t ) = 4 , u x ( π , t ) = 4 ,   t > 0 ;

e condições iniciais (CI)

u ( x , 0 ) = s e n ( 4 x ) ,   0 < x < π .

Essa é a equação que descreve a evolução temporal e espacial da temperatura u ( x , t ) ao longo de um barra de comprimento L = π , em que inicialmente a temperatura é dada por u ( x , 0 ) = s e n ( 4 x ) , e temos que as condições de contorno são dadas sobre a derivada espacial da temperatura nas extremidades u x ( 0 , t ) = 4 e u x ( π , t ) = 4 . Vamos procurar uma solução estacionária para tentar reescrever o problema de uma maneira mais usual! Saca só!

Passo 2

A solução estacionária é construída tal que

u ( x , t ) = v ( x )

ou seja, uma solução independente do tempo. Substituindo em nossa equação diferencial obtemos uma equação mais simples da forma

3   d 2 d x 2 v ( x ) = 0

de forma que podemos integrar duas vezes para obter o seguinte formato

v ( x ) = C 1 x + C 2 3

As condições de contorno estacionárias são tais que

d d x [ v ( 0 ) ] = 4 e d d x [ v ( π ) ] = 4

derivando a nossa função temos que

d d x [ v ( x ) ] = C 1 3 = 4

de forma que C 1 = 12 . Não temos como restringir o valor de C 2 , ele pode ser qualquer, mas como isso é em geral indiferente para a evolução de nossa temperatura, vamos escolher C 2 = 0 . De forma que a nossa solução estacionária é simplesmente

v ( x ) = 4 x

Definindo então o transiente w ( x , t ) tal que

u ( x , t ) = w ( x , t ) + v ( x )

a equação do calor se torna

∂ t w ( x , t ) = 3   ∂ x 2 w ( x , t )

com condições de contorno da forma

∂ x w ( 0 , t ) = 4 - 4 = 0 e ∂ x w ( π , t ) = 4 - 4 = 0

A condição inicial é dada simplesmente por

w ( x , 0 ) = f ( x ) - 4 x

Este problema nós conseguimos resolver por separação de variáveis, saca só!

Passo 3

O método de separação de variáveis é tal que propomos uma solução da forma

w ( x , t ) = ϕ ( x ) ψ ( t )

aplicando em nossa equação diferencial, temos que

ϕ ( x ) d d t [ ψ ( t ) ] = 3   ψ ( t ) d 2 d x 2 [ ϕ ( x ) ]

Separando as variáveis temos que

1 3 ψ ( t ) d d t [ ψ ( t ) ] = - λ = 1 ϕ ( x ) d 2 d x 2 [ ϕ ( x ) ]

note que ambos os lados da equação diferencial deve ser igual a uma constante negativa. A razão da constante ser negativa foi discutida em questões anteriores, mas é pelo fato de que isso possibilita que encontremos soluções não-nulas para este problema. Belezinha? Qualquer coisa procure revisar um pouco dos conceitos mais básicos de EDP! Por hora, vamos apenas resolver ambos os lados da equação!

Passo 4

O lado esquerdo é uma equação diferencial de primeira ordem separável, portanto, ela pode ser resolvida como

d [ ψ ( t ) ] ψ ( t ) = - 3 λ   d t

integrando de ambos os lados temos que

l n ( ψ ( t ) ) = - 3   λ   t   + C

ou simplesmente

ψ ( t ) = K e - 3 λ t

Vamos trabalhar com o lado direito agora! Saca só!

Do lado direito temos uma equação diferencial de segunda ordem homogênea dada por

d 2 d x 2 [ ϕ ( x ) ] + λ ϕ ( x ) = 0

o polinômio característico relacionado é tal que

r 2 + λ = 0

portanto, temos raízes complexas conjugadas da forma r = ± λ . E, sendo assim, a solução é da forma

ϕ ( x ) = C 1 s e n ( λ x ) + C 2 c o s ( λ x )

Precisamos avaliar as condições de contorno, mas quais são elas? Note que

∂ x w ( 0 , t ) = d d x [ ϕ ( 0 ) ] ψ ( t ) = 0

ψ ( t ) = 0 resulta em uma solução trivial, portanto, temos que

d d x [ ϕ ( 0 ) ] = 0

e, analogamente, temos que

d d x [ ϕ ( π ) ] = 0

Vamos aplicar essas condições e encontrar as nossas constantes!

Passo 5

Derivando a nossa função temos que

d d x [ ϕ ( x ) ] = C 1 λ   c o s ( λ x ) - C 2 λ s e n ( λ x )

em x = 0 , temos que

C 1 = 0

e, usando x = π , temos que

C 2 s e n ( λ π ) = 0

Para termos soluções não nulas iremos buscar que

λ 2 = n 2

Portanto, temos infinitas soluções não-nulas da forma

ϕ n ( x ) = C n c o s ( n x )

de forma que temos a nossa solução transiente como

w n ( x , t ) = K n c o s ( n x ) e - 3   n 2   t

Ou seja, as soluções gerais são da forma

w ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ K n c o s ( n x ) e - 3   n 2   t

Vamos aplicar a condição inicial! Vem comigo!

