Pressão Hidrostática

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Teoria

pressão hidrostática é a pressão que uma coluna de fluido em repouso exerce sobre um corpo.

Hoje você vai aprender tudo o que você precisa pra conseguir resolver todos os exercícios de pressão hidrostática! 🤩 😉

Então pra começar com tudo, se liga nesse vídeo super completo sobre pressão hidrostática 👇

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Fórmula da Pressão Hidrostática - Teorema de Stevin

O Teorema de Stevin diz o seguinte:

A diferença entre as pressões de dois pontos de um fluido em equilíbrio (repouso) é igual ao produto entre a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a diferença entre as profundidades dos pontos”

Escrevendo isso em fórmula, temos que:

Onde, é a densidade do fluido, é a aceleração da gravidade e é a diferença de altura entre os pontos escolhidos.

Vamos sempre ter em mente que a pressão varia apenas com a profundidade vertical do fluido e nunca com a posição horizontal!

Ué, mas até nesses casos?! 👇👇👇

Paradoxo Hidrostático
Paradoxo Hidrostático

SIM! Até nesses casos! Chamamos esse fenômeno de Paradoxo hidrostático!

Pressão sob vários Fluidos

Vimos como calcular a pressão, porém falamos apenas de um único fluido. Agora, como você calcularia a pressão no fundo do recipiente nesse caso aqui:

Pressão hidrostática de vários fluidos
Pressão hidrostática de vários fluidos

Não tem mistério! Tudo o que precisamos fazer é somar separadamente a pressão exercida sobre cada fluido com densidade diferente:

E claro, se queremos saber a pressão total no fundo do recipiente, precisamos somar a pressão atmosférica!

Princípio de Pascal - Vasos Comunicantes

O princípio de Pascal diz que: “O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido”.

Podemos escrever a seguinte relação para vasos comunicantes:

Esse conceito é muito útil em elevadores ou prensas hidráulicas. Bora entender como ele funciona na prática?

Elevador hidráulico
Elevador hidráulico

A pressão exercida pela força será transmitida e recebida pelo lado , assim gerando uma força .


Vamos equacionar isso que acabamos de falar. Qual é a pressão feita pela força ?

A pressão será transmitida igualmente, assim:

A força gerada será de acordo com a área do lado B:


Substituindo o valor da pressão , temos:


Com essa equação podemos ver que fazendo uma pequena força, podemos aumentar ela de acordo com a razão .

Reorganizando a equação, temos:

Exatamente a relação que vimos lá em cima!

Agora, vamos praticar com exercícios?!

Fórmula da Pressão Hidrostática - Teorema de Stevin

Princípio de Pascal - Vasos Comunicantes

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Qualquer valor de pressão medida pode ser expresso como um comprimento ou carga, h =   p / ρ g . Qual é a pressão padrão ao nível do mar expressa em (a) m   de glicerina, (b) m m de Hg, (c)   m de coluna de água e (d)   m m de etanol? Considere que todos os fluidos estejam a 20°C.

Dados:

Passo 1

Primeiro vamos entender de onde ele tirou isso que a pressão pode ser expressa como comprimento ou carga.

No futuro vamos chamar a pressão hidrostática de carga. Bem, dado que a densidade e a gravidade são “constantes” podemos representar a pressão simplesmente pela altura de um fluido. Por isso o que o enunciado fez foi pegar a equação da pressão que vimos:

p = ρ g h

E isolar a altura, assim:

h = p ρ g

Desta forma dada uma pressão e o fluido descobrimos o comprimento de fluido necessário para atingir aquela pressão.

Certo, que pressão que o enunciado quer saber? É a pressão do nível do mar.

A pressão do nível do mar é a pressão que usamos como padrão para representar a pressão causada pela atmosfera. Por isso conhecida como pressão atmosférica.

O valor da pressão atmosférica é: 101325   P a s c a l = 101,325   k P a ≈ 1.10 5   P a = 1   a t m

Lembrando que a unidade Pascal tem mesmo valor que o N / m 2 .

