Condução em Sistemas Radiais
Teoria
Introdução
Fala, galerinha! Tudo certo? Prontos pra desbravar novos mares? Então, bora lá!
Nesse tópico, a gente vai ver basicamente como tratar da condução em geometrias com curvas.
Ahaha É isso mesmo, vamos ver aqui basicamente dois tipos de parede: as cilíndricas e as esféricas.
A gente já estudou a condução em paredes planas, então vocês vão tirar de letra isso daqui, é bem parecido com o que já vimos: a gente vai trabalhar com circuitos térmicos, determinar taxas e temperaturas. Vem comigo então!
Equação do Calor para Sistemas Cilíndricos
No tópico de balanço de energia, a gente já viu a Equação do Calor para coordenadas cartesianas (, e ). Mas a gente também pode fazer o mesmo esquema num corpo cilíndrico e obter a Equação do Calor em coordenadas cilíndricas (, e ).
Fazendo o balanço de energia num elemento infinitesimal, como o mostrado aqui embaixo, a gente vai obter a Equação do Calor, dada por:
Em boa parte dos problemas, nós tratamos de situações com as seguintes características:
- Condução unidimensional em : não há variação em ou .
- Estado estacionário: não há variação ao longo do tempo.
- Sem geração de energia: o termo é nulo.
- Propriedades constantes: a condutividade térmica pode sair da derivada.
Dessa forma, podemos simplificar a Equação do Calor para:
Bora resolver juntos essa equação, sigam-me os bons:
Integrando a equação em termos do raio , a gente fica com:
Reorganizando a equação:
Integrando novamente a equação em termos do raio :
Como a gente tem que determinar as duas constantes, a gente precisa de duas condições de contorno. No caso mais simples de sabermos as temperaturas das superfícies, ficamos com:
Utilizando essas condições para encontrar e , chegaremos a essa expressão final da temperatura:
Pronto! Essa é a distribuição de temperatura em uma casca cilíndrica!
Resistência Térmica para Sistemas Cilíndricos
Pela definição de Resistência Térmica, temos que:
Para encontrar a taxa transferência de calor por condução ao longo do raio, basta a gente usar a equação de Fourier:
Derivando a expressão de que achamos, a gente fica com:
Para achar a taxa, basta a gente multiplicar pela área de troca térmica :
Logo:
Assim, a gente conclui que a resistência de condução para superfícies cilíndricas é dada por:
Importante: Note que a taxa não depende do raio, mas o fluxo depende! Então, a gente só pode usar circuito térmico tratando de taxa e nunca tratando de fluxo!!
Show! Agora vamos usar o mesmo princípio para sistemas esféricos!
Equação do Calor para Sistemas Esféricos
Agora você já sacou como funciona! Em coordenadas esféricas (, e ), a equação fica a seguinte:
Talvez a sua reação ao ver essa equação tenha sido essa (pelo menos a minha foi):
Sim, eu sei, ela assusta demais! Mas, fazendo as mesmas considerações que fizemos para a equação em coordenadas esféricas e resolvendo a Equação do Calor para encontrar a temperatura, a gente fica com:
Vamos tratar aqui de uma casca de raio interno e raio externo .
Utilizando as mesmas condições de contorno de temperaturas conhecidas na superfície:
Resistência Térmica para Sistemas Esféricos
O fluxo de calor, pela equação de Fourier ao longo de será:
Multiplicando pela área de troca térmica , a gente fica com:
Logo:
Assim, a gente conclui que a resistência de condução para superfícies esféricas é dada por:
Se liga! Não se preocupe se você se assustou um pouco com as equações, o quadro abaixo resume o que há de mais importante aqui. Nos problemas, geralmente a boa é lembrar da Equação do Calor e da Resistência Térmica de Condução. O resto a gente é brabo e consegue descobrir, se necessário.
