Circuitos Térmicos

Teoria Completa

A ideia dos circuitos térmicos é utilizá-los pra resolver sistemas mais complexos, onde temos várias resistências. Essas resistências podem estar em série ou em paralelo.

Você se lembra de circuitos elétricos, ou já faz muito tempo que você não vê isso?

O princípio vai ser justamente o mesmo que usamos pra circuitos elétricos!

Resistências em Série

Quando trabalhamos com isso em circuitos elétricos, vimos que, quando temos resistências em série, a resistência equivalente era igual à soma de todas essas resistências.

Pois bem, para resistências térmicas em série, a resistência térmica total será a soma de todas as resistências térmicas.

Dá uma olhada na parede composta aqui embaixo! Ela tem 3 camadas de diferentes materiais, e ainda tem convecção nas superfícies.

O calor, ao fluir da esquerda para a direita, será obrigado a passar tanto pelas convecções, quanto pelos materiais. No final das contas, a gente tem um conjunto de resistências (de convecção e condução) em série.

Então, a resistência total equivalente do circuito é dada por:

R t o t = 1 h 1 . A + L A k A . A + L B k B . A + L C k C . A + 1 h 4 . A

Resistências em Paralelo

A analogia com resistências elétricas em paralelo continua válida!

Agora, o inverso da resistência térmica total será a soma dos inversos das resistências térmicas em paralelo.

Vamos dar uma olhada nessa situação agora:

Repare que, se o calor flui no sentido positivo de x , após passar pelo material E , parte do calor flui pelo material F , enquanto a outra parte flui pelo material G , somando-se ao passar pelo material H .

Sendo assim, o circuito térmico que representa esse sistema é:

Para a parte que está em paralelo (no centro), a gente tem o seguinte:

1 R p a r a l e l o = 1 L F k F . ( A / 2 ) + 1 L G k G . ( A / 2 )

1 R p a r a l e l o = k F . ( A / 2 ) L F + k G . ( A / 2 ) L G

R p a r a l e l o = k F . ( A / 2 ) L F + k G . ( A / 2 ) L G - 1

Então, a resistência total equivalente do circuito completo (em série e em paralelo) é dada por:

R t o t = L E k E . A + R p a r a l e l o + L H k H . A

R t o t = L E k E . A + k F . ( A / 2 ) L F + k G . ( A / 2 ) L G - 1 + L H k H . A

Resistência Térmica de Contato

Muitos problemas que envolvem circuitos térmicos dizem no enunciado para você considerar o “contato perfeito” entre as superfícies, e muitos nem falam nada, já partindo do princípio que vamos considerar isso.

Mas o que isso quer dizer?!

Na realidade, o contato imperfeito entre as superfícies resulta em uma queda de temperatura entre as interfaces dos materiais. A ideia é mais ou menos a seguinte: quando olhamos de longe duas superfícies em contato, parece que elas estão perfeitamente em contato, certo?

Mas se olharmos um pouco mais de perto, vamos ver que não é bem assim que as coisas acontecem.

Esse contato imperfeito ocorre por conta da rugosidade dos materiais. Dessa forma, nós definimos a Resistência Térmica de Contato da seguinte forma:

R t , c = T A - T B q x

Então é importante ficar esperto pra ver se o problema quer ou não que você considere a resistência de contato.

Show de bola! Já podemos quebrar a cabeça com os exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Em um processo de fabricação, um filme transparente está sendo fixado a um substrato, conforme mostrado no esquema. Para curar a fixação a uma temperatura T 0 , uma fonte radiante é utilizada para fornecer um fluxo de calor q 0 ' ' ( W . m - 2 ), que é totalmente absorvido pela superfície fixada. A parte posterior do substrato é mantida a T 1 enquanto a superfície livre do filme é exposta ao ar a T ∞ e um coeficiente de transferência de calor por convecção h .

a Mostre o circuito térmico representando a situação de transferência de calor em regime estacionário. Identifique todos os elementos, nós e as taxas de calor. Deixe na forma simbólica.

b Considere as seguintes condições: T ∞ = 20 o C , h = 50   W . m - 2 . K - 1 e T 1 = 30 o C . Calcule o fluxo de calor necessário para manter a superfície fixada a T 0 = 60 o C .