Esse último valor é o que usamos para comparar. Pra gente a comparação é muito importante, assim definimos a pressão atmosférica como padrão, valendo 1   a t m e comparamos com as outras pressões, por exemplo falar que 10 metros de água vale 1   a t m , que 20   m e t r o s vale 2   a t m .

Mas então, nessa questão queremos saber qual o comprimento de fluido que representa a pressão no nível do mar ( 101,325   k N / m 2 ) .

Passo 2

a   Queremos saber o comprimento de glicerina que representa a pressão atmosférica. Para isso precisamos saber o valor da pressão atmosférica em N / m 2 , já sabemos 101325   N / m 2 , precisamos saber da densidade da glicerina a 20 ° C , é dado pela tabela, e pro fim da aceleração da gravidade que a gente sabe de tanto que usamos ela: 9,8   m / s 2

Assim, podemos aplicar a fórmula dada pelo enunciado:

h g l i c e r i n a = 101325 1260   .   9,8

h g l i c e r i n a = 8,206   m

Passo 3

b   agora quanto essa pressão equivale em milímetros de mercúrio?

Basta substituir a densidade dos fluidos na formula:

h h g = 101325 13550   .   9,8

h h g = 0,763   m

O que equivale a 763 mm de mercúrio.

Passo 4

c   Fazendo o mesmo para a água temos:

h á g u a = 101325 998   .   9,8

h á g u a = 10,36   m

Passo 5

d   Fazendo o mesmo para o etanol temos:

h e t a n o l = 101325 789   .   9,8

h e t a n o l = 13,104   m

Isso em milímetros equivale a 13104   m m .

Resposta

a   h g l i c e r i n a = 8,206   m

b   h h g = 763   m m

c   h á g u a = 10,36   m

d   h e t a n o l = 13104   m m

Exercício Resolvido #2

Considerando g   =   10   m / s 2 e p a t m = 1   b a r , o valor da pressão manométrica atuante nos ouvidos de um mergulhador na água ( 1.000   k g / m 3 ) , correspondente a três vezes a pressão atmosférica, está associado a uma profundidade, em m , de:

( A ) 10   ( B )   30   ( C )   100   ( D )   300   ( E )   500

Passo 1

Na questão anterior falamos de que usamos muito de comparação, essa questão é um exemplo.

A questão diz que x metros de água corresponde a 3 vezes o valor da pressão atmosférica ( 3 x   1   a t m )   . Nosso dever é descobrir quanto vale x .

Para isso vamos usar a nossa equação da pressão

P = ρ g h

Sem o P 0 pois o enunciado refere à pressão manométrica.

Como queremos a altura de água, vamos isolar h :

h = P / ρ g

a pressão nós temos 3   a t m ≈ 3.10 5   N / m 2 , a densidade da água foi dada ( 1.10 3   k g / m 3 ) e o valor da gravidade o enunciado pediu para usarmos 10   m / s 2   .

Substituindo os valores temos:

h á g u a = 3.10 5 1.10 3 * 10  

h á g u a ≈ 30   m

Resposta

Alternativa b  

Exercício Resolvido #3

Devido a diferenças de temperatura, ou a presença de sal ou, ainda, de sedimento, um fluido homogêneo em condição estática pode estratificar. Neste contexto, calcule a pressão relativa em um ponto de um líquido distante H da superfície livre, se a massa específica do fluido for variável e dada por: ρ = ρ 0   +   k h , em que ρ 0 é a massa específica na superfície e k é uma constante.