Passo 6

Nossa condição inicial diz que

w ( 0 , t ) = s e n ( 4 x ) - 4 x

portanto, temos que

s e n ( 4 x ) - 4 x = ∑ n = 0 ∞ K n c o s ( n x ) = K 0 + ∑ n = 1 ∞ K n c o s ( n x )

note que estes são os coeficientes pares da série de Fourier, portanto, podemos escrever que

K 0 = 2 L ∫ 0 L f ( x ) d x = 2 π ∫ 0 π [ s e n ( 4 x ) - 4 x ] d x

e, também que

K n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x = 2 π ∫ 0 π [ s e n ( 4 x ) - 4 x ] c o s ( n x ) d x

Vamos resolver essas integrais! Bora lá!

Passo 7

Algumas integrais podem ser identificadas diretamente, tais como

∫ 0 π x d x = x 2 2 | 0 π = π 2 2

e, também

∫ 0 π s e n ( 4 x ) d x = - 1 4 c o s ( 4 x ) | 0 π = 0

Agora, a seguinte integral

∫ 0 π x   c o s ( n x ) d x

deve ser integrada por partes, obtendo

∫ 0 π x   c o s ( n x ) d x = - 1 4 x   s e n ( 4 x ) | 0 π + 1 4 ∫ 0 π s e n ( 4 x ) d x = 0

A última integral vai precisar de um pouco mais de retrabalho! Vamos dar uma olhada nela isoladamente!

Passo 8

Temos que resolver a seguinte integração

∫ 0 π s e n ( 4 x ) c o s ( n x ) d x

Vamos usar a seguinte relação

2 s e n ( a + b 2 )   c o s ( a - b 2 ) = s e n ( a ) + s e n ( b )

temos que n x = a - b 2 e 4 x = a + b 2 , portanto, podemos usar que

a = 2 n x + b e b = 8 x - a

com essas duas equações obtemos que

b = 1 2 [ 8 x - 2 n x ] = ( 4 - n ) x

e, portanto

a = ( 4 + n ) x

De forma que o nosso integrando se torna

∫ 0 π s e n ( 4 x ) c o s ( n x ) = 1 2 ∫ 0 π s e n [ ( 4 + n ) x ] d x + 1 2 ∫ 0 π s e n [ ( 4 - n ) x ] d x

Essas integrais podem ser identificadas como

∫ 0 π s e n [ ( 4 + n ) x ] d x = - 1 4 + n c o s [ ( 4 + n ) x ] | 0 π = - 1 4 + n { c o s [ ( 4 + n ) π ] - 1 }

e, também

∫ 0 π s e n [ ( 4 - n ) x ] d x = 1 n - 4 { c o s [ ( 4 - n ) π ] - 1 }

note que essa solução não vale para n = 4 , caso em que temos

∫ 0 π s e n ( 4 x ) c o s ( 4 x ) d x

que usando uma substituição simples resulta em

∫ 0 π s e n ( 4 x ) c o s ( 4 x ) d x = 0

Vamos juntar os nossos resultados agora!

Passo 9

Temos que

K 0 = 2 π ∫ 0 π [ s e n ( 4 x ) - 4 x ] d x = - 2 π 2

e, para os enésimos, temos que

K n = 2 π ∫ 0 π [ s e n ( 4 x ) - 4 x ] c o s ( n x ) d x = - 1 π ( 4 + n ) { c o s [ ( 4 + n ) π ] - 1 } + 1 π ( n - 4 ) { c o s [ ( 4 - n ) π ] - 1 }

quando n ≠ 4 . E, por último

K 4 = 0 .

Quando n for ímpar, temos que os K n resultam em

K n = 2 π ( 4 + n ) + 2 π ( 4 - n ) = 16 ( 16 - n 2 ) π

ou 0 se n é par. De forma que os nossos coeficientes podem ser resumidos como

K 2 m + 1 = 16 ( 16 - ( 2 m + 1 ) 2 ) π

E, finalmente, a nossa solução é dada por

w ( x , t ) = - 2 π 2 + 16 π ∑ m = 0 ∞ 1 16 - ( 2 m + 1 ) 2 c o s [ ( 2 m + 1 ) x ] e - 3   ( 2 m + 1 ) 2 t

ou, simplesmente

u ( x , t ) = 4 x - 2 π 2 + 16 π ∑ m = 0 ∞ 1 16 - ( 2 m + 1 ) 2 c o s [ ( 2 m + 1 ) x ] e - 3   ( 2 m + 1 ) 2 t

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u ( x , t ) = 4 x - 2 π 2 + 16 π ∑ m = 0 ∞ 1 16 - ( 2 m + 1 ) 2 c o s [ ( 2 m + 1 ) x ] e - 3   ( 2 m + 1 ) 2 t

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