Tensão cisalhante e tipos de fluidos

Teoria Completa

Tensão normal

Fala aí, amigo! Tudo pronto para mergulhar em MecFlu? Vamos falar hoje sobre um assunto muito importante para matéria: a tensão cisalhante (ou tensão de cisalhamento, como preferir!).

Primeiro vamos relembrar o que é tensão! Se eu aplicar uma certa força numa superfície, a tensão será a razão entre a força e a área em que ela foi aplicada. Beleza?

A força pode atuar em diferentes direções, certo? Dependendo de qual direção, ou seja, de qual força estamos analisando, teremos uma tensão relacionada a ela. Vem comigo, vou te dar um exemplo! 😊

Se eu aplicar uma força perpendicular à superfície de um fluido, então vou chamar essa tensão de tensão normal. Dá uma olhada na figura a seguir. Temos um fluido em um recipiente aberto.

Ué? Que setinhas laranjas são essas? Já te respondo! Essas setinhas representam a força que as moléculas de ar estão fazendo na superfície desse fluido. São forças perpendiculares à superfície do fluido! Se pegarmos essa força e dividirmos pela área teremos a tensão normal.

Opa... uma força perpendicular sobre a área ( F A ) , eu acho que já conhecemos isso. É a nossa conhecida pressão! A pressão é a força por unidade de área aplicada em uma superfície do fluido. E nesse caso, como é a pressão que o ar faz, é a nossa conhecida pressão atmosférica, ou P a t m .

Então, a pressão está associada à força normal à superfície de fluido!

Mas e a tensão de cisalhamento, quem é ela?

A tensão de cisalhamento é a tensão gerada pela atuação de uma força paralela ao movimento em uma superfície onde temos um fluido.

Então, quando o fluido é submetido a uma tensão cisalhante, por menor que ela seja, ele não resiste! Como acontece essa paixonite? Quando a tensão cisalhante ( τ x y )   é aplicada, como mostrado na figura abaixo, o fluido vai escoar (fluir!)

Show de bola! Mas e aí? Existe alguma equação que rege esse movimento?

A resposta é sim e é conhecida como Lei de Newton da Viscosidade.

τ x y = μ d u d y

Que mostra que dada uma tensão cisalhante ( τ x y ) o fluido irá se deformar d u d y proporcionalmente à viscosidade ( μ ) .

Agora você pode estar se perguntando: Que derivada é essa?! O que significa isso?

Calma lá, jovem! Eu posso explicar... Esse termo aqui d u d y é chamado de: taxa de deformação. Ou seja, esse termo responde à pergunta: “Como a velocidade no eixo x varia em relação ao eixo y ?” ou então “A que taxa o fluido está deformando/escoando?”

E como isso funciona na prática? Por exemplo, o enunciado pode perguntar qual é a tensão cisalhante ( τ x y ) que atua nesse fluido. Vamos dar uma olhadinha na Lei de Newton da Viscosidade de novo.

τ x y = μ d u d y

Primeiro vamos precisar saber a viscosidade, certo? Fica tranquilo que esse dado geralmente é fornecido no enunciado. A água, por exemplo, tem viscosidade de 0,001   P a . s a 20 ° C . E a gente adora trabalhar a 20°C. :D

Mas como achar d u d y ? Para isso, precisamos saber como a velocidade u (ou seja, a velocidade na direção x ) varia com y . Como a gente sabe isso? De alguma forma, o enunciado nos dá o perfil de velocidade. Em matematiquês, perfil de velocidade é a função u y . Olha aí um exemplo de perfil:

Essa função pode ser uma reta, uma parábola, ou outra coisa. Na figura que acabei de te mostrar, essa função é uma reta:

u = 4 y

Derivando u em relação a y , nesse caso vamos ter uma constante. E essa constante é igual a 4. Mas quem a gente queria saber mesmo? A tensão cisalhante! Então, voltando na Lei de Newton da Viscosidade: a tensão vai ser igual a 0,001 (viscosidade da água) vezes 4 (   d u d y nesse caso), que é 0,004   P a .

Uhuuul! Sabemos calcular a tensão agora! A tensão que faz o fluido escoar. Mas qual será a força que teremos que aplicar para provocar essa tensão?