Passo 1

Fizemos alguns exercícios onde apenas aplicamos a equação

P = ρ g h

Mas na teoria vimos que essa equação só é valida quando densidade e gravidade são constantes. Bem, nesse caso a densidade ou massa específica não são constantes quando variamos a altura assim, temos que voltar lá na integral da teoria:

∫ 0 H d P = ∫ 0 H ρ g d h

O enunciado nos deu a equação com que a densidade varia : ρ = ρ 0   +   k h

Assim, temos que:

P = ∫ 0 H ρ 0   +   k h g d h

A gravidade ainda é constante então temos:

P = g ∫ 0 H ρ 0 d h + k h . d h

Como a integral de uma soma é igual a soma das integrais temos:

P = g ∫ 0 H ρ 0 d h + ∫ 0 H k h . d h

Beleza são duas integrais polinomiais, assim a solução delas são:

P = g ρ 0 h . H - 0 + k H - 0 2 2

A equação da pressão no final é:

P = ρ g H + k g H 2 2

Resposta

P = ρ g H + k g H 2 2

Exercício Resolvido #4

O ponto mais profundo conhecido nos oceanos é 11.034 metros no Mariana Trench no Pacífico. Nessa profundidade o peso específico da água do mar é aproximadamente de 10.520   N / m 3 . Na superfície,   γ ≈ 10.050   N / m 3 . Calcule a pressão absoluta nessa profundidade, em atm.

Passo 1

Novamente não podemos simplesmente aplicar P = ρ g h , pois a densidade do fluido varia conforme a altura.

Mas o enunciado forneceu o peso específico, que é a densidade vezes a gravidade, e denominamos como γ . Assim temos que: ρ g é substituído por γ .

γ = ρ g

O pior é que não temos a equação de como varia esse peso especifico. Como a variação é de menos de 500   N / m 2 em 11   K m , vamos aproximar a variação por uma variação linear da forma que

γ = γ 0 + k h

Assim temos duas incógnitas γ 0 e k

Assim, vamos usar o segundo valor de peso específico fornecido pelo enunciado que é o peso específico da água na superfície, ou seja, h = 0 .

Assim:

γ = 10.050   N / m 3 = γ 0

Agora com a primeira densidade vamos descobrir o valor de k .

γ = 10520 = 10050 + k . 11034

Isolando k , temos:

k = 10520 - 10050 11034

k = 0,0426

Beleza, assim a equação que descreve o peso específico da água é:

γ = 10050 + 0,0426 . h

Passo 2

Agora que sabemos como o peso específico varia, podemos voltar na integral da pressão e integrar corretamente

P = ∫ 10050 + 0,0426 . h d h

Integrando de forma igual feita no exercício anterior, temos:

P = 10050 . h + 0,0426 . h 2 2 + P 0

Como fizemos uma integral indefinida, pois a questão quer pressão absoluta, então devemos levar em conta a pressão atmosférica, temos:

P = 10050.11034 + 0,0426 . 11034 2 2 + 101325

P = 1,1.10 8 + 0,026   . 10 8 + 0,001.10 8

P ≈ 1,1278.10 8

Como enunciado quer a resposta em a t m , temos que lembrar que 1   a t m   ≈ 10 5   N / m 2

Assim,

P ≈ 1127   A t m

Isso quer dizer que nessa profundidade a pressão exercida é mais de mil vezes maior que a pressão da atmosfera.

Resposta

P ≈ 1127   A t m

Exercício Resolvido #5

O sistema na Figura abaixo está a 20 ° C . Se a pressão atmosférica é de 101,33   k P a e a pressão no fundo do tanque é de 242   k P a , qual é a densidade do fluido X?

Passo 1

Até agora só havíamos visto questões com um único fluido, pois bem agora temos vários. Mas não é motivo para se preocupar. Vimos na teoria que quando temos mais de um fluido a pressão é dada por:

P = ρ 1 . g . h 1 + ρ 2 . g . h 2 + … + P 0

Nesse caso temos 4   liquidos. Temos a pressão no fundo do recipiente, a pressão atmosférica, pela tabela conseguimos descobrir a densidade de 3 dos fluidos e pela imagem temos a altura da coluna de cada fluido.

