Condução em Sistemas Radiais

Teoria Completa

Introdução

Fala, galerinha! Tudo certo? Prontos pra desbravar novos mares? Então, bora lá!

Nesse tópico, a gente vai ver basicamente como tratar da condução em geometrias com curvas.

Ahaha É isso mesmo, vamos ver aqui basicamente dois tipos de parede: as cilíndricas e as esféricas.

A gente já estudou a condução em paredes planas, então vocês vão tirar de letra isso daqui, é bem parecido com o que já vimos: a gente vai trabalhar com circuitos térmicos, determinar taxas e temperaturas. Vem comigo então!

Equação do Calor para Sistemas Cilíndricos

No tópico de balanço de energia, a gente já viu a Equação do Calor para coordenadas cartesianas ( x , y e z ). Mas a gente também pode fazer o mesmo esquema num corpo cilíndrico e obter a Equação do Calor em coordenadas cilíndricas ( r , θ e z ).

Fazendo o balanço de energia num elemento infinitesimal, como o mostrado aqui embaixo, a gente vai obter a Equação do Calor, dada por:

1 r . ∂ ∂ r k . r . ∂ T ∂ r + 1 r 2 . ∂ ∂ ϕ k . ∂ T ∂ ϕ + ∂ ∂ z k . ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ . c p . ∂ T ∂ t

Em boa parte dos problemas, nós tratamos de situações com as seguintes características:

  • Condução unidimensional em r : não há variação em ϕ ou z .
  • Estado estacionário: não há variação ao longo do tempo.
  • Sem geração de energia: o termo q ˙ é nulo.
  • Propriedades constantes: a condutividade térmica k pode sair da derivada.

Dessa forma, podemos simplificar a Equação do Calor para:

k r . d d r r . d T d r = 0

Bora resolver juntos essa equação, sigam-me os bons:

k r . d d r r . d T d r = 0 → d d r r . d T d r = 0

Integrando a equação em termos do raio r , a gente fica com:

∫ d d r r . d T d r d r = 0

r . d T d r = C 1

Reorganizando a equação:

d T d r = C 1 r → d T = C 1 r d r

Integrando novamente a equação em termos do raio r :

∫ d T = ∫ C 1 r   d r

T r = C 1 . ln ⁡ r + C 2

Como a gente tem que determinar as duas constantes, a gente precisa de duas condições de contorno. No caso mais simples de sabermos as temperaturas das superfícies, ficamos com:

T r 1 = T s , 1                             e                         T r 2 = T s , 2

Utilizando essas condições para encontrar C 1 e C 2 , chegaremos a essa expressão final da temperatura:

    T r = T s , 1 - T s , 2 ln ⁡ r 1 / r 2 . ln ⁡ r r 2 + T s , 2

Pronto! Essa é a distribuição de temperatura em uma casca cilíndrica!

Resistência Térmica para Sistemas Cilíndricos

Pela definição de Resistência Térmica, temos que:

R t = Δ T q

Para encontrar a taxa transferência de calor por condução ao longo do raio, basta a gente usar a equação de Fourier:

q ' ' r = - k . d T d r

Derivando a expressão de T r que achamos, a gente fica com:

q ' ' r = T s , 1 - T s , 2 ln ⁡ r 2 / r 1 . k r

Para achar a taxa, basta a gente multiplicar pela área de troca térmica A ( r ) :

q r = q ' ' r . A r

q r = T s , 1 - T s , 2 ln ⁡ r 2 / r 1 . k r . ( 2 π . r . L )

Logo:

q r = 2 π . L . k ln ⁡ r 2 / r 1 . T s , 1 - T s , 2

Assim, a gente conclui que a resistência de condução para superfícies cilíndricas é dada por:

R t , c o n d = ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . L . k

Importante: Note que a taxa não depende do raio, mas o fluxo depende! Então, a gente só pode usar circuito térmico tratando de taxa e nunca tratando de fluxo!!

Show! Agora vamos usar o mesmo princípio para sistemas esféricos!

