Condução em Sistemas Radiais

Teoria Completa

Introdução

Fala, galerinha! Tudo certo? Prontos pra desbravar novos mares? Então, bora lá!

Nesse tópico, a gente vai ver basicamente como tratar da condução em geometrias com curvas.

Ahaha É isso mesmo, vamos ver aqui basicamente dois tipos de parede: as cilíndricas e as esféricas.

A gente já estudou a condução em paredes planas, então vocês vão tirar de letra isso daqui, é bem parecido com o que já vimos: a gente vai trabalhar com circuitos térmicos, determinar taxas e temperaturas. Vem comigo então!

Equação do Calor para Sistemas Cilíndricos

No tópico de balanço de energia, a gente já viu a Equação do Calor para coordenadas cartesianas ( x , y e z ). Mas a gente também pode fazer o mesmo esquema num corpo cilíndrico e obter a Equação do Calor em coordenadas cilíndricas ( r , θ e z ).

Fazendo o balanço de energia num elemento infinitesimal, como o mostrado aqui embaixo, a gente vai obter a Equação do Calor, dada por:

1 r . ∂ ∂ r k . r . ∂ T ∂ r + 1 r 2 . ∂ ∂ ϕ k . ∂ T ∂ ϕ + ∂ ∂ z k . ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ . c p . ∂ T ∂ t

Em boa parte dos problemas, nós tratamos de situações com as seguintes características:

  • Condução unidimensional em r : não há variação em ϕ ou z .
  • Estado estacionário: não há variação ao longo do tempo.
  • Sem geração de energia: o termo q ˙ é nulo.
  • Propriedades constantes: a condutividade térmica k pode sair da derivada.

Dessa forma, podemos simplificar a Equação do Calor para:

k r . d d r r . d T d r = 0

Bora resolver juntos essa equação, sigam-me os bons:

k r . d d r r . d T d r = 0 → d d r r . d T d r = 0

Integrando a equação em termos do raio r , a gente fica com:

∫ d d r r . d T d r d r = 0

r . d T d r = C 1

Reorganizando a equação:

d T d r = C 1 r → d T = C 1 r d r

Integrando novamente a equação em termos do raio r :

∫ d T = ∫ C 1 r   d r

T r = C 1 . ln ⁡ r + C 2

Como a gente tem que determinar as duas constantes, a gente precisa de duas condições de contorno. No caso mais simples de sabermos as temperaturas das superfícies, ficamos com:

T r 1 = T s , 1                             e                         T r 2 = T s , 2

Utilizando essas condições para encontrar C 1 e C 2 , chegaremos a essa expressão final da temperatura:

    T r = T s , 1 - T s , 2 ln ⁡ r 1 / r 2 . ln ⁡ r r 2 + T s , 2

Pronto! Essa é a distribuição de temperatura em uma casca cilíndrica!

Resistência Térmica para Sistemas Cilíndricos

Pela definição de Resistência Térmica, temos que:

R t = Δ T q

Para encontrar a taxa transferência de calor por condução ao longo do raio, basta a gente usar a equação de Fourier:

q ' ' r = - k . d T d r

Derivando a expressão de T r que achamos, a gente fica com:

q ' ' r = T s , 1 - T s , 2 ln ⁡ r 2 / r 1 . k r

Para achar a taxa, basta a gente multiplicar pela área de troca térmica A ( r ) :

q r = q ' ' r . A r

q r = T s , 1 - T s , 2 ln ⁡ r 2 / r 1 . k r . ( 2 π . r . L )

Logo:

q r = 2 π . L . k ln ⁡ r 2 / r 1 . T s , 1 - T s , 2

Assim, a gente conclui que a resistência de condução para superfícies cilíndricas é dada por:

R t , c o n d = ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . L . k

Importante: Note que a taxa não depende do raio, mas o fluxo depende! Então, a gente só pode usar circuito térmico tratando de taxa e nunca tratando de fluxo!!

Show! Agora vamos usar o mesmo princípio para sistemas esféricos!

Equação do Calor para Sistemas Esféricos

Agora você já sacou como funciona! Em coordenadas esféricas ( r , ϕ e θ ), a equação fica a seguinte:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen 2 ⁡ θ . ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Talvez a sua reação ao ver essa equação tenha sido essa (pelo menos a minha foi):

Sim, eu sei, ela assusta demais! Mas, fazendo as mesmas considerações que fizemos para a equação em coordenadas esféricas e resolvendo a Equação do Calor para encontrar a temperatura, a gente fica com:

    T r = - C 1 r + C 2

Vamos tratar aqui de uma casca de raio interno r 1 e raio externo r 2 .

