Equação da Energia e Bernoulli

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Opaa, seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora bater um papo sobre equação da energia! Pela primeira lei da termodinâmica podemos calcular a variação de energia de um sistema usando a seguinte fórmula:

Onde é a quantidade de calor e é o trabalho. Agora, aplicando o Teorema de Transporte de Reynolds para a Energia temos:

Teorema de Transporte de Reynolds para a Energia
Teorema de Transporte de Reynolds para a Energia

Como assim??!! 😱😱😱

📢 Clique para saber mais:

Calma, dificilmente a gente vai usar essa equação ai de cima. Tem muuuitas simplificações pela frente e a gente também vai entender o significado de cada termo! Pra começar com tudo, que tal você conferir esse vídeo super completo que o Responde Aí preparou pra você?

A primeira coisa que podemos fazer para simplificar a nossa equação é considerar o regime permanente, dessa forma temos:

Onde:

  • ⇒ Fluxo de calor
  • ⇒ Fluxo de trabalho de eixo
  • ⇒ Fluxo de trabalho de outras fontes
  • ⇒ Fluxo de massa
  • ⇒ Entalpia
  • ⇒ Velocidade
  • ⇒ gravidade
  • ⇒ altura

Para melhorar nossa situação podemos considerar conservação de massa:

Podemos também dividir toda equação pela vazão mássica, assim obtendo:

Essa equação ainda está em termos de propriedade térmicas como h que representa a entalpia. Assim, alguns estudiosos fizeram várias transformações para chegar numa forma simplificada da equação de energia:

Equação da Conservação da Energia para o Volume de Controle

Finalmente chegamos em uma equação que vamos usar bastante! A equação abaixo compara a energia entre duas superfícies:

Onde é a pressão em uma superfície escolhida, a velocidade de escoamento do fluido nessa superfície e a altura dessa superfície. Além disso temos . Esse está relacionado com pressão ou potência, onde:

  • é a perda de carga
  • é a carga fornecida pela bomba
  • é a carga consumida pela turbina

Equação de Bernoulli

A Equação de Bernoulli é uma simplificação da equação de conservação de energia. Nela consideramos o fluido incompressível e em escoamento permanente, sem bomba ou turbina. Podemos escrever a equação de Bernoulli da seguinte forma:

Onde , e são a pressão, velocidade e altura do ponto e do ponto . Você sabia que a equação de Bernoulli explica como os aviões se sustentam no ar?!

Porque os aviões voam?

Pra ficar mais claro vamos dar uma olhada no desenho da asa de um avião:

Asa de um avião: Como um avião se sustenta no ar?
Asa de um avião: Como um avião se sustenta no ar?

Imagina uma quantidade pequenininha de ar na ponta esquerda da asa, uma parte dela vai passar por cima da asa e outra por baixo. Beleza? Mas esse é um regime permanente, então a fração de ar que passa por cima da asa deve chegar no ponto final junto com a fração que passa por baixo da asa.

O problema é que o trajeto superior é maior que o trajeto inferior, pra resolver esse problema a velocidade da fração de ar que passa por cima da asa vai ser maior e consequentemente a pressão vai ser menor. Resumindo temos:

$$P_{em ~cima}

Se a pressão em baixo da asa é maior que a pressão em cima da asa, então a tendência do avião é ficar suspenso no ar!

Agora vamos praticar com exercícios?!

Equação da Conservação da Energia para o Volume de Controle

Equação de Bernoulli

Porque os aviões voam?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma central de energia às margens de um rio, como na figura abaixo, deve eliminar 55   M W de calor perdido para o rio. As condições do rio a montante são Q e = 2,5   m 3 / s e T e = 18 ° C . O rio tem 45   m de largura e 2,7   m de profundidade. Se as perdas de calor para a atmosfera e para o solo são desprezíveis, calcule as condições do rio a jusante ( Q s ,   T s ) .

Passo 1

Vamos começar escolhendo nosso volume de controle. Nesse caso é interessante que a central de energia esteja dentro do nosso volume de controle.

Agora podemos montar a equação de energia, nesse caso temos apenas calor sendo dissipado. Se lembrarmos da equação de calor é Q = m . c . Δ T , como estamos sempre falando de fluxo de calor:

Q ˙ = m ˙ s a í d a . c p . T s a í d a - m ˙ e n t r a d a . c p . T e n t r a d a

O fluxo de massa é igual e podemos abrir ele como m ˙ = ρ Q = 998 . Q e = 998.2,5 .

m ˙ = 2495   k g / s

Como o fluxo de massa são iguais, temos que a vazão de entrada é igual a vazão de saída.

Q e = Q s = 2,5   m 3 / s

Em uma tabela de c p vemos que o c p da água é 4280   J / k g ° C

Q ˙ = 2495 .   4280   T s a í d a - T e n t r a d a

55.10 6 = 2495 .   4280   T s a í d a - 18

T s a í d a = 55.10 6 2495 .   4280 + 18

T s a í d a = 5,15 + 18

T s a í d a = 23,15   ° C

Resposta

T s a í d a = 23,15   ° C

Q s = 2,5   m 3 / s

Exercício Resolvido #2

(Adaptada) Água escoa em um tubo horizontal de área transversal constante; o diâmetro do tubo é 75 mm e a velocidade média do escoamento é 5 m/s. Na entrada do tubo, a pressão manométrica é 275 kPa e a saída é à pressão atmosférica. Determine a perda de carga no tubo.

Passo 1

Nesse exercício temos um tubo horizontal. Isso quer dizer que a elevação na entrada e na saída do escoamento é a mesma:

z 1 = z 2

Além disso, ao dizer que a velocidade média do escoamento é 5 m/s, podemos dizer que a velocidade de entrada e saída são iguais a esse valor:

V 1 = V 2 = 5 m / s

Podemos trabalhar com pressão manométrica ou absoluta. O importante é que se escolhermos utilizar manométrica, teremos que usá-la para p 1 e p 2 . Se escolhermos usar absoluta, teremos que usá-la para p 1 e p 2 .

Só não vale misturar manométrica com absoluta, combinado? Vou escolher usar manométrica aqui:

p 1 = 275   k P a = 275 × 10 3 P a p 2 = 0

Podemos finalmente ir para a equação da energia!

Passo 2

A equação da energia é:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p e r d a s - h b o m b a + h t u r b i n a

Nesse caso não temos bomba nem turbina, então h b o m b a = 0 e h t u r b i n a = 0

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p e r d a s

Como z 1 = z 2 e V 1 = V 2 , esses termos serão cancelados

p 1 ρ g - p 2 ρ g = h p e r d a s

Assim, podemos perceber que nesse caso, a perda de carga está relacionada apenas à queda de pressão. Substituindo os valores:

h p e r d a s = 275 × 10 3 - 0 10 3 × 9,8 = 28,06   m

Encontramos a perda de carga!

Resposta

h p e r d a s = 28,06   m

Exercício Resolvido #3

(Adaptada) Medidas foram feitas para a configuração de escoamento de água mostrada na figura. Na entrada, seção 1, a pressão é 70kPa (manométrica), a velocidade média é 1,75 m/s e a elevação é 2,25 m. Na saída, seção 2, a pressão, a velocidade média e a elevação são, respectivamente, 45 kPa (manométrica), 3,5 m/s e 3 m, respectivamente. Calcule a perda de carga em metros.

Passo 1

Primeiro, vamos anotar direitinho quem é quem. Na entrada (seção 1), temos:

p 1 = 70   k P a =   70 × 10 3 P a v 1 = 1,75   m / s z 1 = 2,25   m

Já na saída (seção 2), temos:

p 2 = 45   k P a =   45 × 10 3 P a v 2 = 3,5   m / s z 2 = 3   m

Opa! Então o enunciado nos deu todos os dados de pressão, velocidade e elevação. Com a equação da energia, vamos conseguir calcular a perda de carga que foi pedida.

Passo 2

A equação da energia é:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p e r d a s - h b o m b a + h t u r b i n a

Como não há bomba nem turbina no nosso volume de controle (que já foi definido na figura do enunciado), então h b o m b a = 0 e h t u r b i n a = 0 . Atualizando a equação da energia:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p e r d a s

Vamos substituir os valores separados no Passo 1 e calcular a perda de carga h p e r d a s

70 × 10 3 ρ g + 1,75 2 2 g + 2,25 = 45 × 10 3 ρ g + 3,5 2 2 g + 3 + h p e r d a s

70 × 10 3 - 45 × 10 3 ρ g + 1,75 2 - 3,5 2 2 g + 2,25 - 3 = h p e r d a s

Lembrando que o fluido é a água ρ = 1000   k g / m 3

h p e r d a s = 25 × 10 3 10 3 × 9,8 + 1,75 2 - 3,5 2 2 × 9,8 - 0,75

h p e r d a s = 2,551 - 0,469 - 0,75

h p e r d a s = 1,332   m

Encontramos a perda de carga! :D

Resposta

h p e r d a s = 1,332   m

Exercício Resolvido #4

Para a configuração de escoamento da figura, é sabido que a perda de carga é 1 m. Da entrada para a saída, a queda de pressão é 50 kPa, a velocidade dobra da entrada para a saída, e o aumento de elevação é de 2 m. Calcule a velocidade de entrada da água.

Passo 1

Dessa vez o enunciado deu as variáveis da equação da energia de uma forma um pouquinho diferente. O primeiro passo é escrever quem são essas variáveis.

Pela figura, vemos que a seção 1 corresponde à entrada e a seção 2 à saída.

h p e r d a s =   1   m ∆ p = p 2 - p 1 = - 50   k P a =   - 50 × 10 3 P a V 2 = 2 V 1 z 2 - z 1 = 2   m

O ∆ p é negativo pois houve uma queda de pressão, ou seja, p 2 < p 1 . Logo, podemos reescrever essa relação:

p 1 - p 2 = - ∆ p = 50 × 10 3 P a

Agora sim, vamos para a equação da energia!

Passo 2

A equação da energia é:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p e r d a s - h b o m b a + h t u r b i n a

Lembrando que, como não tem bomba nem turbina no volume de controle, então h b o m b a = 0 e h t u r b i n a = 0 . Logo, a equação da energia fica:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p e r d a s

E agora, reorganizando os termos para podermos substituir o que encontramos pelo enunciado:

p 1 - p 2 ρ g + V 1 2 2 g = 2 V 1 2 2 g + z 2 - z 1 + h p e r d a s

p 1 - p 2 ρ g = 4 . V 1 2 - V 1 2 2 g + z 2 - z 1 + h p e r d a s

p 1 - p 2 ρ g = 3 . V 1 2 2 g + z 2 - z 1 + h p e r d a s

Substituindo:

50 × 10 3 10 3 × 9,8 = 3 . V 1 2 2 × 9,8 + 2 + 1

50 9,8 = 3 . V 1 2 2 × 9,8 + 3

3 . V 1 2 2 × 9,8 = 2,10

V 1 = 3,7   m / s

Logo, a velocidade de entrada é 3,7 m/s

Resposta

V 1 = 3,7   m / s

Exercício Resolvido #5

Quando a bomba da figura abaixo bombeia 220   m 3 / h de água a 20 ° C do reservatório, a perda de carga total por atrito é de 5   m . O escoamento descarrega através de um bocal para a atmosfera. Calcule a potência da bomba em k W entregue para a água.

Passo 1

Vamos começar definindo as superfícies de analise de energia.

Assim, temos superfície 1 na superfície do reservatório e uma superfície 2 na saída do fluido.

Precisamos descobrir quanto vale v b e para isso vamos usar o fato do enunciado nos ter fornecido a vazão da bomba. Como o fluido é a água o fluido é incompressível e por isso podemos falar que a vazão que a bomba impõe é igual à vazão de saída.

Q = v b . A s a í d a

220 3600 = v b . π . 0,05 2 4

v b = 220   .   4 3600 π . 0,05 2

v b = 31,13   m / s

E a velocidade com que o reservatório desce?? Se liga nessa dica, ela vai ser muito usada.

Em questões de reservatório se considera que o volume de água é tão mais tão grande que sua altura não muda, assim v 1 = 0 .

Agora vamos aplicar a equação de conservação de energia. Como a vazão mássica é igual, podemos escrever o sistema como vimos na teoria:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h f - h p

Agora vamos considera nosso eixo na superfície 1 , assim z 1 = 0

A pressão em 1 é a pressão atmosférica e a pressão em 2 também é p a t m .

h f é a perda por fricção ou atrito, assim o enunciado nos disse que vale 5   m .

Então ficamos com a seguinte equação

p a t m ρ g = p a t m ρ g + 31,13 2 2.9,8 + 2 + 5 - h p

h p = 49,44 + 7 = 56,44   m

Mas queremos a potencia da bomba, assim temos que lembrar que a potencia de uma bomba é dada por:

P = ρ g Q . h p = 998   .   9,8   . 220 3600 .   56,44  

P = 33,7.10 3   W = 33,7   k W

Resposta

P = 33,7   k W

Exercício Resolvido #6

A bomba da figura abaixo cria um jato d’água a 20 ° C , orientado para atingir uma distância horizontal máxima. As perdas por atrito do sistema são de 6,5   m . O jato pode ser aproximado pela trajetória de partículas sem atrito. Que potência a bomba deve entregar à água?

Passo 1

Pra resolver esse exercício, precisamos da equação de energia.

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p - h b + h t

E para aplicar essa equação, vamos ter que definir o volume de controle, com limites onde temos bastante informações.

Então vamos posicionar o nosso ponto 1 de controle na superfície do reservatório e o ponto 2 na saída do tubo, no início do lançamento.

No ponto 1, consideramos:

V 1 = 0

p 1 = p a t m

z 1 = 15   m

Já no ponto 2, vamos ter:

V 2 =   ?

p 2 = p a t m

z 2 = 0

∆ S z = 25   m

O nosso z 2 = 0 , porque colocamos a origem do nosso eixo z nessa altura ok?

E já sacamos que vamos ter que determinar aquela velocidade ali que tá faltando.

Passo 2

O problema aqui é você sacar que pra alcançar a distância horizontal máxima a inclinação do lançamento deve ser 45 ° . Isso não é óbvio, mas como você está fazendo esse exercício, já vai saber na próxima vez que precisar disso.

E com essa informação, vamos usar Torricelli para saber a velocidade do jato de água no inicio do lançamento.

V z 2 = V 0 2 z - 2 a Δ S z

Na altura máxima a velocidade em z é zero (já que ele para de subir e começa a descer), assim, temos que:

V 0 z = 2 a Δ S

Aí a gente tem a componente da velocidade no eixo z, que é igual a velocidade total vezes o sem de θ , que a gente definiu como 45°. E a aceleração no eixo z é a gravidade mesmo.

V 0 . s e n θ = 2 a Δ S z = 2 g 25

V 0 = 2   . 9,8   . 25 2 / 2 = 31,30   m / s

Passo 3

Agora que temos a velocidade em 2, podemos voltar para a equação da energia.

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p - h b + h t

Que com o que a gente tem até agora:

p a t m ρ g + 0 + 15 = p a t m ρ g + 31,30 2 2 g + 0 + h p - h b

Onde h p = 6,5   m , as perdas por atrito.

A gente pode, então, cortar aqueles termos iguais e reorganizar um pouco a galera:

15 = 31,30 2 2 g + 6,5 - h b

Pra achar:

h b = 50 + 6,5 - 1 5

h b = 4 1 , 5   m

Como queremos a potência da bomba:

P = ρ . g . Q . h b = ρ . g . V . A . h b = 998   .   9,8   .   31,30   . π . 0,05 2 4 . 4 1 , 5

P = 2 4932 , 1   W

Resposta

P = 2 4,9   k W

Exercício Resolvido #7

Um jato de álcool atinge a placa vertical da figura abaixo. Uma força F ≅ 425   N é necessária para manter a placa estacionária. Considerando que não há perdas no bocal, calcule ( a ) o fluxo de massa de álcool e ( b ) a pressão absoluta na seção 1 .

Passo 1

( a ) Fazendo a analise de momento linear na direção x , chegamos em: (esse resultado é melhor explicado em um exercício da teoria de momento linear).

F = m ˙ V 2 = ρ . V 2 . A 2 . V 2 = 998.0,79 . π . 0,02 2 4 . V 2 2

Como o enunciado falou F ≅ 425   N , temos que a velocidade será:

V 2 = 425.4 998.0,79 . π . 0,02 2 = 41,4   m / s

Tendo a velocidade em 2 , conseguimos calcular a vazão mássica.

m ˙ = ρ Q = ρ V 2 . A = 998.0,79 . 41,4 . π . 0,02 2 4

m ˙ = 10,3   k g / s

Passo 2

b   Agora vamos usar a conservação se massa para encontrar V 1

m ˙ e n t r a d a = m ˙ s a í d a

m ˙ 1 = m ˙ 2

ρ . V 1 . A 1 = ρ . V 2 . A 2

998.0,79 . V 1 .   π . 0,05 2 4 = 998.0,79 . 41,4 . π . 0,02 2 4

V 1 = 41,4.0,02 2 0,05 2 = 6,63   m / s

Agora por Bernoulli sem perdas pois nesse caso não há nenhuma perda, podemos escrever a equação:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2