Enunciado

A comporta AB na Figura P2.83 é um quarto de círculo de 3 m de largura, articulada em B. Encontre a força F suficiente apenas para impedir que a comporta se abra. A comporta é uniforme e pesa 13.350 N.

Passo 1

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A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos uma comporta no formato de um quarto de círculo, com um raio de 2 , 4   m e uma largura (imagina isso como uma terceira coordenada que “entra” dentro do papel) de b = 3   m .

Essa comporta tem um ponto articulado B , que não pode se mover. Devemos descobrir, então, a força F necessária que seja aplicada na comporta para que o ponto B não se mova, considerando o peso da comporta como W = 13.350   N .

Para isso, devemos descobrir as componentes horizontal e vertical da força hidrostática agindo, respectivamente F H e F V , como demonstra a imagem abaixo:

Nos passos seguintes, vamos descobrir como calcular cada uma das componentes das forças hidrostáticas, suas linhas de aplicação e, no fim, fazer um balanço de momento para descobrir qual o valor da força F .

Então, vamo lá resolver essa questão juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a componente horizontal F H . Para isso, devemos imaginar uma projeção em um ângulo de 90° com relação à direção dessa força, como na figura abaixo:

Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base 3   m e altura 2 , 4   m . Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:

F H =   γ h C G A p r o j

Sendo: γ o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 N m 3 ; h C G a distância do centro de massa com relação à superfície livre, que para um retângulo é metade da altura do retângulo; e A p r o j a área do retângulo projetado.

Como não há definição do valor de b no enunciado, vãos assumi-lo como sendo 1   m .

Dessa forma, temos:

F H = 9790   N m 3 2 , 4 2   m   2 , 4   m × 3   m = 84.586   N  

Além disso, devemos calcular a linha de ação da componente horizontal da força com relação ao centroide, que podemos chamar de l H , C G . Pra isso, vamos utilizar a equação abaixo:

l H , C G = h C G + I x x s e n θ h C G A p r o j

Sendo: θ o ângulo entre a projeção e a horizontal, que, por definição, é 90°; e I x x o momento de inércia para essa direção.

O momento de inércia I x x de um retângulo, o próprio livro define na página 92 como :

I x x = b L 3 12

Sendo: b a largura do retângulo , ou seja, 3   m ; e L a altura do retângulo, que nesse caso é 2 , 4   m . Logo:

I x x = b L 3 12 = 3   m 2 , 4   m ³ 12 = 3,456   m 4

Calculando então a linha de ação, temos:

l H = 1,2   m + 3,456   m 4   s e n ( 90 ° )   1 , 2   m 3   m × 2 , 4   m = 1,2   m + 0,4   m = 1,6   m

Passo 3

Agora vamos calcular a componente vertical F V .

Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir da diferença entre o peso da água “ausente”, ou seja, como se considerássemos a comporta inteira como uma geometria retangular, e o peso da área do quarto de círculo.

Pra entender melhor, veja a figura aí embaixo:

Portanto, temos que:

F V = 9790   N m 3 2,4   m   2,4   m × 3   m -   9790   N m 3 π 4 2,4 ² 3   m  

F V = 169 . 171   N - 132 . 86 7   N = 36 . 304   N

Pra calcular a linha de ação para a componente vertical, devemos fazer um balanço de momento de F V no ponto B considerando as duas forças envolvidas no seu cálculo.

Primeiro, para o peso da água considerando a geometria retangular, sua linha de ação em B será basicamente 2,4 m 2 = 1,2   m .

Já para a força do peso da água considerando a geometria do quarto de círculo, teremos 2,4 - 4 R 3 π = 2,4   m - 1,02   m = 1,38   m , que seria a distância horizontal do centroide de um quarto de círculo até o ponto B , como mostra a imagem:

Para achar a linha de ação l V de F V em B faremos o seguinte balanço de momento:

∑ M B , F V = 36 . 304   N l V = 169 . 171   N × 1,2   m - 132 . 867   N × 1 , 38   m

36 . 304   N l V = 203 . 005 - 183.356

l V =   0,54   m

Passo 4

E pra finalizar a questão, iremos fazer um balanço de momento em sentido horário para o ponto B , considerando que o sistema deve estar em equilíbrio para não se mover (ou seja, o somatório de momento deve ser zero):

∑ M B = 0 = F × l F + W × l W - F V × l V - F H × ( 2,4 - l H )

Sendo l F a distância de aplicação da força F com relação ao ponto B , que é de 2 , 4   m , como mostra a figura, e l W a distância de aplicação da força W com relação ao ponto B , que é 2,4 - 2 R π = 0,87   m

Dessa forma:

F × 2 , 4   m + 13.350   N   × 0,87   m - 36.304   N ×   0,54   m - 84.586   N     × 0,8   m = 0

F × 2,4   m + 11.614   N . m - 19.604   N . m -   67.669   N . m

F = 31.526   N

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A força necessária para impedir que a comporta se abra é F   = 31.526   N    

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