Exercícios Resolvidos de Equação da Continuidade

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Enunciado

Um pistão comprime gás em um cilindro movendo-se a uma velocidade constante V, como na figura:

Admita que a massa específica do gás e a posição do pistão em t = 0 sejam ρ 0 e L 0 , respectivamente. Considere que a velocidade do gás varie linearmente de u = V na face do pistão até u = 0 em x   = L . Se a massa específica do gás varia apenas com o tempo, encontre uma expressão para ρ ( t ) .

Passo 1

Então, no enunciado já são dadas diversas informações que serão úteis para a gente nesse problema:

- As condições iniciais do pistão;

- O fato da velocidade variar linearmente ( u = a x + b ):

u 0 = V = b

u L = 0 = a L + V

a = - V L

Logo,

u x , t = - V L x + V

Sendo L a posição do pistão que se move com velocidade constante V ,

L = L t = L o - V t

- A massa específica só varia no tempo.

Passo 2

Olhando a equação da continuidade já podemos eliminar algumas derivadas que simplificarão nosso problema:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

d ρ d t + ρ ∂ u ∂ x = 0

Substituindo nossa expressão de u :

d ρ d t + ρ - V L = 0

d ρ d t = ρ V L

Separando as variáveis e integrando:

∫ ρ o ρ d ρ ρ = V ∫ 0 t d t L o - V t

Devemos fazer uma substituição de variáveis x = L o - V t , d x = - V d t

Logo:

d t = - d x V

x 0 = L o

x t = L o - V t

Voltando à equação:

ln ⁡ ρ ρ o = V ∫ L o L o - V t - 1 x d x V

ln ⁡ ρ ρ o = - ∫ L o L o - V t d x x

ln ⁡ ρ ρ o = - ln ⁡ L o - V t L o

ln ⁡ ρ ρ o = ln ⁡ L o L o - V t

Ou:

ρ t = ρ o L o L o - V t

Resposta

ρ t = ρ o L o L o - V t

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