Condução com Geração Térmica

Teoria Completa

Introdução

Fala, galerinha! Tudo certo? Aqui nesse tópico a gente vai ver um caso especial de condução. É o caso em que energia térmica é gerada ou consumida dentro do corpo.

Mas você já parou pra pensar em como se gera ou se consome energia em um certo volume? Basicamente, a geração de energia térmica acontece em fios, chips e aquecedores, por onde uma corrente elétrica passa e acaba dissipando energia térmica por efeito Joule.

Mas pode ser também que esteja ocorrendo alguma reação exotérmica (libera calor) e a energia térmica esteja sendo gerada ali dentro. Por outro lado, se essa reação for endotérmica, uma parte da energia que entrar no volume pode ser consumida pela reação.

O que queremos fazer aqui é prever qual vai ser a temperatura em todos os pontos de uma geometria que esteja gerando ou consumindo calor. Pra isso, a gente precisa encontrar uma expressão que descreva a temperatura, ou seja, a distribuição de temperatura.

A gente já fez isso, tá lembrado? Agora, a diferença é que o termo de geração q ˙ não será mais zero como estávamos considerando até aqui, então as coisas vão mudar um pouco!

Pra encontrar a distribuição de temperatura, a gente precisa recorrer à equação do calor e vocês vão perceber que a gente faz sempre o mesmo passo-a-passo:

  1. Identificar o sistema de coordenadas a ser usado (cartesiano, cilíndrico ou esférico);
  2. Fazer as simplificações que cabem ao problema;
  3. Integrar a equação na dimensão em que ocorre a condução ( x ou r );
  4. Agrupar de um lado da equação o termo da derivada e do outro o restante dos termos;
  5. Integrar a nova equação para obter o perfil de temperatura;
  6. Identificar as condições de contorno que podem ser usadas nas superfícies;
  7. Com as condições de contorno, calcular as constantes de integração;
  8. Xablau! Teremos a distribuição de temperatura no corpo.

Bora ver se isso dá certo mesmo? Se liga aí então!

Parede Plana

Bora encontrar o perfil de temperaturas nas paredes nas situações onde há geração de calor dentro delas.

Passo 1: Como o sistema é retangular, a gente vai usar a equação do calor em coordenadas cartesianas:

∂ ∂ x k . ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k . ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k . ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ . c p . ∂ T ∂ t

Passo 2: Hipóteses simplificadoras:

  • Condução unidimensional em x : não há variação em y ou z .
  • Estado estacionário: não há variação ao longo do tempo.
  • Com geração de energia: o termo q ˙ é diferente de zero.
  • Propriedades constantes: a condutividade térmica k pode sair da derivada.

Assim, a Equação do Calor fica dessa forma:

k . d d x d T d x + q ˙ = 0

d d x d T d x = - q ˙ k

Passos 3 e 4: Assim, podemos fazer a primeira integração da equação em relação a x :

∫ d d x d T d x d x = - ∫ q ˙ k d x

d T d x = - q ˙ k . x + C 1

Passo 5: Integrando mais uma vez a equação em termos de x :

∫ d T d x d x = ∫ - q ˙ k . x + C 1 d x

Prontinho! Esse será o perfil de temperaturas em uma parede plana com geração:

T x = - q ˙ 2 . k . x 2 + C 1 . x + C 2

Os Passos 6 e 7 dependem das condições de contorno que o problema der. E aí, Xablau!

Pela equação, com aquele x 2 lá, a gente vê que a temperatura se comporta como uma parábola ao longo de x . Basicamente, uma parábola pode ter sua concavidade pra cima ou pra baixo, certo? O que vai dizer isso é o termo que multiplica x 2 !

  • Se o calor for gerado dentro da parede, então q ˙ > 0 . Dessa maneira, o termo que multiplica x 2 é negativo e a parábola tem concavidade pra baixo.
  • Se o calor for consumido dentro da parede, então q ˙ < 0 . Dessa maneira, o termo que multiplica x 2 é positivo e a parábola tem concavidade pra cima.

Mas mesmo quando definida a concavidade da parábola, as condições de contorno podem mexer com a cara da curva, dá uma olhada:

A imagem ( a ) mostra o caso em que a condição de contorno de um lado é diferente da do outro lado. Já a imagem ( b ) mostra o caso em que as duas condições de contorno são iguais (simetria).

Sistemas Cilíndricos

Como eu te disse no passo-a-passo, a única coisa que muda para sistemas cilíndricos é que trabalhamos com coordenadas diferentes: as coordenadas cilíndricas. Lembra da Equação do Calor em coordenas cilíndricas? Não? Então tá aí:

1 r . ∂ ∂ r k . r . ∂ T ∂ r + 1 r 2 . ∂ ∂ ϕ k . ∂ T ∂ ϕ + ∂ ∂ z k . ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ . c p . ∂ T ∂ t

Admitindo a condução unidimensional em r e todas as outras considerações lá de cima, a gente fica com o seguinte:

k r . d d r r . d T d r + q ˙ = 0

d d r r . d T d r = - q ˙ k . r

Integrando a equação em termos de r :

∫ d d r r . d T d r d r = ∫ - q ˙ k . r d r

Assim:

r . d T d r = - q ˙ k . r 2 2 + C 1

d T d r = - q ˙ 2 . k . r + C 1 r

Integrando novamente a equação em termos de r , a gente fica com:

∫ d T d r d r = ∫ - q ˙ 2 . k . r + C 1 r d r

T r = - q ˙ 4 . k . r 2 + C 1 . ln ⁡ r + C 2

Mesmo esquema, viu? Esse é o perfil de temperatura em cilindros e cascas cilíndricas (anéis). Pra descobrir as constantes, é só a gente aplicar as condições de contorno do problema.