Assim, temos todas as informações da equação acima, exceto a densidade do fluido x , possibilitando que descubramos quanto vale essa densidade.

Então vamos lá: P = 242.10 3   P a ; P 0 = 101330   P a h 1 = 1   m ; h 2 = 2   m ; h 3 = 3   m ; h 4 = 0,5   m

Ainda temos: ρ 1 = 891   k g / m 3 ; ρ 2 = 998   k g / m 3 ; ρ 3 = ? ? ; ρ 4 = 13550   k g / m 3 e g = 9.8 m / s 2

Substituindo na equação temos:

242.10 3   P a = 891.9,8.1 + 998.9,8.2 + X . 9,8.3 + 13550.9,8.0,5 + 101330

Isolando X , temos:

X = + 242.10 3 - 891.9,8.1 - 998.9,8.2 - 13550.9,8.0,5 - 101330 9,8.3

Ao calcularmos isso, temos:

X = 1564   K g / m 3

Opa! Então encontramos a massa específica do fluido X:

ρ X = 1564   K g / m 3

Agora pra gente encontrar a densidade é só dividir a nossa massa específica pela massa específica da água, então temos:

d X = ρ X ρ á g u a

Substituindo os valores, ficamos com:

d X = 1564 1000

A densidade do fluido X será:

d X = 1,564

Resposta

d X = 1,564

Exercício Resolvido #6

O medidor de combustível do tanque de gasolina de um carro fornece uma indicação proporcional à pressão manométrica do fundo do tanque, como na Figura abaixo. Se o tanque tiver 30   c m de profundidade e acidentalmente contiver 2   c m de água mais gasolina, quantos centímetros de ar permanecerão na parte superior quando o medidor indica erroneamente “tanque cheio”?

Passo 1

Primeiro devemos saber quando o tanque vai acusar que o tanque está cheio. Como o enunciado disse isso acontece por um medido de pressão.

Então o certo seria, quando o tanque tivesse cheio de gasolina, somente gasolina, ele apontaria que o tanque está cheio. Como? Bem alguém ajustou um indicador que quando o medidor de pressão apontasse a pressão exata que 30   c m de gasolina exerce ele ia indicar que o tanque está cheio.

Que pressão é essa, a gente vai calcular usando P = ρ g h . Sem a pressão atmosférica pois o medidor é um manômetro, que vimos na teoria que ele calcula a pressão exercida apenas pelo fluido, tirando a atmosférica.

Beleza, então a pressão que indica tanque cheio é:

P = 0,68.9,8.300

Quando a densidade é dada sem unidade, significa que estamos considerando a da água igual a 1 e a altura deve ser usada em m m . E a pressão calculada será em N / m 2 .

Assim,

P ≈ 0,02.10 5   N / m 2

Passo 2

Agora, vamos ter que descobrir qual a altura de gasolina, mais 2   c m de águas corresponde a pressão de 0,02 . 10 5   N / m 2 .

A fórmula de pressão para mais de um fluido é

P = ρ 1 . g . h 1 + ρ 2 . g . h 2

A densidade a gente sabe dos dois fluidos, a altura de água também, a pressão resultante também, então temos tudo para descobrir a altura de gasolina.

0,02.10 5 = 0,68 * 9,8 * h + 1 * 9,8 * 20

h = 0,02.10 5 - 9,8 * 20 0,68 * 9,8

h ≈ 270,7   m m = 27,07   c m

Agora vamos ver quanto do tanque será ocupado pelo ar. A altura do tanque é 30   c m , sendo que 2   c m está ocupado por água e 27,07   c m com gasolina, assim a altura da coluna de ar será de 0,93   c m .

Resposta

h = 0,93   c m

Exercício Resolvido #7

O tanque cilíndrico na Figura abaixo está sendo cheio com água a 20 ° C por uma bomba que desenvolve uma pressão de saída de 175   k P a . No instante mostrado, a pressão no ar é de 110   k P a e H = 35   c m . A bomba para quando ela não pode mais aumentar a pressão da água. Para compressão isotérmica do ar, calcule H naquele instante.

