Enunciado

Considere cascas cilíndrica e esférica com superfícies interna e externa, em r 1 e r 2 , mantidas a temperaturas uniformes T s , 1 e T s , 2 , respectivamente. Se houver geração de calor uniforme no interior das cascas, obtenha expressões para as distribuições de temperaturas, para os fluxos térmicos e para as taxas de transferência de calor, para a transferência unidimensional, na direção radial e em regime estacionário. Compare os seus resultados com aqueles resumidos no Apêndice C.

Passo 1

Fala Galera!!

Nessa questão queremos obter expressões para as distribuições de temperaturas, para os fluxos térmicos e para as taxas de transferência de calor, para a transferência unidimensional, na direção radial e em regime estacionário.

PRESSUPOSTOS:

(1) Condução unidimensional em estado estacionário;

(2) Geração uniforme de calor;

(3) Constante k.

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos começar aplicando a equação de condução de calor de Fourier para casca cilíndrica. Assim temos:

1 r d d r r d T d r + q ˙ k = 0  

Integrando a expressão acima, vamos obter a solução geral da seguinte forma:

T r = - q ˙ 4 k r 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2                                       E q . 1

Aqui,  r é o raio da casca cilíndrica, C 1 e C 2  são as constantes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições de contorno na equação 1 para encontrar quem são as constantes C 1 e C 2 . Quando r = r 1 temos que T r = T s , 1 . Ou seja:

T r = - q ˙ 4 k r 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2

T s , 1 = - q ˙ 4 k r 1 2 + C 1 ln ⁡ r 1 + C 2                           E q .   2

Vamos aplicar também a segunda condição de contorno na equação 1. Quando r = r 2 temos que T r = T s , 2 . Ou seja:

T r = - q ˙ 4 k r 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2

T s , 2 = - q ˙ 4 k r 2 2 + C 1 ln ⁡ r 2 + C 2                             E q . 3

Passo 4

Para encontrar C 1 vamos subtrair a equação 2 da equação 3. Assim temos:

T s , 1 - T s , 2 = - q ˙ 4 k r 1 2 + C 1 ln ⁡ r 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - C 1 ln ⁡ r 2

T s , 1 - T s , 2 = q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 + C 1 ln ⁡ r 1 / r 2

C 1 ln ⁡ r 1 / r 2 = T s , 1 - T s , 2 - q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2

C 1 = T s , 1 - T s , 2 - q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 / ln ⁡ r 1 / r 2  

C 1 = T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 / ln ⁡ r 2 / r 1  

Para encontrar C 2 , vamos substituir C 1 na equação 3. Assim temos:

T s , 2 = - q ˙ 4 k r 2 2 + C 1 ln ⁡ r 2 + C 2

T s , 2 = - q ˙ 4 k r 2 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 / ln ⁡ r 2 / r 1 ln ⁡ r 2 + C 2

C 2 = T s , 2 + q ˙ 4 k r 2 2 - T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 ln ⁡ r 2 ln ⁡ r 2 / r 1

Passo 5

Agora, vamos substituir C 1 e C 2 na equação 1 pelos resultados que encontramos na passo acima. Assim temos:

T r = - q ˙ 4 k r 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2

T r = - q ˙ 4 k r 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 ln ⁡ r 2 / r 1   ln ⁡ r + T s , 2 + q ˙ 4 k r 2 2 - T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 ln ⁡ r 2 / r 1 ln ⁡ r 2

T r = T s , 2 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 ln ⁡ r 2 / r 1 ln ⁡ r - ln ⁡ r 2

T r = T s , 2 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 ln ⁡ r 2 / r 1 ln ⁡ r / r 2

T r = T s , 2 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 ln ⁡ r / r 2 ln ⁡ r 2 / r 1

Portanto, a distribuição de temperatura na casca cilíndrica é:

T r = T s , 2 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 ln ⁡ r / r 2 ln ⁡ r 2 / r 1