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Passo 1

a Mostre o circuito térmico representando a situação de transferência de calor em regime estacionário. Identifique todos os elementos, nós e as taxas de calor. Deixe na forma simbólica.

Pra montar um circuito térmico, temos antes que identificar as temperaturas em cada superfície e quais as resistências que existem entre elas: se é de condução, de convecção ou de radiação.

A situação ilustrada pode ser esquematizada da seguinte maneira:

Então, já identificamos quais são as temperaturas do sistema e conseguimos ver que parte do calor é transferido por condução através do substrato ( R s ' ' ) para a parte de baixo e parte dele é transferido para cima, primeiro por condução no filme ( R f ' ' ) e depois por convecção ( R c v ' ' ) para o meio fluido.

Dessa forma, ficamos com o seguinte circuito térmico:

Em que:

  • R c v ' ' representa a resistência térmica por convecção em m 2 . K . W - 1 .
  • R f ' ' representa a resistência térmica por condução no filme em m 2 . K . W - 1 .
  • R s ' ' representa a resistência térmica por condução no substrato em m 2 . K . W - 1 .

Passo 2

b Considere as seguintes condições: T ∞ = 20 o C , h = 50   W . m - 2 . K - 1 e T 1 = 30 o C . Calcule o fluxo de calor necessário para manter a superfície fixada a T 0 = 60 o C .

Agora, bora resolver o problema de verdade, usando os dados fornecidos pelo enunciado. Antes de tudo, a gente tem que calcular cada uma das resistências térmicas:

R c v ' ' = 1 h                 →                 R c v ' ' = 1 50   W . m - 2 . K - 1                 →                 R c v ' ' = 0,02   m 2 . K . W - 1

R f ' ' = L f k f                 →                 R f ' ' = 0,00025   m 0,025   W . m - 1 . K - 1               →                 R f ' ' = 0,01   m 2 . K . W - 1

R s ' ' = L s k s                 →                 R s ' ' = 0,001   m 0,05   W . m - 1 . K - 1               →                 R f ' ' = 0,02   m 2 . K . W - 1

Note que estamos calculando as resistências a partir do fluxo e por isso a área do filme e do substrato não entram na fórmula.

Como o fluxo de calor de T 0 até T ∞ passa por duas resistências, a gente pode calcular a resistência térmica equivalente ( R e q ' ' ) desse trecho e, como essas resistências estão em série, basta somar uma com a outra:

R e q ' ' = R f ' ' + R c v ' '

R e q ' ' = 0,02   m 2 . K . W - 1 + 0,01   m 2 . K . W - 1

R e q ' ' = 0,03   m 2 . K . W - 1

Analisando o circuito, a gente pode ver que parte da energia que entra ( q 0 ' ' ) sai por cima ( q 2 ' ' ) e parte dela sai por baixo ( q 1 ' ' ). Então, podemos escrever que:

q 0 ' ' = q 1 ' ' + q 2 ' '

Escrevendo os fluxos em função das resistências:

q 0 ' ' = T 0 - T 1 R s ' ' + T 0 - T ∞ R e q ' '

q 0 ' ' = 333   K ) - ( 303   K 0,02   m 2 . K . W - 1 + 333   K ) - ( 293   K 0,03   m 2 . K . W - 1

q 0 ' ' = 2833   W . m - 2

Resposta

a

b

  q 0 ' ' = 2833   W . m - 2

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

(Adaptada) Considere uma camada da pele humana exposta para a atmosfera ao redor. Considere uma camada de tecido groduroso que possua 3   m m de espessura e cuja superfície interna seja mantida a uma temperatura de 36   o C . Em um dia calmo, o coeficiente de tranferência de calor por convecção na supeffíce externa é de 25   W . m - 2 . K - 1 , mas com ventos de 30   k m . h - 1 ele cheg a 65   W . m - 2 . K - 1 . Em ambos os casos, a temperatura do ar ambiente é de - 15   o C .

Dado: k p e l e = 0,2   W . m - 1 . K - 1 .

a Qual é a razão entre as perdas de calor (por unidade de área da pele) em um dia calmo e em um dia de vento?

b Qual será a temperatura da superfície externa da pele em um dia calmo? E em um dia de vento?

c Qual a temperatura que o ar deveria ter no dia calmo para causar a mesma perda de calor que ocorre com a temperatura do ar - 15   o C no dia em que há vento?

