Enunciado

Para escoamento incompressível laminar totalmente desenvolvido através de um duto retilíneo de seção não circular, como na seção 6.8, as equações de Navier-Stokes (4.38) se reduzem a

∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 1 μ d p d x = c o n s t < 0

em que (y,z) é o plano da seção transversal do duto e x é a coordenada do eixo do duto. A gravidade foi desprezada. Usando uma malha retangular não quadrada ( Δ y , Δ z ) , desenvolva um modelo de diferenças finitias para essa equação e indique como ele pode ser aplicado para calcular o escoamento num duto retangular de lados a e b .

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Então vou mostrar pra vocês que mecânica dos fluidos não é nem de longe um bicho de 7 cabeças (nem de perto também)!

Primeira coisa que vamos fazer é desenhar nossa malha para obtermos os resultados por diferenças finitas, beleza?

Passo 2

Portanto para esse modelo, podemos aplicar nossas diferenças finitas e termos a seguinte equação algébrica:

u i + 1 , j - 2 u i j + u i - 1 j Δ y 2 + u i , j + 1 - 2 u i , j + u i , j - 1 Δ z 2 ≈ 1 μ d p d x

Passo 3

Mas se dizermos que Δ y = Δ z  

u i , j = 1 4 u i , j + 1 + u i , j - 1 + u i + 1 , j + u i - 1 , j - Δ y 2 μ d p d x

Note que isso é a nossa velha e antiga equação de Poisson!!!! Isso parece com o modelo de Laplace somado um termo fonte constante que envolve o tamanho da malha ( Δ y ) , o gradiente de pressão e viscosidade!!!

Resposta

u i , j = 1 4 u i , j + 1 + u i , j - 1 + u i + 1 , j + u i - 1 , j - Δ y 2 μ d p d x

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