Passo 6

Temos que a equação de distribuição do fluxo de calor é dada pela seguinte expressão:

q ' ' r = - k d T d r

Aqui,  k é a condutividade térmica da casca cilíndrica e  d T / d r é o gradiente de temperatura ao longo da direção radial. Então, vamos diferenciar a equação da distribuição de temperatura em relação à  r . Assim temos:

T r = T s , 2 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 ln ⁡ r / r 2 ln ⁡ r 2 / r 1

d T d r = - q ˙ 2 k r + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 1 r ln ⁡ r 2 / r 1

Agora, vamos substituir a expressão acima na equação de distribuição do fluxo de calor.

q ' ' r = - k - q ˙ 2 k r + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 1 r ln ⁡ r 2 / r 1

q ' ' r = q ˙ 2 r - T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 k r ln ⁡ r 2 / r 1

Portanto, a equação de distribuição do fluxo de calor para a casca cilíndrica é:

q ' ' r = q ˙ 2 r - T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 k r ln ⁡ r 2 / r 1

Passo 7

Temos também que a distribuição da taxa de calor para a casca cilíndrica é dada por:

q ˙ = q ' ' A r

q ˙ = q ' ' 2 π r L

Aqui  L é o comprimento da casca cilíndrica. Agora, basta substituir q ' ' r na expressão acima e termos o resultado desejado. Assim temos:

q ˙ = q ˙ 2 r - T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 k r ln ⁡ r 2 / r 1 2 π r L

q ˙ = π L q ˙ r 2 - T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 2 π L k ln ⁡ r 2 / r 1

Portanto, a distribuição da taxa de calor na casca cilíndrica é:

q ˙ = π L q ˙ r 2 - T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 2 π L k ln ⁡ r 2 / r 1

Passo 8

Para uma casca esférica, vamos aplicar a equação de condução de calor de Fourier. Assim temos:

1 r 2 d d r r 2 d T d r + q ˙ k = 0  

Integrando a expressão acima, vamos obter a solução geral da seguinte forma:

T r = - q ˙ 6 k r 2 - C 1 r + C 2                                       E q . 4

Aqui,  r é o raio da casca esférica, C 1 e C 2  são as constantes.

Passo 9

Agora, vamos aplicar as condições de contorno na equação 4 para encontrar quem são as constantes C 1 e C 2 . Quando r = r 1 temos que T r = T s , 1 . Ou seja:

T r = - q ˙ 6 k r 2 - C 1 r + C 2

T s , 1 = - q ˙ 6 k r 1 2 - C 1 r 1 + C 2                           E q .   5

Vamos aplicar também a segunda condição de contorno na equação 4. Quando r = r 2 temos que T r = T s , 2 . Ou seja:

T r = - q ˙ 6 k r 2 - C 1 r + C 2

T s , 2 = - q ˙ 6 k r 2 2 - C 1 r 2 + C 2                             E q . 6

Passo 10

Para encontrar C 1 vamos subtrair a equação 5 da equação 6. Assim temos:

T s , 1 - T s , 2 = - q ˙ 6 k r 1 2 - C 1 r 1 + q ˙ 6 k r 2 2 + C 1 r 2

T s , 1 - T s , 2 = q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 + C 1 1 r 2 - 1 r 1

C 1 1 r 2 - 1 r 1 = T s , 1 - T s , 2 - q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2

C 1 = T s , 1 - T s , 2 - q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 1 r 2 - 1 r 1  

C 1 = T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 1 r 1 - 1 r 2  

Para encontrar C 2 , vamos substituir C 1 na equação 6. Assim temos:

T s , 2 = - q ˙ 6 k r 2 2 - C 1 r 2 + C 2

T s , 2 = - q ˙ 6 k r 2 2 - T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 1 r 1 - 1 r 2 1 r 2 + C 2

