Enunciado

Dois reservatórios cujos níveis estão nas cotas 500 m e 480 m estão interligados por uma tubulação de concreto k = 10 - 3   m de 8 km de extensão e 1 m de diâmetro. Determinar a vazão que pode ser transportada. (Desprezar as perdas singulares.)

Passo 1

Tá legal! Vamos começar o exercício aplicando o equilíbrio de energia entre os dois reservatórios, que chamaremos de ponto 1 (o de cota 500 m) e ponto 2 (o de cota 480 m):

H 1 = H 2 + H p 1,2

v 1 2 2 g + p 1 γ + z 1 = v 2 2 2 g + p 2 γ + z 2 + H p 1,2

Substituindo os termos conhecidos, e lembrando que o enunciado nos disse para desprezar as perdas singulares, então o termo da perda de carga será composto somente da perda distribuída:

0 2 2 g + 0 γ + 500 = 0 2 2 g + 0 γ + 480 + h f 1,2 → h f 1,2 = 20   m

Passo 2

Sabemos que a perda de carga distribuída é dada por:

h f = f L v 2 2 g D H

Isolando v da equação, temos:

v = 2 g D H h f f L

Como não temos o valor de f , devemos recorrer ao diagrama de Moody a seguir, para isso precisamos encontrar o valor de D H / k , nesse caso, como temos uma seção circular, então D H = D , nesse caso, temos (lembrando que no próprio diagrama temos o valor de k para o concreto, material de que é feito o tubo do exercício):

D H k = 1 10 - 3 → D H k = 1000

Lembrando que sempre supomos um valor na parte do diagrama onde o escoamento é rugoso, que é a parcela onde as curvas D H / k possuem um valor constante (ocorrem para altos valores de R e ), dessa forma, para a relação D H / k encontrada, vamos adotar:

f = 0,019

Agora podemos retornar a equação da velocidade obtida e substituir os valores conhecidos:

v = 2 g D H h f f L = 2 10 1 2 0 0,019 ( 8000 ) → v = 1,62   m / s

Agora precisamos verificar se o valor que assumimos para f foi coerente, para isso, vamos calcular Reynolds

R e = v D ν = 1,62 1 10 - 6 → R e = 1,62 . 10 6

Então, para esse valor de Reynolds, podemos ver no diagrama de Moody que a D H / k já se encontra constante, então nossa suposição foi válida.

Passo 3

Então agora podemos calcular o valor da vazão para o sistema:

Q = v A = v π D 2 4 = 1,62 π 1 2 4 → Q = 1,27   m 3 / s

Resposta

Q = 1,27   m 3 / s

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