Equação da Energia e Bernoulli
Teoria
Aplicando o Teorema de Transporte de Reynolds para a Energia
Já vimos como aplicar a conservação de massa e a quantidade de movimento. O último item a aprender a aplicar ao volume de controle é a conservação de energia.
Nesse caso, vamos usar a primeira lei da termo . Quando aplicamos ela usando o teorema de transporte de Reynolds obtemos:
Que equação grandinha e monstrinha, não? Será que não conseguimos simplificar??
Considerando o escoamento permanente a gente zera o primeiro termo .
E podemos escrever assim a equação:
Já ficou melhor, né?
Mas o que é isso tudo? São os fluxos de calor, trabalho, massa. Sendo a entalpia.
Para melhorar nossa situação podemos usar o fato de haver conservação de massa e assim
Podemos dividir toda equação pela vazão mássica, assim obtendo:
Essa equação ainda está em termos de propriedade térmicas como que representa a entalpia.
Assim, alguns estudiosos fizeram várias transformações para chegar numa forma simplificada da equação de energia:
Equação da Conservação da Energia para o Volume de Controle
Essa vai ser a equação que mais vamos usar, essa equação compara a energia entre duas superfícies.
Onde é a pressão em uma superfície escolhida, a velocidade de escoamento do fluido nessa superfície e a altura dessa superfície.
Além disso temos . Esse está relacionado com pressão ou potência. Lembra que podemos indicar pressão em m de coluna de líquido? Pois aqui é assim. Eesses s indicam uma “potência” porque essa pressão é capaz de realizar trabalho. Mas a unidade desse é metros ok?
Aliás, essa é a equação da energia. Porééém, se você olhar a fundo, vai perceber que cada parcela dessa expressão não está Joules (unidade de energia no Sistema Internacional), mas sim em metros.
O fato é que nós manipulamos tanto a equação para ficar com variáveis que conhecemos, que agora as parcelas estão na unidade de metros. Tá tudo bem 😊 . Podemos continuar chamando de equação da energia porque essa equação surgiu da aplicação do Teorema do Transporte de Reynolds para a energia!
Só não podemos esquecer então que são medidas em metros no Sistema Internacional, tá ok?
Então, a velocidade na nossa equação está relacionada à energia cinética, a altura está relacionada à energia potencial gravitacional, a pressão está relacionada à energia das forças de pressão do fluido. Maaas...
Quem são ?
Da mesma forma que a velocidade está associada à energia cinética, está associada à energia perdida ao longo do escoamento por conta do atrito, está associada à energia gerada para o sistema pela bomba e está associada à energia retirada do sistema para girar a turbina.
Mas NÃO É A ENERGIA EM SI! Combinado? São medidas em metros no SI.
Dando nome a elas:
= Perda de Carga
= Carga fornecida pela bomba
= Carga consumida pela turbina
Agora conhecemos quem é quem na nossa equação da energia. 😊
E se eu quiser conhecer a Potência?
Se quisermos descobrir a potência requerida pela bomba ou gerada pela turbina, basta fazermos
E trocamos por pra calcular a carga fornecida pela bomba e por pra carga consumida pela turbina.
E lembrando que Q é a vazão volumétrica.
Equação de Bernoulli
Ok! Mas e se o fluido, além de incompressível em escoamento permanente, for um fluido super incrível e não gerar atrito? Aí não teria perdas, certo? E se eu considerar também que no meu sistema não tem bomba, nem turbina? Seria possível simplificar a equação da energia para essa equação aqui?
A resposta é sim! E aliás, essa equação já tem nome e se chama Equação de Bernoulli. Ela é uma versão simplificada da equação da energia (sem as cargas ), porém você só pode usá-la se tiver certeza que no seu volume de controle não tem turbina, nem bomba e que seu fluido, além de incompressível em escoamento permanente, é invíscido.
Invíscido? Um fluido invíscido é um um fluido em que a viscosidade é tão tão pequena que consideramos que não há atrito no escoamento e portanto, não haveria perdas. Fique atento, pois a maioria dos fluidos que utilizamos não podem ser considerados invíscidos...
Mas se considerarmos um escoamento qualquer a equação de Bernoulli nos fornecerá a seguinte equação:
Mas relaxa, isso será pouco usado, o mais usual será essa aqui:
Então, vamos praticar muito como usar essa equação de energia.
Equação da Conservação da Energia para o Volume de Controle
Quem são h p e r d a s , h b o m b a , h t u r b i n a ?
E se eu quiser conhecer a Potência?