Utilizando as mesmas condições de contorno de temperaturas conhecidas na superfície:

    T r = T s , 1 - T s , 2 1 / r 1 - 1 / r 2 . 1 r - 1 r 1 + T s , 1

Resistência Térmica para Sistemas Esféricos

O fluxo de calor, pela equação de Fourier ao longo de r será:

q ' ' r = T s , 1 - T s , 2 1 / r 1 - 1 / r 2 . k r 2  

Multiplicando pela área de troca térmica A ( r ) , a gente fica com:

q r = T s , 1 - T s , 2 1 / r 1 - 1 / r 2 . k r 2   . ( 4 π . r 2 )

Logo:

q r = 4 π . k 1 / r 1 - 1 / r 2 . T s , 1 - T s , 2

Assim, a gente conclui que a resistência de condução para superfícies esféricas é dada por:

R t , c o n d = 1 4 π . k   1 r 1 - 1 r 2

Se liga! Não se preocupe se você se assustou um pouco com as equações, o quadro abaixo resume o que há de mais importante aqui. Nos problemas, geralmente a boa é lembrar da Equação do Calor e da Resistência Térmica de Condução. O resto a gente é brabo e consegue descobrir, se necessário.

Agora que você já está equipado com todo esse arsenal de expressões pra calcular resistências térmicas e taxas, você já pode ir à guerra! ^^

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Uma parede cilíndrica é composta de dois materiais de condutividades térmicas k A e k B que são separados por um aquecedor elétrico delgado, para o qual as resistências de contato na interface são desprezíveis.

O líquido bombeado através do tubo encontra-se a uma temperatura T ∞ , i e fornece um coeficiente de convecção h i na superfície interna da composição. A superfície externa é exposta ao ar ambiente, que está a T ∞ , o e fornece um coeficiente de convecção h o . Em condições de regime estacionário, um fluxo de calor uniforme q h ' ' é dissipado pelo aquecedor.

a Esboce o circuito térmico equivalente do sistema e expresse todas as resistências em termos das variáveis relevantes.

b Obtenha uma expressão que pode ser utilizada para determinar a temperatura do aquecedor ( T h ).

c Obtenha uma expressão para a razão entre os fluxos de calor para os fluidos interno ( q i ' ) e externo ( q o ' ). Como as variáveis do problema podem ser ajustadas para minimizar essa razão?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Esboce o circuito térmico equivalente do sistema e expresse todas as resistências em termos das variáveis relevantes.

Como a gente já tá acostumado, bora fazer o circuito térmico. Para os sistemas radiais (cilindros e esferas), a gente só precisa fazer o circuito do centro pra fora, porque é simétrico pro outro lado!

Identificando as temperaturas em cada superfície (nós do circuito) e desenhando as resistências entre elas, a gente fica com:

Como sabemos, as expressões de resistência térmica de convecção são as mesmas no caso de placa plana, cilindros ou esferas, o que muda é o cálculo da área de troca térmica ( A ).

Para o caso acima, teremos:

R c v . i = 1 h i . A i

  R c v . o = 1 h o . A o

Expressando as áreas em termos dos raios, temos que:

R c v . i = 1 h i . 2 π . L . r i

R c v . o = 1 h o . ( 2 π . L . r o )

Mas a gente não conhece o comprimento do cilindro, e agora? Nem precisa, a gente pode simplesmente expressar as resistências relativas ao comprimento do cilindro:

R c v , i ' = 1 h i . 2 π . r i

R c v , o ' = 1 h o . ( 2 π . r o )

“Show! Mas e as resistências de condução?” Ah, essas daí são diferentes do caso da parede plana e também diferem dos casos da esfera. Para corpos cilíndricos, a gente viu que:

R c d = ln ⁡ r 2 / r 1   2 . π . L . k

Então, escrevendo as resistências térmicas de condução nas cascas cilíndricas A e B , a gente fica com:

R c d , A = ln ⁡ r 3 / r 2   2 . π . L . k A

R c d , B = ln ⁡ r 2 / r 1   2 . π . L . k B