Enunciado

Bolas de aço de carbono ρ = 7.833   k g / m 3 ,   k = 54   W / m ⋅ K ,   c p = 0,465   k J / k g ⋅ K   e   α = 1,474 × 10 - 6   m 2 / s de 8   m m de diâmetro são recozidos por aquecimento a 900 ℃ em forno e, depois, esfriadoas lentamente até 100 ℃ no ar ambiente a 35 ℃ . Se o coeficiente médio de transferência de calor é 75   W / m 2 ⋅ K , determine o tempo de demora do processo de recozimento. Considerando que 2.500 bolas devem ser recozidas por hora, determine a taxa global de transferência de calor a partir das bolas para o ar ambiente.

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado:

ρ = 7.833   k g / m 3

k = 54   W / m ⋅ K

c p = 465   J / k g ⋅ K

α = 1,474 × 10 - 6   m 2 / s

D = 8   m m = 0,008   m

h = 75   W / m 2 ⋅ K

T i = 900 ℃

T ∞ = 35 ℃

T t = 100 ℃

n = 2500   b o l a s

Passo 2

Primeiro, começamos calculando o número de Biot para saber se podemos usar a análise de sistemas aglomerados. Podemos calcular Biot da seguinte maneira:

B i = h L c k

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor por convecção, k  é a condutividade térmica da bola de aço e L c é o comprimento característico da bola de aço. Sabemos que o comprimento característico para esferas é

L c = D 6

Aqui,   D é o diâmetro da bola de aço. Substituindo na ralação do número de Biot, temos:

B i = h D 6 k

Substituindo os valores fornecidos no enunciado temos:

B i = 75   W / m 2 ⋅ K × 0,008   m 6 × 54   W / m ⋅ K

B i = 0,00185

O número de Biot é menos que 0,1 , de modo que a análise do sistema aglomerado é aplicável.

Passo 3

Agora, podemos usar a equação da análise de sistemas aglomerado para encontrar o tempo de demora do processo de recozimento.

Calculamos primeiro a constante de tempo b da seguinte maneira:

b = h ρ c p L c

Substituindo o comprimento característico.

b = 6 h ρ c p D

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor,  ρ é a densidade e  c p é a capacidade específica de calor a pressão constante.

Substituindo  7 5   W / m 2 ⋅ K por  h 7833   k g / m 3 por  ρ 465   J / k g ⋅ K por  c p e 0,008   m por D , temos:

b = 6 × 7 5   W / m 2 ⋅ K   7833   k g / m 3 × 465   J / k g ⋅ K × 0,008   m

b = 0,0 1544   s - 1

Passo 4

Podemos então calcular o tempo de demora do processo de recozimento da seguinte forma:

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - b t

Podemos fazer umas mudanças nela da seguinte maneira:

ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞ = ln ⁡ e - b t

ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞ = - b t

t = - 1 b ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞

Aqui, o tempo necessário para o resfriamento é  t b  é constante Biot,  T ∞ é a temperatura ambiente,  T i é a temperatura inicial e  T ( t ) é a temperatura final.

Substituindo  100 ℃ por  T ( t ) , 35 ℃ por T ∞ , 900 ℃ por T i 0,01544   s - 1 por  b na equação acima.

t = - 1 0,01544   s - 1 ln ⁡ 100 - 35 900 ℃ - 35

t = 167,6   s

t = 2,79   m i n

Portanto, o processo de recozimento ocorrerá em  2,79   m i n .

Passo 5

A taxa de transferência de calor para o ar ambiente de uma única bola pode ser expressa como:

Q = m c p T f - T i

Podemos calcular a massa de cada bola da seguinte maneira:

m = ρ V

m = ρ π D 3 6

m = 7833   k g / m 3 × π × 0,008   m 3 6

m = 0,0021   k g

Assim, a transferência de calor de uma única bola é:

Q = m c p T f - T i

Q = 0,0021   k g × 465   J / k g ⋅ K 900 - 100 K

Q = 781,16   J

Temos então, que a taxa global de transferência de calor das bolas para o ar ambiente será:

Q ˙ = n ˙ b o l a Q

Q ˙ = 2500 b o l a s h   781,16 J b o l a

Q ˙ = 1.952.898,44 J h × 1   h 3600   s

Q ˙ = 542,47   W

Portanto, a taxa de transferência total das bolas para o ar ambiente é  542,47   W .

Resposta

t = 2,79   m i n

Q ˙ = 542,47   W

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