Equação do Calor para Sistemas Esféricos

Agora você já sacou como funciona! Em coordenadas esféricas ( r , ϕ e θ ), a equação fica a seguinte:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen 2 ⁡ θ . ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Talvez a sua reação ao ver essa equação tenha sido essa (pelo menos a minha foi):

Sim, eu sei, ela assusta demais! Mas, fazendo as mesmas considerações que fizemos para a equação em coordenadas esféricas e resolvendo a Equação do Calor para encontrar a temperatura, a gente fica com:

    T r = - C 1 r + C 2

Vamos tratar aqui de uma casca de raio interno r 1 e raio externo r 2 .

Utilizando as mesmas condições de contorno de temperaturas conhecidas na superfície:

    T r = T s , 1 - T s , 2 1 / r 1 - 1 / r 2 . 1 r - 1 r 1 + T s , 1

Resistência Térmica para Sistemas Esféricos

O fluxo de calor, pela equação de Fourier ao longo de r será:

q ' ' r = T s , 1 - T s , 2 1 / r 1 - 1 / r 2 . k r 2  

Multiplicando pela área de troca térmica A ( r ) , a gente fica com:

q r = T s , 1 - T s , 2 1 / r 1 - 1 / r 2 . k r 2   . ( 4 π . r 2 )

Logo:

q r = 4 π . k 1 / r 1 - 1 / r 2 . T s , 1 - T s , 2

Assim, a gente conclui que a resistência de condução para superfícies esféricas é dada por:

R t , c o n d = 1 4 π . k   1 r 1 - 1 r 2

Se liga! Não se preocupe se você se assustou um pouco com as equações, o quadro abaixo resume o que há de mais importante aqui. Nos problemas, geralmente a boa é lembrar da Equação do Calor e da Resistência Térmica de Condução. O resto a gente é brabo e consegue descobrir, se necessário.

Agora que você já está equipado com todo esse arsenal de expressões pra calcular resistências térmicas e taxas, você já pode ir à guerra! ^^

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Uma parede cilíndrica é composta de dois materiais de condutividades térmicas k A e k B que são separados por um aquecedor elétrico delgado, para o qual as resistências de contato na interface são desprezíveis.

O líquido bombeado através do tubo encontra-se a uma temperatura T ∞ , i e fornece um coeficiente de convecção h i na superfície interna da composição. A superfície externa é exposta ao ar ambiente, que está a T ∞ , o e fornece um coeficiente de convecção h o . Em condições de regime estacionário, um fluxo de calor uniforme q h ' ' é dissipado pelo aquecedor.

a Esboce o circuito térmico equivalente do sistema e expresse todas as resistências em termos das variáveis relevantes.

b Obtenha uma expressão que pode ser utilizada para determinar a temperatura do aquecedor ( T h ).

c Obtenha uma expressão para a razão entre os fluxos de calor para os fluidos interno ( q i ' ) e externo ( q o ' ). Como as variáveis do problema podem ser ajustadas para minimizar essa razão?

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Passo 1

a Esboce o circuito térmico equivalente do sistema e expresse todas as resistências em termos das variáveis relevantes.

Como a gente já tá acostumado, bora fazer o circuito térmico. Para os sistemas radiais (cilindros e esferas), a gente só precisa fazer o circuito do centro pra fora, porque é simétrico pro outro lado!

Identificando as temperaturas em cada superfície (nós do circuito) e desenhando as resistências entre elas, a gente fica com:

Como sabemos, as expressões de resistência térmica de convecção são as mesmas no caso de placa plana, cilindros ou esferas, o que muda é o cálculo da área de troca térmica ( A ).

Para o caso acima, teremos:

R c v . i = 1 h i . A i

  R c v . o = 1 h o . A o

Expressando as áreas em termos dos raios, temos que:

R c v . i = 1 h i . 2 π . L . r i

R c v . o = 1 h o . ( 2 π . L . r o )

Mas a gente não conhece o comprimento do cilindro, e agora? Nem precisa, a gente pode simplesmente expressar as resistências relativas ao comprimento do cilindro:

R c v , i ' = 1 h i . 2 π . r i

R c v , o ' = 1 h o . ( 2 π . r o )

“Show! Mas e as resistências de condução?” Ah, essas daí são diferentes do caso da parede plana e também diferem dos casos da esfera. Para corpos cilíndricos, a gente viu que:

R c d = ln ⁡ r 2 / r 1   2 . π . L . k

Então, escrevendo as resistências térmicas de condução nas cascas cilíndricas A e B , a gente fica com:

R c d , A = ln ⁡ r 3 / r 2   2 . π . L . k A

R c d , B = ln ⁡ r 2 / r 1   2 . π . L . k B

Pela mesma estratégia que fizemos com as resistências de convecção, ficamos com:

R c d , A ' = ln ⁡ r 3 / r 2   2 . π . k A

R c d , B ' = ln ⁡ r 2 / r 1   2 . π . k B

Agora a gente já pode desenhar o circuito com as respectivas resistências em termos dos parâmetros relevantes do problema:

Passo 2

b Obtenha uma expressão que pode ser utilizada para determinar a temperatura do aquecedor ( T h ).

Agora a gente precisa calcular a temperatura do aquecedor. Para isso, a gente pode tentar fazer o balanço de energia no ponto referente ao aquecedor!

Pelo circuito a gente pode ver que uma certa energia entra pelo ponto aquecedor ( q h ' ' ) e que ela vai se dissipar por dois caminhos diferentes ( q i ' e q o ' ). Como o enunciado dá os fluxos de saída por unidade de comprimento, para igualar entrada e saída precisamos multiplicar q h ' ' pelo perímetro do cilindro ( 2 π . r 2 ) .

Sendo assim:

q h ' ' . 2 π . r 2 = q i ' + q o '

OBS: Se você achar essa forma muito complicada, você pode fazer o balanço na forma de taxa de calor (e não por fluxo), daí você vai ver que o comprimento vai cancelar em todos os termos da equação!

Continuando com a equação, a gente pode substituir as expressões dos calores:

q h ' ' . 2 π . r 2 = T h - T ∞ , i R c v , i ' + R c d , B ' + T h - T ∞ , o R c d , A ' + R c v , o '

Agora é álgebra, acabou a Transferência de Calor! A gente só tem que isolar a temperatura T h da equação. Então, bora lá!

q h ' ' . 2 π . r 2 = T h - T ∞ , i . R c d , A ' + R c v , o ' + T h - T ∞ , o . ( R c v , i ' + R c d , B ' ) R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o '

q h ' ' . 2 π . r 2 . R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o ' = ( T h - T ∞ , i ) . R c d , A ' + R c v , o ' + T h - T ∞ , o . ( R c v , i ' + R c d , B ' )

Colocando a temperatura T h em evidência, a gente fica com:

q h ' ' . 2 π . r 2 . R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , i . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , o . R c v , i ' + R c d , B ' = T h . R c d , A ' + R c v , o ' + ( R c v , i ' + R c d , B ' )

E finalmente:

T h = q h ' ' . 2 π . r 2 . R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , i . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , o . R c v , i ' + R c d , B ' R c d , A ' + R c v , o ' + ( R c v , i ' + R c d , B ' )

Passo 3

c Obtenha uma expressão para a razão entre os fluxos de calor para os fluidos interno ( q i ' ) e externo ( q o ' ). Como as variáveis do problema podem ser ajustadas para minimizar essa razão?

A razão entre os calores ( Q ) é dada por:

Q = q o ' q i '                       →                       Q = q o ' . q i ' - 1

Substituindo as expressões de q o ' e de q o ' , a gente fica com:

Q = T h - T ∞ , o R c d , A ' + R c v , o ' . T h - T ∞ , i R c v , i ' + R c d , B ' - 1

Q = T h - T ∞ , o R c d , A ' + R c v , o ' . R c v , i ' + R c d , B ' T h - T ∞ , i

Q = T h - T ∞ , o T h - T ∞ , i . R c v , i ' + R c d , B ' R c d , A ' + R c v , o '

Para minimizar essa razão, a gente precisa diminuir os termos do numerador e/ou aumentar aqueles do denominador. De maneira, prática podemos:

  1. Aquecer o fluido que passa pelo interior (aumenta T ∞ , i )
  2. Resfriar o fluido que passa pelo interior (diminui T ∞ , o )
  3. Aumentar a velocidade do fluido no interior (aumenta h i )
  4. Aumentar a espessura da casca cilíndrica A (aumenta R c d , A )
  5. Diminuir a espessura da casca cilíndrica B (diminui R c d , B )

Entre outras modificações quanto aos materiais e os fluidos.