Equação de Bernoulli
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 502, ex. 8.80
(Adaptada) Água escoa em um tubo horizontal de área transversal constante; o diâmetro do tubo é 75 mm e a velocidade média do escoamento é 5 m/s. Na entrada do tubo, a pressão manométrica é 275 kPa e a saída é à pressão atmosférica. Determine a perda de carga no tubo.
Passo 1
Nesse exercício temos um tubo horizontal. Isso quer dizer que a elevação na entrada e na saída do escoamento é a mesma:
Além disso, ao dizer que a velocidade média do escoamento é 5 m/s, podemos dizer que a velocidade de entrada e saída são iguais a esse valor:
Podemos trabalhar com pressão manométrica ou absoluta. O importante é que se escolhermos utilizar manométrica, teremos que usá-la para e . Se escolhermos usar absoluta, teremos que usá-la para e .
Só não vale misturar manométrica com absoluta, combinado? Vou escolher usar manométrica aqui:
Podemos finalmente ir para a equação da energia!
Passo 2
A equação da energia é:
Nesse caso não temos bomba nem turbina, então e
Como e , esses termos serão cancelados
Assim, podemos perceber que nesse caso, a perda de carga está relacionada apenas à queda de pressão. Substituindo os valores:
Encontramos a perda de carga!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 502, ex. 8.79
(Adaptada) Medidas foram feitas para a configuração de escoamento de água mostrada na figura. Na entrada, seção 1, a pressão é 70kPa (manométrica), a velocidade média é 1,75 m/s e a elevação é 2,25 m. Na saída, seção 2, a pressão, a velocidade média e a elevação são, respectivamente, 45 kPa (manométrica), 3,5 m/s e 3 m, respectivamente. Calcule a perda de carga em metros.
Passo 1
Primeiro, vamos anotar direitinho quem é quem. Na entrada (seção 1), temos:
Já na saída (seção 2), temos:
Opa! Então o enunciado nos deu todos os dados de pressão, velocidade e elevação. Com a equação da energia, vamos conseguir calcular a perda de carga que foi pedida.
Passo 2
A equação da energia é:
Como não há bomba nem turbina no nosso volume de controle (que já foi definido na figura do enunciado), então e . Atualizando a equação da energia:
Vamos substituir os valores separados no Passo 1 e calcular a perda de carga
Lembrando que o fluido é a água
Encontramos a perda de carga! :D
Resposta
Exercício Resolvido #3
Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 502, ex. 8.81
Para a configuração de escoamento da figura, é sabido que a perda de carga é 1 m. Da entrada para a saída, a queda de pressão é 50 kPa, a velocidade dobra da entrada para a saída, e o aumento de elevação é de 2 m. Calcule a velocidade de entrada da água.
Passo 1
Dessa vez o enunciado deu as variáveis da equação da energia de uma forma um pouquinho diferente. O primeiro passo é escrever quem são essas variáveis.
Pela figura, vemos que a seção 1 corresponde à entrada e a seção 2 à saída.
O é negativo pois houve uma queda de pressão, ou seja, . Logo, podemos reescrever essa relação:
Agora sim, vamos para a equação da energia!
Passo 2
A equação da energia é:
Lembrando que, como não tem bomba nem turbina no volume de controle, então e . Logo, a equação da energia fica:
E agora, reorganizando os termos para podermos substituir o que encontramos pelo enunciado:
Substituindo:
Logo, a velocidade de entrada é 3,7 m/s
Resposta
Exercício Resolvido #4
Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.
Quando a bomba da figura abaixo bombeia de água a do reservatório, a perda de carga total por atrito é de . O escoamento descarrega através de um bocal para a atmosfera. Calcule a potência da bomba em entregue para a água.
Passo 1
Vamos começar definindo as superfícies de analise de energia.
Assim, temos superfície na superfície do reservatório e uma superfície na saída do fluido.
Precisamos descobrir quanto vale e para isso vamos usar o fato do enunciado nos ter fornecido a vazão da bomba. Como o fluido é a água o fluido é incompressível e por isso podemos falar que a vazão que a bomba impõe é igual à vazão de saída.
E a velocidade com que o reservatório desce?? Se liga nessa dica, ela vai ser muito usada.
Em questões de reservatório se considera que o volume de água é tão mais tão grande que sua altura não muda, assim .
Agora vamos aplicar a equação de conservação de energia. Como a vazão mássica é igual, podemos escrever o sistema como vimos na teoria:
Agora vamos considera nosso eixo na superfície , assim
A pressão em é a pressão atmosférica e a pressão em também é .
é a perda por fricção ou atrito, assim o enunciado nos disse que vale
Então ficamos com a seguinte equação
Mas queremos a potencia da bomba, assim temos que lembrar que a potencia de uma bomba é dada por:
Resposta
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