Equação da Energia e Bernoulli

Teoria Completa

Aplicando o Teorema de Transporte de Reynolds para a Energia

Já vimos como aplicar a conservação de massa e a quantidade de movimento. O último item a aprender a aplicar ao volume de controle é a conservação de energia.

Nesse caso, vamos usar a primeira lei da termo Δ E = Q - W . Quando aplicamos ela usando o teorema de transporte de Reynolds obtemos:

Q ˙ - W e ˙ - W v ˙ = d d t ∫ V C u ^ + v 2 2 + g z ρ d V + ∫ S C h ^ + v 2 2 + g z ρ V c o s θ . d A s a í d a - ∫ S C h ^ + v 2 2 + g z ρ V c o s θ . d A e n t r a d a  

Que equação grandinha e monstrinha, não? Será que não conseguimos simplificar??

Considerando o escoamento permanente a gente zera o primeiro termo d d t ∫ V C u ^ + v 2 2 + g z ρ d V .

E podemos escrever assim a equação:

Q ˙ - W e ˙ - W v ˙ = m ˙ 2 h ^ 2 + v 2 2 2 + g z 2 - m ˙ 1 h ^ 1 + v 1 2 2 + g z 1

Já ficou melhor, né?

Mas o que é isso tudo? São os fluxos de calor, trabalho, massa. Sendo h a entalpia.

Para melhorar nossa situação podemos usar o fato de haver conservação de massa e assim

m ˙ 2 = m ˙ 1

Podemos dividir toda equação pela vazão mássica, assim obtendo:

q - w e - w v = h ^ 2 + v 2 2 2 + g z 2 - h ^ 1 - v 1 2 2 - g z 1

Essa equação ainda está em termos de propriedade térmicas como h que representa a entalpia.

Assim, alguns estudiosos fizeram várias transformações para chegar numa forma simplificada da equação de energia:

Equação da Conservação da Energia para o Volume de Controle

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p e r d a s - h b o m b a + h t u r b i n a

Essa vai ser a equação que mais vamos usar, essa equação compara a energia entre duas superfícies.

Onde p é a pressão em uma superfície escolhida, V a velocidade de escoamento do fluido nessa superfície e z a altura dessa superfície.

Além disso temos h . Esse h está relacionado com pressão ou potência. Lembra que podemos indicar pressão em m de coluna de líquido? Pois aqui é assim. Eesses h s indicam uma “potência” porque essa pressão é capaz de realizar trabalho. Mas a unidade desse h é metros ok?

Aliás, essa é a equação da energia. Porééém, se você olhar a fundo, vai perceber que cada parcela dessa expressão não está Joules (unidade de energia no Sistema Internacional), mas sim em metros.

O fato é que nós manipulamos tanto a equação para ficar com variáveis que conhecemos, que agora as parcelas estão na unidade de metros. Tá tudo bem 😊 . Podemos continuar chamando de equação da energia porque essa equação surgiu da aplicação do Teorema do Transporte de Reynolds para a energia!

Só não podemos esquecer então que h p e r d a s ,   h b o m b a ,   h t u r b i n a são medidas em metros no Sistema Internacional, tá ok?

Então, a velocidade na nossa equação está relacionada à energia cinética, a altura está relacionada à energia potencial gravitacional, a pressão está relacionada à energia das forças de pressão do fluido. Maaas...

Quem são h p e r d a s ,   h b o m b a ,   h t u r b i n a ?

Da mesma forma que a velocidade está associada à energia cinética, h p e r d a s está associada à energia perdida ao longo do escoamento por conta do atrito, h b o m b a está associada à energia gerada para o sistema pela bomba e h t u r b i n a está associada à energia retirada do sistema para girar a turbina.

Mas h NÃO É A ENERGIA EM SI! Combinado? São medidas em metros no SI.

Dando nome a elas:

h p e r d a s = Perda de Carga

h b o m b a = Carga fornecida pela bomba

h t u r b i n a = Carga consumida pela turbina

Agora conhecemos quem é quem na nossa equação da energia. 😊

E se eu quiser conhecer a Potência?

Se quisermos descobrir a potência requerida pela bomba ou gerada pela turbina, basta fazermos

P = ρ g Q . h

E trocamos h por h b pra calcular a carga fornecida pela bomba e por h T pra carga consumida pela turbina.

E lembrando que Q é a vazão volumétrica.

Equação de Bernoulli

Ok! Mas e se o fluido, além de incompressível em escoamento permanente, for um fluido super incrível e não gerar atrito? Aí não teria perdas, certo? E se eu considerar também que no meu sistema não tem bomba, nem turbina? Seria possível simplificar a equação da energia para essa equação aqui?

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2

A resposta é sim! E aliás, essa equação já tem nome e se chama Equação de Bernoulli. Ela é uma versão simplificada da equação da energia (sem as cargas h ), porém você só pode usá-la se tiver certeza que no seu volume de controle não tem turbina, nem bomba e que seu fluido, além de incompressível em escoamento permanente, é invíscido.

Invíscido? Um fluido invíscido é um um fluido em que a viscosidade é tão tão pequena que consideramos que não há atrito no escoamento e portanto, não haveria perdas. Fique atento, pois a maioria dos fluidos que utilizamos não podem ser considerados invíscidos...

Mas se considerarmos um escoamento qualquer a equação de Bernoulli nos fornecerá a seguinte equação:

∫ 1 2 d V d t d s + ∫ 1 2 d p ρ + V 1 2 2 g + z 1 = + V 2 2 2 g + z 2

Mas relaxa, isso será pouco usado, o mais usual será essa aqui:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p e r d a s - h b o m b a + h t u r b i n a

Então, vamos praticar muito como usar essa equação de energia.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Uma central de energia às margens de um rio, como na figura abaixo, deve eliminar 55   M W de calor perdido para o rio. As condições do rio a montante são Q e = 2,5   m 3 / s e T e = 18 ° C . O rio tem 45   m de largura e 2,7   m de profundidade. Se as perdas de calor para a atmosfera e para o solo são desprezíveis, calcule as condições do rio a jusante ( Q s ,   T s ) .

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Passo 1

Vamos começar escolhendo nosso volume de controle. Nesse caso é interessante que a central de energia esteja dentro do nosso volume de controle.

Agora podemos montar a equação de energia, nesse caso temos apenas calor sendo dissipado. Se lembrarmos da equação de calor é Q = m . c . Δ T , como estamos sempre falando de fluxo de calor:

Q ˙ = m ˙ s a í d a . c p . T s a í d a - m ˙ e n t r a d a . c p . T e n t r a d a

O fluxo de massa é igual e podemos abrir ele como m ˙ = ρ Q = 998 . Q e = 998.2,5 .

m ˙ = 2495   k g / s

Como o fluxo de massa são iguais, temos que a vazão de entrada é igual a vazão de saída.

Q e = Q s = 2,5   m 3 / s

Em uma tabela de c p vemos que o c p da água é 4280   J / k g ° C

Q ˙ = 2495 .   4280   T s a í d a - T e n t r a d a

55.10 6 = 2495 .   4280   T s a í d a - 18

T s a í d a = 55.10 6 2495 .   4280 + 18

T s a í d a = 5,15 + 18

T s a í d a = 23,15   ° C

Resposta

T s a í d a = 23,15   ° C

Q s = 2,5   m 3 / s

Exercício Resolvido #2

Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 502, ex. 8.80

(Adaptada) Água escoa em um tubo horizontal de área transversal constante; o diâmetro do tubo é 75 mm e a velocidade média do escoamento é 5 m/s. Na entrada do tubo, a pressão manométrica é 275 kPa e a saída é à pressão atmosférica. Determine a perda de carga no tubo.

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Passo 1

Nesse exercício temos um tubo horizontal. Isso quer dizer que a elevação na entrada e na saída do escoamento é a mesma:

z 1 = z 2

Além disso, ao dizer que a velocidade média do escoamento é 5 m/s, podemos dizer que a velocidade de entrada e saída são iguais a esse valor:

V 1 = V 2 = 5 m / s

Podemos trabalhar com pressão manométrica ou absoluta. O importante é que se escolhermos utilizar manométrica, teremos que usá-la para p 1 e p 2 . Se escolhermos usar absoluta, teremos que usá-la para p 1 e p 2 .

Só não vale misturar manométrica com absoluta, combinado? Vou escolher usar manométrica aqui:

p 1 = 275   k P a = 275 × 10 3 P a p 2 = 0

Podemos finalmente ir para a equação da energia!

Passo 2

A equação da energia é:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p e r d a s - h b o m b a + h t u r b i n a

Nesse caso não temos bomba nem turbina, então h b o m b a = 0 e h t u r b i n a = 0

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h p e r d a s

Como z 1 = z 2 e V 1 = V 2 , esses termos serão cancelados

p 1 ρ g - p 2 ρ g = h p e r d a s

Assim, podemos perceber que nesse caso, a perda de carga está relacionada apenas à queda de pressão. Substituindo os valores:

h p e r d a s = 275 × 10 3 - 0 10 3 × 9,8 = 28,06   m