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Passo 1

A situação do enunciado pode ser esquematizada da seguinte forma:

Vendo o esquema, você consegue prever qual o sentido do fluxo de calor? A temperatura interna da pele ( T s , 1 ) é maior do que a temperatura do ar ( T ∞ ), então a gente espera que o fluxo saia da pele para o ar!

Essa energia térmica é transferida por dois mecanismos: primeiro por condução na pele e depois por convecção para o ar. Beleza! Como existem dois mecanismos de transferência em série, seria legal representarmos o circuito térmico. Então, se liga aí:

No circuito, a gente já consegue identificar quais são as temperaturas de cada superfície (interna e externa) e a temperatura do fluido (ar), além das resistências de condução e de convecção.

O enunciado pede a relação entre as perdas de calor por unidade de área da pele, ou seja, isso é o que a gente chama de fluxo de calor ( q ' ' ). Com base no circuito, a gente tem que:

q ' ' = T s , 1 - T ∞ R e q

Como as resistências estão em série, basta somarmos a resistência de condução com a de convecção:

q ' ' = T s , 1 - T ∞ R c d ' ' + R c v ' '

Ótimo! A gente já sabe T s , 1 e T ∞ e ainda podemos calcular a resistência por condução ( R c d ' ' ). A única variável que a gente vai mudar de uma situação pra outra é a R c v ' ' , porque ela depende do coeficiente de convecção ( h ).

Passo 2

a Qual é a razão entre as perdas de calor (por unidade de área da pele) em um dia calmo e em um dia de vento?

Então, a gente precisa calcular as resistências térmica de convecção ( R c v ' ' ) pro dia calmo e pro dia de vento.

A resistência de condução é dada por:

R c d , c ' ' = L k

Logo:

R c d , c ' ' = 0,003   m 0,2   W . m - 1 . K - 1

R c d , c ' ' = 0,015   m ² . K . W - 1

  • Para o dia calmo, a gente tem que:

R c v , c ' ' = 1 h c

Assim:

R c v , c ' ' = 1 25   W . m - 2 . K - 1

R c v , c ' ' = 0,04   m ² . K . W - 1

Com a resistência calculada, a gente pode calcular o fluxo de calor com:

q c ' ' = T s , 1 - T ∞ R c d ' ' + R c v ' '

q c ' ' = 309   K - 258   K 0,015   m ² . K . W - 1 + 0,04   m ² . K . W - 1

q c ' ' = ~ 927,3   W . m - 2

Passo 3

  • Para o dia de vento, a gente tem que:
  • R c v ,   v ' ' = 1 h v

    Assim:

    R c v , v ' ' = 1 65   W . m - 2 . K - 1

    R c v , v ' ' = ~ 0,015   m ² . K . W - 1

    Com as resistência, o fluxo será:

    q v ' ' = T s , 1 - T ∞ R c d ' ' + R c v ' '

    q v ' ' = 309   K - 258   K 0,015   m ² . K . W - 1 + 0,015   m ² . K . W - 1

    q v ' ' = 1700   W . m - 2

    Dess forma, a razão entre entre as perdas de calor (por unidade de área da pele) em um dia calmo e em um dia de vento ( Y ) será:

    Y = q c ' ' q v ' '

    Logo:

    Y = ( 927,3   W . m - 2 ) 1700   W . m - 2

    Y = 0,545

    Isso quer dizer que a perda de calor num dia calmo equivale a 54,5 % da perda de calor observada em um dia de vento.

    Isso condiz com o mecanismo físico, porque quanto maior a velocidade do fluido, mais fluido passa em uma região para roubar calor em cada intervalo de tempo, então maior é a convecção.

    Passo 4

    b Qual será a temperatura da superfície externa da pele em um dia calmo? E em um dia de vento?

    Bora lembrar do nosso esquema aqui embaixo:

    Fazendo um balanço de energia na superfície externa da pele, a gente nota que:

    E ˙ e - E ˙ s + E ˙ g = E ˙ a

    q c o n d ' ' - q c o n v ' ' + 0 = 0

    Logo, a gente conclui que:

    q c o n d ' ' = q c o n v ' '

    Em termos das resistências térmicas:

    T s , 1 - T s , 2 R c d ' ' = T s , 2 - T ∞ R c v ' '

    Então, a gente sabe que o fluxo de calor de condução é igual ao de convecção, que é igual ao fluxo total, porque a quantidade de energia témrica que passa pelo circuito em determinado tempo é a mesma!