Sistemas Esféricos

Tá cansado já de ver a mesma coisa, não? Então vou agilizar as coisas pra você, já que a gente é parça! Se a gente não lembrava da equação com coordenadas cilíndricas, a da esfera então... Então, olha só:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen 2 ⁡ θ . ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Com aquelas simplificações todas, só resta isso aqui:

1 r 2 . ∂ ∂ r k . r 2 . ∂ T ∂ r + q ˙ = 0

E depois de aplicar o nosso passo-a-passo maroto, a gente consegue o perfil de temperatura numa esfera:

T r = - q ˙ 6 .   k . r 2 - C 1 k . r + C 2

E, mais uma vez, as constantes saem das condições de contorno que você aplicar!

Agora que vocês já estão craques com as equações de calor, bora dar uma exercitada. Então se alonga aí e parte pras questões!

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Uma parede plana é composta por dois materiais A e   B . A parede de material A apresenta uma geração de energia de q ˙ = 1,5 × 10 6   W / m 3 , k A = 75   W / m K   e espessura de L A = 50   m m . A parede de material B , sem geração de calor, é caracterizada por k B = 150   W / m K e L B = 20   m m .

A superfície interna do material A é bem isolada, enquanto que a superfície externa está sendo resfriada por uma corrente de água a T ∞ = 30 ° C e h = 1000   W / m 2 K .

a Esquematize o perfil de temperatura que existe no sistema sob condições de estado estacionário.

b Determine a temperatura T 1 da interface dos materiais e a temperatura T 2 da superfície resfriada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Esquematize o perfil de temperatura que existe no sistema sob condições de estado estacionário.

Já discutimos nos tópicos anteriores como são os perfis de temperatura na parede plana com geração (parabólico) e sem geração (reta). Então vamos analisar como o perfil de temperatura se comporta em cada material.

Material A:

Além disso, sabemos que o fluxo de calor na superfície isolada é zero, ou seja:

- k ∂ T ∂ x x = 0 = 0

Se a derivada da temperatura é nula, isso significa que esse ponto será um ponto de máxima ou de mínima temperatura.

Como há geração de calor na superfície A e esse calor só escapa pela direita (lado do material B), podemos afirmar que:

T 0 > T 1 > T 2

Sendo assim, a gente conclui que a temperatura em x = 0 é um ponto de máximo e a parábola no material A tem concavidade pra baixo!

Passo 2

Material B:

Por fim, a gente pode avaliar a derivada das curvas na transição do material A para o material B . “Mas como?”

A condutividade térmica nos dá essa informação! Quanto maior a condutividade térmica de um material, menor será a resistência térmica de condução e, consequentemente, as temperaturas estre duas extremidades serão mais parecidas.

Sendo assim, quando a gente avalia quantos graus variaram em um determinado espaço de tempo (conceito da derivada), esse valor será pequeno.

Sendo assim, como a condutividade térmica do material B é maior que a do material A , podemos afirmar que a derivada do perfil em B será menor que a derivada em A .

Passo 3

Por fim, o perfil de temperatura da superfície para o fluido é semelhante a uma exponencial, pois a convecção é um fenômeno muito intenso e a temperatura, em pouco espaço, já alcança o valor da temperatura no seio do fluido ( T ∞ ).

Diante disso tudo, propomos o seguinte perfil de temperatura:

Passo 4

b Determine a temperatura T 1 da interface dos materiais e a temperatura T 2 da superfície resfriada.

A temperatura da superfície externa ( T 2 ) pode ser obtida se fizermos um balanço de energia na parede de material B . Como não há geração nesse material, temos que o fluxo de calor que entra pela superfície a temperatura de T 1 é o mesmo fluxo que sai por convecção pela superfície a T 2 :

q ' ' = h . ( T 2 - T ∞ )

Esse fluxo de calor pode ser determinado por um segundo balanço de energia, mas agora na parede de material A . Como não há fluxo pela superfícies isolada, todo o calor gerado no material A , sai pela superfície em x = L A .

Dessa maneira, a gente pode escrever o seguinte:

q ˙ . V o l = q

Dividindo pela área de troca térmica, pra escrevermos em termos do fluxo de calor e não da taxa, ficamos com:

q ˙ . L A = q ' '

Igualando as duas expressões pro fluxo que achamos, teremos:

q ˙ . L A = h . ( T 2 - T ∞ )

Isolando a temperatura T 2 , a gente fica com:

T 2 = T ∞ + q ˙ . L A h

Onde:

T ∞ = 30 ° C

q ˙ = 1,5 × 10 6   W / m 3

L A = 50   m m = 0,05   m

h = 1000   W / m 2 K

Substituindo os valores:

T 2 = 30 + 1,5 × 10 6 × 0,05 1000

T 2 = 105 ° C

Passo 5

Pra gente encontrar a temperatura T 1 , a gente pode fazer um circuito na parte da direita do sistema, porque ali não há geração então a gente pode montar circuito térmico!

Fazendo isso, teremos o seguinte:

Dessa maneira a gente pode escrever o fluxo de calor da seguinte forma:

q ' ' = T 1 - T ∞ R c o n d ,   B ' ' + R c o n v ' '

Obs.: Estamso definindo R ' ' as resistências térmicas associadas ao fluxo de calor, ao invés da taxa de transferência de calor.

Isolando a temperatura de interesse T 1 , a gente tem que:

T 1 = T ∞ + q ' ' . ( R c o n d ,   B ' ' + R c o n v ' ' )

T 1 = T ∞ + q ' ' . L B k B + 1 h

Onde:

T ∞ = 30 ° C