Resposta

( a )

b

T h = q h ' ' . 2 π . r 2 . R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , i . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , o . R c v , i ' + R c d , B ' R c d , A ' + R c v , o ' + ( R c v , i ' + R c d , B ' )

c

Q = T h - T ∞ , o T h - T ∞ , i . R c v , i ' + R c d , B ' R c d , A ' + R c v , o '

E as possíveis modificações para diminuir seu valor são listadas abaixo:

  1. Aquecer o fluido que passa pelo interior (aumenta T ∞ , i )
  2. Resfriar o fluido que passa pelo interior (diminui T ∞ , o )
  3. Aumentar a velocidade do fluido no interior (aumenta h i )
  4. Aumentar a espessura da casca cilíndrica A (aumenta R c d , A )
  5. Diminuir a espessura da casca cilíndrica B (diminui R c d , B )

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Uma casca esférica composta, com raio interno r 1 = 0,25   m é construída de chumbo ( k A = 35,3   W . m - 1 . K - 1 ) de raio externo r 2 = 0,30   m e aço inoxidável A I S I   302 ( k B = 15,1   W . m - 1 . K - 1 ) de raio externo r 3 = 0,31   m . A cavidade é preenchida com resíduos radioativos que geram calor a uma taxa de q ˙ = 5 . 10 5   W . m - 3 . Propõe-se que o recipiente seja submerso em águas oceânicas que estão a uma temperatura T ∞ = 10 o C e fornecem um coeficiente de convecção uniforme h = 500   W . m - 2 . K - 1 para a superfície externa do contêiner. Existe algum problema associado a essa proposta?

Admita que a temperatura de fusão dos materiais são: T f ,   c h u m b o = 327,6 o C e T f ,   a ç o = 1410 o C .

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Passo 1

Você deve ter se perguntado: “Como assim ‘algum problema associado à proposta’?” Então, muitas vezes em processos de transferência de calor, a gente tá interessado em saber se um sistema “aguenta” a quantidade de calor gerada, ou seja, se alguma peça vai derreter.

Sabendo disso, nosso objetivo nessa questão é calcular as temperaturas de cada superfície e garantir que elas não ultrapassem os pontos de fusão do respectivo material.

Agora que sabemos o que fazer, bora dar uma olhadinha num esquema da situação:

Como não há geração na casca esférica composta em si, a gente pode construir o circuito térmico representativo do sistema:

Em que as resistências de condução em geometrias esféricas têm uma expressão diferente da placa plana e das geometrias cilíndricas:

R c d = 1 / r 1   - 1 / r 2 4 π . k

Passo 2

Pelo circuito, a gente pode escrever que:

q = T 1 - T ∞ R c d , A + R c d , B + R c v

A gente viu que a fonte calor desse sistema são os resíduos radioativos no interior da cavidade, que geram uma taxa volumétrica de q ˙ = 5 . 10 5   W . m - 3 .

Então, para achar a taxa de calor que flui pela esfera até o ambiente, basta a gente multiplicar pelo volume da cavidade:

q = q ˙ . V                           →                             q = q ˙ . 4 π 3 . r 1 3

Dessa forma:

q = 5 . 10 5   W . m - 3 . 4 π 3 . 0,25   m 3

q = 32725   W

Passo 3

Então, só nos resta calcular as resistências no circuito térmico que fizemos!

Para a condução no chumbo:

R c d , A = 1 / r 1   - 1 / r 2 4 π . k A

R c d , A = 0,25   m - 1 - 0,30   m - 1 4 π . 35,3   W . m - 1 . K - 1

R c d , A = 1,503 . 10 - 3   K . W - 1

Para a condução no aço inoxidável:

R c d , B = 1 / r 2   - 1 / r 3 4 π . k B

R c d , A = 0,30   m - 1 - 0,31   m - 1 4 π . 15,1   W . m - 1 . K - 1

R c d , A = 5,667 . 10 - 4   K . W - 1

Calculando ainda a resistência de convecção:

R c v = 1 A . h                             →                                 R c v = 1 4 π . r 3 2 . h

R c v = 1 4 π . 0,31   m 2 . 500   W . m - 2 . K - 1

R c v = 1,656 . 10 - 3   K . W - 1