    Então, a gente pode escrever o seguinte:

    q ' ' = T s , 1 - T s , 2 R c d ' ' = T s , 2 - T ∞ R c v ' '

    Isso significa que, pra calcular a temperatura da superfície externa, a gente não precisa fazer no trecho todo, só em um dos trechos: no de condução ou de convecção.

    Vou escolher aqui fazer na condução, porque ela não muda de uma situação pra outra, mas tanto faz, tá bem? Mas tanto faz! ^^

  • Para o dia calmo, a gente tem que:
  • q c ' ' = T s , 1 - T s , 2 ( c ) R c d ' '

    Isolando a temperatura da superfície externa ( T s , 2 ), temos que:

    T s , 2 = T s , 1 - q c ' ' . R c d ' '

    Substituindo os valores que calculamos na letra a), para o dia calmo, temos:

    T s , 2 ( c ) = 309   K - 927,3   W . m - 2 . 0,015   m ² . K . W - 1

    T s , 2 ( c ) = 295,1   K

    Passo 5

  • Para o dia de vento, a gente tem que:

q v ' ' = T s , 1 - T s , 2 ( v ) R c d ' '

Isolando a temperatura da superfície externa ( T s , 2 ), temos que:

T s , 2 = T s , 1 - q c ' ' . R c d ' '

Substituindo os valores que calculamos na letra a), para o dia de vento, temos:

T s , 2 ( v ) = 309   K - 1700   W . m - 2 . 0,015   m ² . K . W - 1

T s , 2 ( v ) = 283,5   K

Passo 4

c Qual a temperatura que o ar deveria ter no dia calmo para causar a mesma perda de calor que ocorre com a temperatura do ar - 15   o C no dia em que há vento?

Bom, agora a gente tem comparar duas situações: o dia de vento com o ar a - 15   o C e o dia calmo com o ar a uma temperatura de T ∞ , c . Em ambas as situações a pele continua com sua superfície a 36   o C .

Então, bora calcular que temperatura T ∞ , c faz com que a perda de calor no dia calmo seja igual a do dia com vento!

Já vimos que o fluxo de calor no dia de vento com a temperatura do ar a - 15   o C equivale a:

q v ' ' = 1700   W . m - 2

Então, igualando com a expressão para o fluxo no dia calmo, teremos:

q v ' ' = q c ' '

q v ' ' = T s , 1 - T ∞ , c R c d ' ' + R c v ' '

Isolando a temperatura do ar T ∞ , c , teremos:

T ∞ , c = T s , 1 + q v ' ' . ( R c d ' ' + R c v ' ' )

Já calculamos a resistência térmica de condução e a de convecção para o dia calmo:

R c d ' ' = 0,015   m ² . K . W - 1                 e                 R c v ' ' = 0,040   m ² . K . W - 1

Dessa maneira, substituindo os valores:

T ∞ , c = 309   K - 1700   W . m - 2 . 0,015 + 0,040   m ² . K . W - 1

T ∞ , c = 215,5   K

Logo, a temperatura que o ar deveria ter no dia calmo para causar a mesma perda de calor que no dia em que há vento equivale a aproximadamente - 57,5   o C .

Resposta

a

Y = 0,545

b

P a r a   o   d i a   c a l m o : T s , 2 ( c ) = 295,1   K   ( o u   22,1   o C ) .

                    P a r a   o   d i a   d e   v e n t o : T s , 2 ( v ) = 283,5   K   ( o u   10,5   o C ) .

c

T ∞ , c = 215,5   K   o u   - 57,5   o C .  

Exercício Resolvido #3

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

A parede composta de um forno consiste em três materiais, dois dos quais com condutividade térmica ( k A = 20   W . m - 1 . K - 1 e k C = 50   W . m - 1 . K - 1 ) e espessura ( L A = 0,30   m e L C = 0,15   m ) conhecidas. O terceiro material ( B ), que se encontra entre os materiais A e C , possui espessura ( L B = 0,15   m ) conhecida, mas a condutividade térmica ( k B ) é desconhecida.