Exercícios Resolvidos de Extensão de Funções

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 321. Exercício 8

No problema é dada uma função Equation em um intervalo de comprimento Equation . Esboce os gráficos das extensões par e ímpar de Equation de período Equation .

Equation Equation

Passo 1

Vamos começar pela extensão par, que é mais simples. A primeira coisa que você deve fazer é desenhar os dados do problema (que estão entre colchetes):

Certo. Agora, como queremos uma extensão par, vamos espelhar essa função no eixo Equation , ok?

Beleza, esse vai ser o período Equation da função, esse é o padrão que se repete, então vamos repetir isso para a esquerda e para a direita:

Pronto, essa é a extensão par de Equation . É bom você sempre desenhar esse tracejado para marcar o período da função, para não se perder!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora queremos a extensão ímpar, ela é um pouco mais chatinha, mas a ideia é a mesma. Primeiro desenhamos o que o enunciado nos dá

Agora rebatemos isso no eixo Equation . Como assim? Isso não é a extensão par? Você já vai entender:

Agora, essa parte “nova” em azul, nós rebatemos no eixo Equation , mas só ela! Em termos práticos: vamos jogar a função em azul para baixo:

O padrão, que vai se repetir a cada período é então essa parte vermelha mais a verde. Vamos então “copiar” isso para a esquerda e para a direita, ok?

Repare que nós só definimos os pontos de descontinuidade no final. Por quê?

Para uma função periódica ser ímpar, devemos ter

Equation

Sempre! E foi o que nós fizemos aqui, por isso só escrevemos os pontos de descontinuidade no final (repare que todos os pontos preenchidos estão no Equation ). Se essa condição não ocorrer, então a função periódica não satisfaz a simetria de uma função ímpar, lembre-se disso!

É interessante reparar também que uma função ímpar sempre vale zero na origem, pois é simétrica em relação a ela.

Resposta

a)

b)

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