Exercícios Resolvidos de Equação da Continuidade

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Enunciado

Um caso muito comum na mecânica dos fluidos é o caso permanente e incompressível.

Deduza a expressão da Equação da Continuidade para o caso permanente, ou seja, sem variações no tempo, e incompressível, onde ρ é constante.

Passo 1

Temos a equação da continuidade:

∂ ρ ∂ t + ∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z = 0

Aplicando a primeira condição de escoamento permanente

∂ f ∂ t = 0

Senfo f uma função qualquer

∂ ρ ∂ t = 0

Logo

0 + ∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z = 0

Passo 2

Se ρ é constante, podemos tirar de dentro das derivadas:

ρ ∂ u ∂ x + ρ ∂ v ∂ y + ρ ∂ w ∂ z = 0

Colocando ρ em evidência

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como ρ é diferente de zero, podemos jogar ele pro outro lado da equação

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0 ρ = 0

Logo a expressão procurada é:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Esta expressão será bastante usada daqui pra frente nos exercícios.

Resposta

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

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