Passo 1

A bomba vai parar de encher o tanque de água quando a pressão no tanque for igual a pressão que ela exerce. Assim:

P a r f i n a l + P á g u a f i n a l = 175000

Nesse momento teríamos uma coluna de água Y . E de ar igual a 1,1 - Y , pois a altura do tanque é de 75 + H = 110   c m = 1,1   m .

Então teríamos a seguinte equação:

P a r f i n a l + ρ á g u a . g . Y = 175.10 3

Para resolvermos o problema precisamos encontrar o valor da pressão final de ar. O que é fácil se lembrarmos de termodinâmica. Da fórmula “PiViTi-PoVoTo”. Como é uma compressão isotérmica, temos:

P i . V i = P f . V f

P a r f i n a l = P a r i n i c i a l . V i n i c i a l V f i n a l

Então para encontrarmos o valor de Y , precisamos encontrar a forma com que a pressão de ar irá variar de acordo com o valor de Y .

Passo 2

Então se tivermos a pressão no início, o volume no início, e o volume no final, descobrimos a pressão no final por uma regra de três.

A pressão no início é dada pelo enunciado P a r i n c i o = 110000   P a

Agora vamos calcular o volume inicial. O volume de um cilindro é área da base vezes altura.

Chamando a área da base de A , temos que o volume ocupado por no início era de:

V i n í c i o = A . h = A . 0,75

E o volume final será em função de Y , sendo assim:

V f i n a l = A . ( 1,1 - Y )

Passo 3

Agora temos tudo para descobrir a pressão final

P a r f i n a l = 110000 . A . 0,75 A . ( 1,1 - Y )

P a r f i n a l = 110000.0,75 1,1 - Y

Agora sim, temos tudo em função de Y .

Passo 4

Tendo tudo em função de Y , podemos substituir na equação de pressão no final:

P a r f i n a l + ρ á g u a . g . Y = 175.10 3

110000.0,75 1,1 - Y + ρ á g u a . g . Y = 175.10 3

Agora teremos uma equação do segundo grau assim:

110000.0,75 + ρ á g u a . g . Y 1,1 - Y = 175.10 3 1,1 - Y

110000.0,75 + ρ á g u a . g . Y . 1,1 - ρ á g u a . g . Y 2 = 175.10 3 . 1,1 - 175.10 3 . Y

ρ á g u a . g . Y 2 - ρ á g u a . g . 1,1 + 175.10 3 Y + 175.10 3 . 1,1 - 110000.0,75

Resolvendo a equação do segundo grau, achamos dois valores

Y = 18,36   m e t r o s e Y = 0,611   m

Como o Y tem que ser menor que 1,1   m e t r o o único valor possível é

Y = 0,611   m

Resposta

Y = 0,611   m

Exercício Resolvido #8

Na Figura abaixo, a força hidrostática F é a mesma no fundo dos três recipientes, apesar de os pesos dos líquidos acima serem muito diferentes. As três formas dos fundos e os fluidos são iguais. Isso é chamado de paradoxo da hidrostática. Explique por que ele é verdadeiro e desenhe um corpo livre de cada uma das colunas de líquido.

Passo 1

Vimos na teoria que a pressão no fundo de um recipiente é função apenas da densidade e altura do liquido.

P = ρ . g h + P 0

Como nos três recipientes o liquido é o mesmo e a altura é a mesma e estão todos exposto a mesma atmosfera então temos que a pressão no fundo dos três recipientes são iguais.

Como a pressão é definida como:

P = F A

Onde F   é força e A área do fundo do recipiente. Temos que a força no fundo do recipiente será:

F = P . A

A pressão a gente sabe que é igual nos três recipientes e o enunciado falou que a área do fundo neles também são iguais, sendo assim a força no fundo é a mesma.

Passo 2

Desenhar o corpo livre de cada uma das colunas é esquematizar as forças atuantes nos recipientes.

As forças que vamos representar é força causada pela pressão atmosférica. A força peso, e a força de reação nas paredes do recipiente devido ao contato com o fluido.

Poderíamos representar a força de reação no fundo do recipiente, mas essa como o enunciado já mostrou que a força atuante lá é igual a força resultante também seria.

O legal de observar é que como o peso na do meio é maior que em todas, as paredes do recipiente fazem força para cima, compensando esse peso extra, fazendo com que assim a força no fundo seja igual. O inverso acontece no primeiro. Como o peso de liquido é menor a parede do recipiente reage para baixo assim, aumentando a força fazendo que no fim todas fiquem iguais.

Paradoxo é algo difícil de se aceitar, por isso que você ainda não acredita muito nisso é normal. Não se preocupe muito com isso, apenas lembre que a pressão depende apenas da altura e do liquido. Isso que importa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #9

Na Figura abaixo, a comporta de cobertura AB fecha uma abertura circular de 80   c m de diâmetro. A comporta é mantida fechada por uma massa de 200   k g como mostra a figura. Suponha a gravidade padrão a 20 ° C . Em que nível h da água a comporta será deslocada? Despreze o peso da comporta

Passo 1

Para a comporta se deslocar a pressão exercida pela água deve ser maior que a pressão exercida pelo peso.

Então primeiro vamos descobrir qual é a pressão exercida pelo peso.

P = F A

A força é F = 200 * 9,8 = 1960   N . Como temos um círculo, a área é dada por A = π r 2   e ela também pode ser escrita em função do diâmetro( r = D / 2 ). E aí obtemos que A = π D 2 4 = π 80 2 4 = 5026,4   c m 2 , assim a pressão será:

P = 1960 5026,4.10 - 4 = 3899,4   N / m 2

Agora, lembra do princípio de pascal que diz que qualquer adição de pressão será transmitida integralmente pelo fluido.

Então, a pressão devido a coluna de líquido acima da altura da comporta é uma pressão adicional, que quando essa pressão for maior que a pressão causada pelo peso a comporta ira se mover.

Sendo assim a pressão no lado esquerdo deve ser igual a pressão causada pela comporta.

Assim:

3899,4 = 998 * 9,8 * h

h = 0,398   m ≈ 40   c m

Resposta

h = 40   c m

Exercício Resolvido #10

O macaco hidráulico da Figura abaixo está cheio com óleo a 8.797   N / m 3 . Desprezando o peso dos dois pistões, qual a força F que é necessária na alavanca para suportar o peso de 8.900   N indicado no desenho?

Passo 1

Essa é uma questão de transmissão de força, de multiplicar a força usando um sistema hidráulico.

Isso nos remete a Pascal e como vimos na teoria:

F a A a = F b A b

A força no lado a é 8900   N e a área desse pistão é A a = π 75 2 4

E a área do lado b é de A b = π 25 2 4

Assim, conseguimos descobrir a força necessária que seja aplicada no pistão b para suportar o peso em a .

F b = F a . A b A a = 8900 . π 25 2 4 . 4 π 75 2

F b = 8900 9   N

Passo 2

Agora que descobrimos o valor da força que deve ser aplicada no pistão b , conseguimos através de equilíbrio de momento descobri qual o valor da força F na alavanca irá gerar essa força F b .

Fazendo equilíbrio de momento temos:

∑ M = 0

O ponto analisado será o inicio da alavanca. Senso assim a força F b está a 25   m m desse ponto e a força F está 405   m m .

A equação de momento será:

0 = 8900 9 . 25 - F . 405

O referencia de sinal adotado foi girar no sentido horário negativo, por isso - F e girar no sentido anti-horário positivo.

Agora podemos descobrir o valor de F .

F = 8900 9 . 25 405

F ≈ 61,04   N

Resposta

F ≈ 61,04   N

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