Enunciado

Considere uma casca de satélite esférica com diâmetro externo de 4   m e espessura de casca de 10   m m reentrando na atmosfera. A casca do satélite é feita de aço inoxidável com propriedades de ρ = 8239   k g / m 3 , c p = 468   J / k g ⋅ K e k = 13,4   W / m ⋅ K . Durante a reentrada, a temperatura efetiva da atmosfera em torno da satélite é 1.250 ℃ com coeficiente de transferência de calor por convecção de 130   W / m 2 ⋅ K . Considerando que a temperatura inicial da casca é 10 ℃ , determine sua temperatura após 5 minutos. Considere que a transferência de calor ocorre apenas na casca do satélite.

Passo 1

Dados fornecidos no enunciado:

Diâmetro externo é D = 4   m

Espessura da casca é L = 0,01   m

Densidade da casca é ρ = 8239   k g / m 3

Capacidade calorifica é c p = 468   J / k g ⋅ K

Condutividade térmica é k = 13,4   W / m ⋅ K

Coeficiente de transferência de calor por convecção é h = 130   W / m 2 ⋅ K

Temperatura inicial é T i = 10 ℃ = 283 K

Temperatura ambiente é T ∞ = 1 250 ℃ = 1523 K

Tempo de exposição é t = 5   m i n = 300   s

Passo 2

Fala galera!!

Primeiro, temos que começar calculando o comprimento da característica da casca do satélite usando a seguinte relação:

L c = V A s

Aqui, V é o volume e A s é a área superficial. Assim temos:

L c = π D 3 6 - π ( D - 2 L ) 3 6 π D 2

L c = D 3 - ( D - 2 L ) 3 6 D 2

Substituindo 4   m por  D , e  0,01   m por L .

L c = 4   m 3 - ( 4   m - 2 × 0,01   m ) 3 6 × 4   m 2

L c = 0,00995   m

Passo 3

Com o comprimento característico, podemos calcular o número do Biot para sabermos se podemos usar a analise de sistemas aglomerados. Assim, calculamos Biot usando a seguinte relação:

B i = h L c k

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor e k  é a condutividade térmica.

Substituindo  130   W / m 2 ⋅ K por  h 13,4   W / m ⋅ K por  k 0,00995   m por  L c .

B i = 130   W / m 2 ⋅ K × 0,00995   m 13,4   W / m ⋅ K

B i = 0,0965

Como o número de Biot é menor que 0,1 , a análise do sistema aglomerado é aplicável.

Passo 4

Agora, podemos usar a equação da análise de sistemas aglomerado para determinar a temperatura da casca do satélite após 5 minutos.

Calculamos primeiro a constante de tempo b da seguinte maneira:

b = h ρ c p L c

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor,  ρ é a densidade e  c p é a capacidade específica de calor a pressão constante.

Substituindo  130   W / m 2 ⋅ K por  h 8239   k g / m 3 por  ρ 468   J / k g ⋅ K   por  c p e 0,00995   m por L c , temos:

b = 130   W / m 2 ⋅ K   8239   k g / m 3 × 468   J / k g ⋅ K × 0,00995   m

b = 3,388 × 10 - 3   s - 1

Podemos então calcular a temperatura da casca do satélite após 5 minutos da seguinte forma:

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - b t

Podemos fazer umas mudanças nela da seguinte maneira:

T t = T i - T ∞ e - b t + T ∞

Aqui, T i é a temperatura inicial, T ∞ é a temperatura ambiente e t é o tempo.

Substituindo  283 K por T i , 1523 K por T ∞ e 300   s por t , temos:

T t = 283 K - 1523 K e - 3,388 × 10 - 3   s - 1 × 300   s + 1523 K

T t = - 1240 K e - 1,0165 + 1523 K

T t = - 448,7 K + 1523 K

T t = 1074,3 K

T t = 801,3 ℃

Portanto, a temperatura da casca do satélite após 5 minutos é  801,3 ℃ .

Resposta

T t = 801,3 ℃

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