Como tensão é força sobre área de aplicação, então a força é:

F =   τ x y × A

Onde τ x y é a tensão de cisalhamento e A é a área onde a força é aplicada.

E se o fluido estiver parado?

Assim como vimos em toda a física, para um elemento estar parado é necessário que o somatório de forças sobre ele seja ZERO. E o mesmo vale para os elementos fluidos.

Então, para ver se um fluido vai ficar em equilíbrio, basta decompor as forças aplicadas nele e ver se o somatório é zero. Mais ou menos assim:

Se o objeto acima está parado, então ∑ F = 0 , certo? Então vamos montar uma equação para cada direção:

∑ F x = 0   e   ∑ F y = 0

Para resolver isso precisaremos apenas decompor a força T em forças T x e T y .

Agora que já sabemos sobre forças no fluido e tensão cisalhante, vamos aprender sobre os tipos de fluido!

Fluido Newtoniano e Não-Newtoniano

Outra forma de definir a viscosidade ( μ ) é falar que ela é a taxa de deformação do fluido d u d y quando ele sofre uma tensão de cisalhamento ( τ x y ) . Mostramos isso pela lei de Newton da viscosidade, certo? Olha ela aí de novo!

τ x y = μ d u d y

Tendo essa definição de viscosidade, podemos dividir os fluidos em dois tipos: os fluidos newtonianos e os não-newtonianos.

O que isso significa? Bem, o fluido newtoniano é aquele que se deforma linearmente quando aplicada uma tensão de cisalhamento sobre ele. Por menor que essa tensão seja, o fluido vai escoar.

Em outras palavras, para o fluido newtoniano, o gráfico de tensão por taxa de deformação é uma reta que passa pela origem ( y = a x ) e o coeficiente angular dessa reta é a viscosidade.

Já os fluidos não-newtonianos não podem ser descritos como uma reta que passa pela origem nesse tipo de gráfico! Existem vários tipos de fluidos dentro do grupo dos não-newtonianos: o plástico de Bingham, o pseudoplástico e o dilatante, por exemplo.

O fluido não-newtoniano mais conhecido é o fluido de Bingham, que é aquele que só começa a escoar quando a tensão de cisalhamento atinge um valor mínimo. Confere no gráfico abaixo. O plástico de Bingham também é uma reta, maaaas, tem um coeficiente linear maior que zero ( y = a x + b ) .

A água é um fluido newtoniano, já a pasta de dente e o chocolate são fluidos não-newtonianos. E faz sentido, imagina um tubo de pasta de dente, se lá dentro você tivesse água. Ao virar o tubo aberto de cabeça para baixo a água ia vazar, certo?

Pois a força da gravidade é suficiente para fazê-la escoar. Já se o tubo está cheio de pasta de dente ou chocolate, ao virá-lo nada ia acontecer, pois a força da gravidade está abaixo da força mínima necessária para fazer esse fluido escoar, por isso temos que apertar o tubo, para que ele escoe.

Fluidos incompressíveis e compressíveis

Já que estamos falando de tipos de fluidos, é hora de mostrar outro tipo de classificação! Algo será tratado no futuro será os fluidos compressíveis e incompressíveis.

A física sabe que ela é uma ciência difícil e por isso ela tenta ajudar com os nomes. Presta atenção, fluido compressível é o fluido que é possível comprimir, então se aplicarmos uma força nesse fluido conseguimos diminuir seu volume, certo? Assim, nós mudamos sua densidade, pois a massa do fluido não mudou, mas seu volume sim.

Como pressão é força por área, temos que fluido compressível é aquele que muda de massa específica quando muda a pressão exercida sobre ele. E fluido incompressível aquele que a massa específica não varia.

Adivinha qual será o tipo de fluido que mais vamos trabalhar em MecFlu? Sim, aquele que a massa específica se mantém constante quando pressão é exercida. Senhoras e senhores, o fluido incompressível!!

Nos próximos assuntos você vai ver que assumir como hipótese que o fluido estudado é incompressível vai facilitar bastante as contas. 😊

Opa! Só estou sentindo falta de alguma coisa agora... Já sei o que é! De uns exercícios! :D :D Bora conferir se aprendemos os conceitos de tensão cisalhante e tipo de fluidos certinho? Vem comigo, treina aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Considere o gráfico de Tensão Cisalhante por taxa de deformação (taxa de cisalhamento) a seguir:

Cada curva representa um fluido diferente. Qual(is) dos fluidos são newtonianos? Por quê?

