Exercícios Resolvidos de Extensão de Funções

UFRJ - Cálculo 4 - P2 2013.1 - 1a,b

Seja f : 0,2 R

f x = x ,         s e   0 x 1 2 ,         s e   1 < x < 2 0 ,                           s e   x = 2

  1. Estenda f como função ímpar periódica de período 4 para R .
  2. Faça o gráfico de f estendida no intervalo [ - 2,6 ] .

Passo 1

Letra b)

Vamos começar fazendo o gráfico da função estendida, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:

O próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo y , dessa forma:

Cuidado com os pontos de descontinuidade! Temos que levar eles junto.

Beleza, mas isso ai seria uma extensão par, não é? Pra fazermos uma extensão ímpar temos que rebater essa parte azul no eixo x , ou seja, jogar ela para baixo:

Certo, o período da função que queremos é então essa parte azul mais a vermelha! Como esse é o padrão que se repete, vamos copiá-lo para a direita, olha só:

Pronto, temos então a função estendida no intervalo de - 2 a 6 , como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Mais uma vez, lembre-se de levar os pontos de descontinuidade junto nesse passo a passo, ok?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra a)

Agora vamos fazer essa extensão matematicamente.

A definição de uma função ímpar diz que

f - x = - f - ( - x )

Escrevemos f - porque estamos falando da extensão de f , ok? Como a extensão tem período 4 , podemos dizer que:

f - ( x ) = f - ( x + 4 )

Beleza, vamos fazer isso aí. Como o período é 4 , precisamos definir a função em [ - 2,2 ) e repetir esse padrão. Está faltando a definição de f - entre - 2 e 0 .

Para 0 < x < 2 : f - x = f x = x ,         s e   0 x 1 2 ,         s e   1 < x < 2 0 ,                           s e   x = 2

Essa é a equação da parte vermelha.

Para - 2 < x < 0 : f - x = - f - x = x ,                         s e - 1 x 0 - 2 ,             s e - 2 < x < - 1 0 ,                                           s e   x = - 2

Essa é a equação da parte azul. Se você se confundir com a definição de função ímpar, dá uma olhada no gráfico. Nesse caso, é até mais fácil.

Não podemos nos esquecer de que na origem e em x = L = 2 a função deve valer zero em uma extensão ímpar, então está tudo certo aqui.

Temos portanto a seguinte extensão:

f - x = x ,                           s e - 1 x 1   2 ,                                   s e   1 < x < 2 0 ,                                       s e   x = 2 : - 2 - 2                       s e - 2 < x < - 1

Como a função é periódica, isso se repete

f - ( x ) = f - ( x + 4 )

Resposta

  1. f - x = x ,                           s e - 1 x 1   2 ,                                   s e   1 < x < 2 0 ,                                       s e   x = 2 : - 2 - 2                       s e - 2 < x < - 1

    f - ( x ) = f - ( x + 4 )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas