Enunciado

1 - Considere a parede plana da Figura 3.1, que separa dois fluidos, um quente e o outro frio, a temperaturas T ∞ , 1 e T ∞ , 2 , respectivamente. Usando balanços de energia nas superfícies x = 0 e x = L como condições de contorno (veja a Equação 2.34), obtenha a distribuição de temperaturas no interior da parede e o fluxo térmico em termos de T ∞ , 1 ,   T ∞ , 2 ,   h 1 , h 2   e   L .

Passo 1

Desenhe o diagrama do corpo livre da parede plana,

Passo 2

Escreva a equação de condução de calor unidimensional para condições de estado estacionário sem geração interna de calor, como mostrado abaixo:

d d x k d T d x = 0

Aqui,  k  é a condutividade térmica do material e  d T d x é o gradiente de temperatura ao longo da direção x .

Suponha que a condutividade térmica permaneça constante. Assim, a equação acima se torna,

k d 2 T d x 2 = 0

d 2 T d x 2 = 0

Integre a equação acima,

d T d x = C 1

Novamente, integre a equação acima,

T x = C 1 x + C 2 … … ( 1 )

Aqui  C 1 , C 2 são constantes de integração.

Passo 3

Encontre as constantes de integração aplicando as condições de contorno.

Primeira condição de contorno:

Em  x = 0 , a convecção da superfície esquerda para o fluido quente é igual à transferência de calor por condução.

q " c o n d = q " c o n v

Segunda condição de contorno:

Em  x = L , a convecção da superfície direita para o fluido frio é igual à transferência de calor por condução

q " c o n d = q " c o n v

Agora, desde a primeira condição de contorno, reduza uma expressão simplificada,

- k d T d x x = 0 = h 1 T ∞ , 1 - T x x = 0

Aqui  h 1 é o coeficiente de transferência de calor do fluido quente e  T ∞ , 1 é a temperatura do fluido quente.

- k C 1 = h 1 T ∞ , 1 - T 0 … … ( 2 )

Encontre o valor da temperatura  x = 0 usando a equação

T x = C 1 x + C 2

T 0 = C 1 × 0 + C 2

T 0 = C 2

Substituo  C 2 por  T ( 0 ) na equação ( 2 ) ,

- k C 1 = h 1 T ∞ , 1 - T 0

- k C 1 = h 1 T ∞ , 1 - C 2 … . .   ( 3 )

Passo 4

Agora, da segunda condição de contorno, reduza outra expressão simplificada,

q " c o n d = q " c o n v

- k d T d x x = L =   h 2 T x - T ∞ , 2 x = L      

Aqui  h 2 é o coeficiente de transferência de calor do fluido frio e  T ∞ , 2 a temperatura do fluido frio.

= - k C 1 = h 2 ( T L - T ∞ , 2 )

= - k C 1 = h 2 C 1 L + C 2 - T ∞ , 2 … … ( 4 )

Passo 5

Para obter a distribuição de temperatura e aquecer fluxo em termos de  T , h , k   e   L . As equações ( 3 ) e ( 4 ) são multiplicadas pelos coeficientes de transferência de calor da seguinte forma:

Multiplique a equação (3) por  h 2 .

- k C 1 = h 1 T ∞ , 1 - C 2

- k h 2 C 1 = h 2 h 1 T ∞ , 1 - C 2 … . . ( 5 )

Multiplique a equação ( 4 ) por  h 1 .

- k C 1 = h 2 C 1 L + C 2 - T ∞ , 2

= - k h 1 C 1 = h 1 h 2 C 1 L + C 2 - T ∞ , 2 … … ( 6 )

Passo 6

Adicione as equações ( 5 ) e ( 6 ) .

- k h 2 C 1 - k h 1 C 1 = h 2 h 1 T ∞ , 1 - C 2 + h 1 h 2 C 1 L + C 2 - T ∞ , 2

- k h 1 + h 2 C 1 = h 1 h 2 ( T ∞ , 1 + C 1 L - T ∞ , 2 )

- k h 1 + h 2 + h 1 h 2 L C 1 = h 1 h 2 ( T ∞ , 1 - T ∞ , 2 )

C 1 = h 1 h 2 ( T ∞ , 1 - T ∞ , 2 ) k h 1 + h 2 + h 1 h 2 L

C 1 = - ( T ∞ , 1 - T ∞ , 2 ) k 1 h 1 + 1 h 2 + L k

Passo 7

Considere a equação ( 3 ) .

- k C 1 = h 1 T ∞ , 1 - C 2

Substitua o valor de  C 1 na equação acima.

k ( T ∞ , 1 - T ∞ , 2 ) k 1 h 1 + 1 h 2 + L k = h 1 T ∞ , 1 - C 2

( T ∞ , 1 - T ∞ , 2 ) 1 h 1 + 1 h 2 + L k = h 1 T ∞ , 1 - C 2

( T ∞ , 1 - T ∞ , 2 ) h 1 1 h 1 + 1 h 2 + L k = T ∞ , 1 - C 2

C 2 = - T ∞ , 1 - T ∞ , 2 h 1 1 h 1 + 1 h 2 + L k + T ∞ , 1

Passo 8

Considere a equação (1).

T x = C 1 x + C 2

Substitua os valores de C 1 C 2 na equação acima.

T x = - x T ∞ , 1 - T ∞ , 2 k 1 h 1 + 1 h 2 + L k - T ∞ , 1 - T ∞ , 2 h 1 1 h 1 + 1 h 2 + L k + T ∞ , 1

T x = - T ∞ , 1 - T ∞ , 2 1 h 1 + 1 h 2 + L k x k + 1 h 1 + T ∞ , 1

Portanto, a distribuição de temperatura dentro da parede plana é:

- T ∞ , 1 - T ∞ , 2 1 h 1 + 1 h 2 + L k x k + 1 h 1 + T ∞ , 1

Passo 9

Encontre o fluxo de calor usando a lei de Fourier da taxa de condução de calor,

q " = - k d T d x

Substitua C 1 por d T d x .

q " = - k C 1

Substitua o valor de  C 1 na relação acima,

q " = k ( T ∞ , 1 - T ∞ , 2 ) k 1 h 1 + 1 h 2 + L k

= ( T ∞ , 1 - T ∞ , 2 ) 1 h 1 + 1 h 2 + L k

Portanto, o fluxo de calor dentro da parede é,

( T ∞ , 1 - T ∞ , 2 ) 1 h 1 + 1 h 2 + L k

Resposta

A distribuição de temperatura dentro da parede plana é:

- T ∞ , 1 - T ∞ , 2 1 h 1 + 1 h 2 + L k x k + 1 h 1 + T ∞ , 1

O fluxo de calor dentro da parede é:

( T ∞ , 1 - T ∞ , 2 ) 1 h 1 + 1 h 2 + L k

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