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Passo 1

Opaa! Questão de gráfico! Afinal, como é que dá para saber se um fluido é newtoniano por esse gráfico aí?

Então, na teoria a gente viu que um fluido é newtoniano se ele obedece a lei de Newton da viscosidade, certo? Olha aí para gente lembrar:

τ x y = μ d u d y

No gráfico de tensão cisalhante (eixo y) por taxa de deformação (eixo x), acontece isso:

y =   τ x y

x =   d u d y

Logo, num gráfico desse tipo (como é no nosso enunciado), um fluido newtoniano seria representado por uma reta assim:

y = μ x

Repara que não é qualquer reta! É uma reta com coeficiente linear igual a zero, ou seja, ela começa na origem!

O próximo passo é ver quais das curvas do gráfico é descrita por uma reta y = μ x

Passo 2

Lembrando do gráfico

A curva (a) é uma reta, mas é uma reta com coeficiente linear diferente de zero, ou seja:

y = a x + b

Logo, o fluido (a) não é um fluido newtoniano, pois para isso b teria que ser zero. Portanto, a curva (a) não representa um fluido newtoniano, mas sim fluido de Bingham!

Vamos falar da curva (b) agora? Essa curva não é linear! Não dá para ser descrita como uma reta... Então, o fluido (b) não é newtoniano. Esse é o tipo de curva que descreve um fluido dilatante.

E a curva (c)? Podemos ver que ela é linear, certo? Além disso, ela corta o eixo y na origem. Dá uma olhadinha! Então, por causa disso, essa curva ma-ra-vi-lho-sa pode ser descrita por uma reta do tipo

y = a x

Então, o fluido (c) é newtoniano! 😉

Dá para ver que a curva (d) não é descrita por uma reta, certo? Aliás, esse tipo de curva descreve os fluidos pseudoplásticos.

E por fim, a curva (e) também é uma reta! Onde ela corta o eixo y? Na origem. Logo, é uma reta sem coeficiente linear. Então, por isso, o fluido (e) também é newtoniano!

Guarda aí: quando o gráfico da tensão cisalhante pela taxa de deformação é uma reta que passa pela origem, então o fluido é newtoniano!

Além disso, os tipos de fluido nesse gráfico são esses:

Resposta

Os fluidos newtonianos são os representados pelas curvas (c) e (e), pois obedecem à Lei de Newton da Viscosidade.

Exercício Resolvido #2

Em relação ao comportamento reológico de fluidos, analise as proposições a seguir.

I   - A viscosidade de um fluido sempre diminui com o aumento da temperatura.

I I   - Fluidos nos quais a tensão de cisalhamento não é proporcional ao quadrado da taxa de deformação são ditos fluidos não newtonianos.

I I I   - Um fluido plástico de Bingham não escoa quando submetido a uma tensão de cisalhamento inferior a um determinado valor limite.

I V   - Há fluidos não newtonianos nos quais a viscosidade aparente varia com o tempo.

São corretas APENAS as proposições

( a )   I   e   I I .

( b )   I I   e   I I I .

( c )   I I I   e   I V .

( d )   I ,   I I   e   I V .

( e )   I I ,   I I I   e   I V .

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Passo 1

Vamos ter que analisar afirmativa por afirmativa.

I   - A viscosidade de um fluido sempre diminui com o aumento da temperatura.

FALSA!

Pois vimos na teoria que isso depende se estamos falando de líquidos ou gases, que nos gases o aumento da temperatura aumenta a viscosidade.

Passo 2

I I   - Fluidos nos quais a tensão de cisalhamento não é proporcional ao quadrado da taxa de deformação são ditos fluidos não newtonianos.

FALSA. Fluidos não newtonianos são aqueles que a tensão de cisalhamento não é proporcional a deformação, ou seja, que a deformação não varia linearmente com a tensão de cisalhamento aplicada.

Passo 3

I I I - Um fluido plástico de Bingham não escoa quando submetido a uma tensão de cisalhamento inferior a um determinado valor limite.

