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Um nanotubo de carbono está suspenso atravessando uma vala de largura s = 5 mm que separa duas ilhas, cada uma a T ∞ = 300   K . Um feixe laser irradia o nanotubo, a uma distância ξ da ilha esquerda, fornecendo q = 10 μW de energia para o nanotubo. A temperatura do nanotubo é medida no centro da vala utilizando um sensor pontual. A temperatura do nanotubo medida é T 1 = 324,5   K para ξ 1   =   1,5   μ m e T 2 =   326,4   K para ξ 2 = 3,5   μ m . Determine as duas resistências de contato, R t , c , E e R t , c , D , nas extremidades esquerda e direita do nanotubo, respectivamente. O experimento é realizado em uma câmara de vácuo com T v i z = 300   K . A condutividade térmica e o diâmetro do nanotubo são k n c = 3100 W m K e D = 14 nm, respectivamente.

Passo 1

Vamos para mais umaa ??

Então vamos fazer um desenho das resistências do que está acontecendo aqui, ok?

O laser pode estar localizado a duas distâncias diferentes, ξ 1   =   1,5   μ m e ξ 2 = 3,5   μ m , o que faz o laser estar próximo da ilha da direita ou da esquerda, concordam?

Beleza, se sabemos disso podemos desenhar para o primeiro caso e depois ir seguindo:

Beleza, nós desenhamos várias resistências porque a condução do calor depende da distância, certo?

A quantidade de calor total vai se distribuir no calor que caminha para esquerda e para direita:

q = q E , 1 + q D , 1

Agora nós vamos ter que achar cada termo separadamente, ok?

Se o calor é dado pela variação da temperatura sobre a resistência total:

q E , 1 = T m a x , 1 - T ∞ R t , c , E + R 1

q D , 1 = T m a x , 1 - T ∞ R 2 + R 3 + R t , c , D = T 1 - T ∞ R 3 + R t , c , D

Agora nós vamos ver como se calcula cada resistência, lembrando que ela é dada pela distância dividida pela condutividade térmica e a área !!

Se já lembramos disso é só calcular:

R 1 = ξ 1 k n c A n c

R 2 = s 2 - ξ 1 k n c A n c

R 3 = s 2 k n c A n c

Vamos ver nossos dados?

ξ 1   =   1,5   μ m = 1,5 × 10 - 6   m

s = 5   m m = 0,005   m

k n c = 3100 W m K

A n c = π D 2 4 = π 14 × 10 - 9 2 4 = 1,54 × 10 - 16   m 2

T 1 = 324,5   K

T ∞ = 300   K

q   =   10   μ W

Substituindo tudo na fórmula do calor:

q = T m a x , 1 - T ∞ R t , c , E + R 1 + T 1 - T ∞ R 3 + R t , c , D

q = T m a x , 1 - T ∞ R t , c , E + ξ 1 k n c A n c + T 1 - T ∞ s 2 k n c A n c + R t , c , D

10 × 10 - 6   W = T m a x , 1 - 300   K R t , c , E + 1,5 × 10 - 6   m 3100 W m K 1,54 × 10 - 16   m 2 + 324,5   K - 300   K 0,005   m 2 3100 W m K 1,54 × 10 - 16   m 2 + R t , c , D

1 0 × 10 - 6   W = T m a x , 1 - 300   K R t , c , E + 3,14 × 10 6 + 24,5   K 5,24 × 10 9 + R t , c , D

1 0 × 10 - 6   W R t , c , E + 3,14 × 10 6 5,24 × 10 9 + R t , c , D = 5,24 × 10 9 + R t , c , D T m a x , 1 - 300   K + R t , c , E + 3,14 × 10 6 24,5   K

52375,5 R t , c , E + 1,73 × 10 12 + 1 0 × 10 - 6 R t , c , E R t , c , D + 331,4 R t , c , D - 5,24 × 10 9 T m a x , 1 - T m a x , 1 R t , c , D = 0                                                                                     ( 1 )

Podemos usar mais uma relação para q D , 1 :

q = T m a x , 1 - T ∞ R t , c , E + R 1 + T m a x , 1 1 - T ∞ R 2 + R 3 + R t , c , D

q = T m a x , 1 - T ∞ R t , c , E + ξ 1 k n c A n c + T m a x , 1 - T ∞ s 2 - ξ 1 k n c A n c + s 2 k n c A n c + R t , c , D

10 × 10 - 6   W = T m a x , 1 - 300   K 1 R t , c , E + 3,14 × 10 6 + 1 1,06 × 10 10 + R t , c , D

1 0 × 10 - 6   W = T m a x , 1 - 300   K 1,06 × 10 10 + R t , c , D + R t , c , E ( 1,06 × 10 10 R t , c , E + 3,33 × 10 16 + R t , c , E R t , c , D + 3,14 × 10 6 R t , c , D )

1063 00 R t , c , E + 3 , 513 × 10 1 2 + 1 0 × 10 - 6 R t , c , E R t , c , D + 3 31,4 R t , c , D - 1,06 × 10 10 T m a x , 1 - T m a x , 1 R t , c , D - T m a x , 1 R t , c , E = 0                                                                                   ( 2 )

Passo 2

Agora, quando ξ 2 = 3,5   μ m :

A quantidade de calor total vai se distribuir no calor que caminha para esquerda e para direita:

q = q E , 2 + q D , 2

Agora nós vamos ter que achar cada termo separadamente, ok?

Se o calor é dado pela variação da temperatura sobre a resistência total:

q E , 2 = T m a x , 2 - T ∞ R t , c , E + R 1 + R 2 = T 2 - T ∞ R t , c , E + R 1

q D , 2 = T m a x , 2 - T ∞ R 3 + R t , c , D

Se já lembramos disso é só calcular:

R 1 = s 2 k n c A n c

R 2 = ξ 2 - s 2 k n c A n c

R 3 = s - ξ 2 k n c A n c

Vamos ver nossos dados?

ξ 2 = 3,5   μ m = 3 , 5 × 10 - 6   m

T 2 = 32 6 , 4   K

T ∞ = 300   K

q   =   10   μ W

Substituindo tudo na fórmula do calor:

q = T 2 - T ∞ R t , c , E + s 2 k n c A n c + T m a x , 2 - T ∞ s - ξ 2 k n c A n c + R t , c , D

q = T m a x , 2 - T ∞ R t , c , E + s 2 k n c A n c + ξ 2 - s 2 k n c A n c + T m a x , 2 - T ∞ s - ξ 2 k n c A n c + R t , c , D

Agora nós vamos fazer o mesmo procedimento que no passo 1 e obter mais duas equações, certo?

Quando resolvemos estas quatro equações simultaneamente nós teremos os seguintes resultados:

T m a x , 1 = 331   K

T m a x , 2 = 334,8   K

R t , c , E = 1,35 × 10 6 K W

R t , c , E = 2,6 5 × 10 6 K W

Ufaaaa !! Pesada, não foi?

Resposta

T m a x , 1 = 331   K

T m a x , 2 = 334,8   K

R t , c , E = 1,35 × 10 6 K W

R t , c , E = 2,65 × 10 6 K W

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