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Uma comporta na forma de um quarto de círculo e 4 m de comprimento, com raio de 3 m e peso desprezível está ligada com dobradiças à sua aresta superior A , como mostra a Figura P3-63. A comporta controla o escoamento da água acima da borda em B , onde é pressionada por uma mola. Determine a força mínima da mola necessária para manter a comporta fechada quando o nível sobe até A na aresta superior da comporta.

Passo 1

Vamos começar pelas as hipóteses do problema em questão:

  1. A dobradiça não tem atrito;
  2. A pressão atmosférica age em ambos os lados da comporta e por isso pode ser ignorado nos cálculos;
  3. O peso da comporta é desprezível.

Assim o diagrama de corpo livre da comporta pode ser observado abaixo

Passo 2

A força hidrostática resultante F R pode ser determinada a partir dos componentes horizontal e vertical F H e F V . A componente horizontal é:

F H = F x = P m é d A = ρ g h C A = ρ g R 2 A

F H = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ⋅ 3 = 176   k N

Para determinar a componente vertical, vamos obter F y e W . Temos:

F y = ρ g h C A = ρ g h i n f e r i o r A = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 3 = 353,2   k N

W = ρ g V = ρ g w ⋅ π R 2 4 = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 3 4 = 277,4   k N

Assim, a componente vertical é:

F V = F y - W = 353,2 - 277,4 = 75,8   k N

A intensidade e a direção da força hidrostática resultante são:

F R = F H 2 + F V 2 = 176,6 2 + 75,8 2 = 192,2   k N

tan ⁡ θ = F V F H = 75,8 176,6 = 0,429 → θ = 23,2 °

Passo 3

A configuração da ação da força resultante pode ser vista abaixo:

Para obtermos a mínima força requerida na mola, fazemos o somatório de momentos em A entre a força resultante e a força da mola:

∑ M A = 0 → F R R sin ⁡ 90 ° - θ - F e R = 0

F e = F R sin ⁡ ( 90 - θ ) = 192,2 sin ⁡ ( 90 ° - 23,2 ° ) = 177   k N

Resposta

F e = 177   k N

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