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7.70

 Em algumas faixas de velocidade, vórtices são formados atrás de cilindros rombudos colocados atravessados em um escoamento. Os vórtices, alternadamente, partem do topo e do fundo do cilindro, como mostrado, causando uma força alternante normal à velocidade da corrente livre. Supõe­se que a frequência de formação dos vórtices, f, depende de ρ, d, V e μ. Use análise dimensional para desenvolver uma relação funcional para f. Esteiras de vórtices ocorrem no ar­padrão sobre dois cilindros com razão de diâmetros igual a 2. Determine a razão entre as velocidades para haver semelhança dinâmica e a razão entre as frequências de formação dos vórtices.

Passo 1

Primeiramente, vamos fazer uma analise dimensional e aplicar o teorema de pi de Buckingham.

Passo 2

Escolhendo ρ,V e D como parâmetros para determinar os adimensionais:

Π 1 = f . ρ a . V b .   D c  

Colocado as unidades em evidência:

1 t . M L 3 a . L t b . L c = M 0 L 0 T 0

M: a=0

L: -3a+b+c =0

T: -1 – b=0

a = 0 ,   b = - 1   e   c = 1

Π 1 = f d V

Passo 3

Π 2 = μ . ρ a . V b .   D c

Colocado as unidades em evidência:

M L T . M L 3 a . L t b . L c = M 0 L 0 T 0

M: 1+a=0

L: -1-3.a+b+c =0

T: -1 – b=0

a = - 1 ,   b = - 1   e   c = - 1

Π 2 = ρ V d μ

Sendo assim, a relação da função será:

Π 1 = f ( Π 2 )

f d V = f ρ V d μ

Passo 4

Para ter uma similaridade dinâmica entre os escoamentos, é necessário que haja uma igualdade entre o caso 1 e o caso 2:

ρ 1 V 1 d 1 μ 1 = ρ 2 V 2 d 2 μ 2

V 1 V 2 = 1.1 2 . 1 = 1 2

Passo 5

Igualmente para o outro adimensional:

f 1 d 1 V 1 = f 2 d 2 V 2

f 1 f 2 = 1 2 . 1 2 = 1 4

Resposta

V 1 V 2 = 1 2

f 1 f 2 = 1 4

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