VERDADEIRA.

Os fluidos de Bingham só escoam se sofrerem ação de uma tensão de cisalhamento maior que uma tensão de cisalhamento mínima.

Passo 4

I V   - Há fluidos não newtonianos nos quais a viscosidade aparente varia com o tempo.

Verdadeira.

Não falamos sobre isso, mas sabendo que a 3 é verdadeira e as outras não a única alternativa possível é ( c )   I I I   e   I V .

Mas então, existem sim fluidos em que a viscosidade varia com o tempo. Eles podem ser de dois tipos: fluidos tixotrópicos; fluidos reopéticos. Isso não cabe ao nosso estudo, mas se tiver curiosidade pesquise um pouco do comportamento deles é bem interessante.

Assim a alternativa correta é a letra c

Resposta

Alternativa c

Exercício Resolvido #3

Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 76, ex. 2.43

(Adaptada) O perfil de velocidade de um fluido que escoa sobre uma superfície é definido por:

u =   ρ g 2 μ × h y - y 2 2

Sabe-se que o fluido é água a 20°C e que h é a espessura do escoamento. Sendo h   =   0,004   m , encontre a expressão para taxa de deformação d u d y .

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Passo 1

E aí? Bora aprender a segurar esse forninho chamado perfil de velocidades?

Bem, a primeira coisa que você precisa saber para resolver esse tipo de questão é que por mais esquisito que o perfil de velocidade pareça, é a partir dele que você consegue achar a taxa de deformação.

Dica de amig@: esse perfil tem uma cara estranha, mas na verdade ele está tímido, escondendo sua tranquilidade! ρ ,   g ,   μ   e h são constantes. Quando substituirmos os seus valores, a equação vai ficar mais simples de se ver.

Como o fluido é a água a 20°C, sabemos que

ρ = 1000 k g m 3

μ = 10 - 3   P a . s

Lembrando que:

g = 9,8   m / s 2

E pelo enunciado:

h   =   0,004   m

Substituindo esses valores no perfil de velocidade:

u =   ρ g 2 μ × h y - y 2 2

u =   1000 × 9,8 2 × 10 - 3 × 0,004 × y - y 2 2

u =   4,9 × 10 6 × 0,004 × y - y 2 2

u =   19600   y - 2,45 × 10 6   y 2

O perfil de velocidade é um polinômio de segundo grau do bem. 😊

Passo 2

Para encontrar a taxa de deformação d u d y , precisamos derivar nosso perfil de velocidade em relação a y.

u =   19600   y - 2,45 × 10 6   y 2

Derivando:

d u d y = 19600 - 2   × 2,45 × 10 6   y

d u d y = 19600 - 4,9 × 10 6   y

E assim encontramos a expressão para taxa de deformação! :D

Resposta

d u d y = 19600 - 4,9 × 10 6   y

Exercício Resolvido #4

Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 76, ex. 2.40

(Adaptada) A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por

u u m á x = 1 - 2 y h 2

em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 20°C, com u m á x = 0,10   m / s e h   =   0,1   m m . Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido.

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Passo 1

Eu sei... esse enunciado pode parecer um pouco assustador de primeira, mas eu te trago ótimas notícias:

Finalmente chegou a sua hora de brilhar e calcular a tensão de cisalhamento! =D Tamo junto nessa!

E qual o segredo? Bem, para esse primeiro momento, vamos precisar da tensão cisalhante, da viscosidade e da taxa de deformação. Como se trata da água, que é fluido newtoniano, vale a Lei de Newton da Viscosidade:

τ x y = μ d u d y

Vejamos... a viscosidade da água a 20°C tem um valor certo. Além disso, o enunciado deu o perfil de velocidade. Então, para achar a tensão cisalhante, precisamos derivar esse perfil de velocidade aí em relação a y. Bora?

Passo 2

Vamos encontrar a taxa de deformação d u d y . Para isso, vamos derivar o perfil de velocidade, esse cara aqui:

u u m á x = 1 - 2 y h 2

Vamos derivar esse perfil em relação a y . Mas antes vamos dar uma organizada nessa equação aí:

u = u m á x 1 - 2 y h 2

u = u m á x - 4 u m á x h 2 y 2

Agora sim! Lembrando que u m á x