Agora que você já está equipado com todo esse arsenal de expressões pra calcular resistências térmicas e taxas, você já pode ir à guerra! ^^
Resistência Térmica para Sistemas Cilíndricos
Equação do Calor para Sistemas Esféricos
Resistência Térmica para Sistemas Esféricos
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.
Uma parede cilíndrica é composta de dois materiais de condutividades térmicas e que são separados por um aquecedor elétrico delgado, para o qual as resistências de contato na interface são desprezíveis.
O líquido bombeado através do tubo encontra-se a uma temperatura e fornece um coeficiente de convecção na superfície interna da composição. A superfície externa é exposta ao ar ambiente, que está a e fornece um coeficiente de convecção . Em condições de regime estacionário, um fluxo de calor uniforme é dissipado pelo aquecedor.
Esboce o circuito térmico equivalente do sistema e expresse todas as resistências em termos das variáveis relevantes.
Obtenha uma expressão que pode ser utilizada para determinar a temperatura do aquecedor ().
Obtenha uma expressão para a razão entre os fluxos de calor para os fluidos interno () e externo (). Como as variáveis do problema podem ser ajustadas para minimizar essa razão?
Passo 1
Esboce o circuito térmico equivalente do sistema e expresse todas as resistências em termos das variáveis relevantes.
Como a gente já tá acostumado, bora fazer o circuito térmico. Para os sistemas radiais (cilindros e esferas), a gente só precisa fazer o circuito do centro pra fora, porque é simétrico pro outro lado!
Identificando as temperaturas em cada superfície (nós do circuito) e desenhando as resistências entre elas, a gente fica com:
Como sabemos, as expressões de resistência térmica de convecção são as mesmas no caso de placa plana, cilindros ou esferas, o que muda é o cálculo da área de troca térmica ().
Para o caso acima, teremos:
Expressando as áreas em termos dos raios, temos que:
Mas a gente não conhece o comprimento do cilindro, e agora? Nem precisa, a gente pode simplesmente expressar as resistências relativas ao comprimento do cilindro:
“Show! Mas e as resistências de condução?” Ah, essas daí são diferentes do caso da parede plana e também diferem dos casos da esfera. Para corpos cilíndricos, a gente viu que:
Então, escrevendo as resistências térmicas de condução nas cascas cilíndricas e , a gente fica com:
Pela mesma estratégia que fizemos com as resistências de convecção, ficamos com:
Agora a gente já pode desenhar o circuito com as respectivas resistências em termos dos parâmetros relevantes do problema:
Passo 2
Obtenha uma expressão que pode ser utilizada para determinar a temperatura do aquecedor ().
Agora a gente precisa calcular a temperatura do aquecedor. Para isso, a gente pode tentar fazer o balanço de energia no ponto referente ao aquecedor!
Pelo circuito a gente pode ver que uma certa energia entra pelo ponto aquecedor e que ela vai se dissipar por dois caminhos diferentes ( e ). Como o enunciado dá os fluxos de saída por unidade de comprimento, para igualar entrada e saída precisamos multiplicar pelo perímetro do cilindro .
Sendo assim:
OBS: Se você achar essa forma muito complicada, você pode fazer o balanço na forma de taxa de calor (e não por fluxo), daí você vai ver que o comprimento vai cancelar em todos os termos da equação!
Continuando com a equação, a gente pode substituir as expressões dos calores:
Agora é álgebra, acabou a Transferência de Calor! A gente só tem que isolar a temperatura da equação. Então, bora lá!
Colocando a temperatura em evidência, a gente fica com:
E finalmente:
Passo 3
Obtenha uma expressão para a razão entre os fluxos de calor para os fluidos interno () e externo (). Como as variáveis do problema podem ser ajustadas para minimizar essa razão?