C 2 = T s , 2 + q ˙ 6 k r 2 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 1 r 1 - 1 r 2 1 r 2

Passo 11

Agora, vamos substituir C 1 e C 2 na equação 4 pelos resultados que encontramos na passo acima. Assim temos:

T r = - q ˙ 6 k r 2 - C 1 r + C 2

T r = - q ˙ 6 k r 2 - T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 1 r 1 - 1 r 2 1 r + T s , 2 + q ˙ 6 k r 2 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 1 r 1 - 1 r 2 1 r 2

T r = T s , 2 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 1 r 1 - 1 r 2 1 r 2 - 1 r

T r = T s , 2 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 / r 2 - 1 / r 1 / r 1 - 1 / r 2

Portanto, a distribuição de temperatura na casca cilíndrica é:

T r = T s , 2 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 / r 2 - 1 / r 1 / r 1 - 1 / r 2

Passo 12

Temos que a equação de distribuição do fluxo de calor é dada pela seguinte expressão:

q ' ' r = - k d T d r

Aqui,  k é a condutividade térmica da casca esférica e  d T / d r é o gradiente de temperatura ao longo da direção radial. Então, vamos diferenciar a equação da distribuição de temperatura em relação à  r . Assim temos:

T r = T s , 2 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 / r 2 - 1 / r 1 / r 1 - 1 / r 2

d T d r = - q ˙ 3 k r + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 / r 2 1 / r 1 - 1 / r 2

Agora, vamos substituir a expressão acima na equação de distribuição do fluxo de calor.

q ' ' r = - k - q ˙ 3 k r + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 / r 2 1 / r 1 - 1 / r 2

q ' ' r = q ˙ 3 r - k T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 r 2 2 - r 1 2 1 / r 2 1 / r 1 - 1 / r 2

Portanto, a equação de distribuição do fluxo de calor para a casca esférica é:

q ' ' r = q ˙ 3 r - k T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 r 2 2 - r 1 2 1 / r 2 1 / r 1 - 1 / r 2

Passo 13

Temos também que a distribuição da taxa de calor para a casca esférica é dada por:

q ˙ = q ' ' A r

q ˙ = q ' ' 4 π r 2

Aqui  L é o comprimento da casca esférica. Agora, basta substituir q ' ' r na expressão acima e termos o resultado desejado. Assim temos:

q ˙ = q ˙ 3 r - k T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 r 2 2 - r 1 2 1 / r 2 1 / r 1 - 1 / r 2 4 π r 2

q ˙ = 4 π q ˙ 3 r 3 - 4 π k T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 r 2 2 - r 1 2 r 2 1 / r 2 1 / r 1 - 1 / r 2

q ˙ = 4 π q ˙ 3 r 3 - 4 π k T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 r 2 2 - r 1 2 1 1 / r 1 - 1 / r 2

Portanto, a distribuição da taxa de calor na casca esférica é:

q ˙ = 4 π q ˙ 3 r 3 - 4 π k T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 r 2 2 - r 1 2 1 1 / r 1 - 1 / r 2

Resposta

Para a casca cilíndrica:

T r = T s , 2 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 ln ⁡ r / r 2 ln ⁡ r 2 / r 1

q ' ' r = q ˙ 2 r - T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 k r ln ⁡ r 2 / r 1

q ˙ = π L q ˙ r 2 - T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 2 π L k ln ⁡ r 2 / r 1

Para a casca esférica:

T r = T s , 2 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 2 + T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 k r 2 2 - r 1 2 1 / r 2 - 1 / r 1 / r 1 - 1 / r 2

q ' ' r = q ˙ 3 r - k T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 r 2 2 - r 1 2 1 / r 2 1 / r 1 - 1 / r 2

q ˙ = 4 π q ˙ 3 r 3 - 4 π k T s , 2 - T s , 1 + q ˙ 6 r 2 2 - r 1 2 1 1 / r 1 - 1 / r 2

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