A razão entre os calores () é dada por:
Substituindo as expressões de e de , a gente fica com:
Para minimizar essa razão, a gente precisa diminuir os termos do numerador e/ou aumentar aqueles do denominador. De maneira, prática podemos:
- Aquecer o fluido que passa pelo interior (aumenta )
- Resfriar o fluido que passa pelo interior (diminui )
- Aumentar a velocidade do fluido no interior (aumenta )
- Aumentar a espessura da casca cilíndrica (aumenta )
- Diminuir a espessura da casca cilíndrica B (diminui )
Entre outras modificações quanto aos materiais e os fluidos.
Resposta
E as possíveis modificações para diminuir seu valor são listadas abaixo:
- Aquecer o fluido que passa pelo interior (aumenta )
- Resfriar o fluido que passa pelo interior (diminui )
- Aumentar a velocidade do fluido no interior (aumenta )
- Aumentar a espessura da casca cilíndrica (aumenta )
- Diminuir a espessura da casca cilíndrica B (diminui )
Exercício Resolvido #2
INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.
Uma casca esférica composta, com raio interno é construída de chumbo () de raio externo e aço inoxidável () de raio externo . A cavidade é preenchida com resíduos radioativos que geram calor a uma taxa de . Propõe-se que o recipiente seja submerso em águas oceânicas que estão a uma temperatura e fornecem um coeficiente de convecção uniforme para a superfície externa do contêiner. Existe algum problema associado a essa proposta?
Admita que a temperatura de fusão dos materiais são: e .
Passo 1
Você deve ter se perguntado: “Como assim ‘algum problema associado à proposta’?” Então, muitas vezes em processos de transferência de calor, a gente tá interessado em saber se um sistema “aguenta” a quantidade de calor gerada, ou seja, se alguma peça vai derreter.
Sabendo disso, nosso objetivo nessa questão é calcular as temperaturas de cada superfície e garantir que elas não ultrapassem os pontos de fusão do respectivo material.
Agora que sabemos o que fazer, bora dar uma olhadinha num esquema da situação:
Como não há geração na casca esférica composta em si, a gente pode construir o circuito térmico representativo do sistema:
Em que as resistências de condução em geometrias esféricas têm uma expressão diferente da placa plana e das geometrias cilíndricas:
Passo 2
Pelo circuito, a gente pode escrever que:
A gente viu que a fonte calor desse sistema são os resíduos radioativos no interior da cavidade, que geram uma taxa volumétrica de .
Então, para achar a taxa de calor que flui pela esfera até o ambiente, basta a gente multiplicar pelo volume da cavidade:
Dessa forma:
Passo 3
Então, só nos resta calcular as resistências no circuito térmico que fizemos!
Para a condução no chumbo:
Para a condução no aço inoxidável:
Calculando ainda a resistência de convecção:
Passo 4
Substituindo na expressão da taxa, teremos:
Isolando a temperatura da superfície , a gente fica com:
Passo 5
Como é a temperatura na superfície do chumbo e seu valor é menor que o da temperatura de fusão desse material (), então o chumbo não vai derreter ali.
Mas e as demais temperaturas ( e )? Temos que calculá-las pra saber se os materiais vão derreter? Não! “Mas por quê?”
Note que é a maior temperatura do sistema, pois ela é a temperatura da superfície mais próxima da região onde a energia é gerada. Então:
Se o chumbo não derrete na maior temperatura do sistema (), então ele também não derreterá na superfície mais externa (a temperatura de ).
E o aço? A temperatura de fusão do aço é de (ou ), que é bem maior que e, consequentemente, também será maior que e . Logo, ele também não derreterá!
Resposta
Não há nenhum problema associado ao derretimento das peças utilizadas no sistema.
Nenhuma temperatura das superfícies supera os pontos de fusão do aço e do chumbo!
Exercício Resolvido #3
INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.
(Adaptada) Um tubo de aço de paredes finas com de diâmetro é utilizado para transportar vapor saturado a uma pressão de através de um ambiente onde a temperatura do ar é e o coeficiente de convecção na superfície externa do tubo é . A resistência convectiva do lado vapor pode ser desprezível.