Enunciado

Seja a condução unidimensional em uma parede plana composta. Sua superfície externa está exposta a um fluido a 25 ℃ , com um coeficiente convectivo de 1000   W / m 2 · K . Na parede intermediária B há geração uniforme de calor a uma taxa q ˙ B , enquanto não existe geração nas paredes A e C . As temperaturas nas interfaces são T 1 = 261 ℃ e T 2 = 211 ℃ .

(a) Supondo resistências de contato desprezíveis nas interfaces, determine a taxa volumétrica de geração de calor q ˙ B e a condutividade térmica k B .

(b) Represente graficamente a distribuição de temperaturas, mostrando suas características importantes.

(c) Considere condições que correspondam à perda de refrigerante na superfície exposta do material A h = 0 . Determine T 1 e T 2 e represente a distribuição de temperaturas ao longo de todo o sistema.

Passo 1

Nessa questão, queremos encontrar (a) geração volumétrica de calor e condutividade térmica para o material B, (b) gráfico da distribuição de temperatura, (c) T 1 e T 2 , bem como distribuições de temperatura correspondentes à perda da condição do líquido de refrigeração, onde h = 0 na superfície A.

PRESSUPOSTOS:

(1) Transferência de calor unidimensional em estado estacionário;

(2) Resistência de contato desprezível nas interfaces;

(3) Geração uniforme em B; zero em A e C.

DADOS FORNECIDOS:

Temperatura do fluido externo: T ∞ = 25 ℃

Coeficiente convectivo: h = 1000   W / m 2 · K

Temperaturas na interface AB: T 1 = 261 ℃

Temperaturas na interface BC: T 2 = 211 ℃

Condutividade térmica da parede A: k A = 25   W / m ⋅ K

Condutividade térmica da parede C: k C = 50   W / m ⋅ K

Espessura da parede A: L A = 30   m m = 0,03   m

Espessura da parede B: L B = 30   m m = 0,03   m

Espessura da parede C: L C = 20   m m = 0,02   m

Passo 2

(a) Para resolver essa questão, vamos começar desenhando o circuito térmico para a parede A. Assim temos:

R c o n d ' '

Com o circuito térmico desenhado, podemos dizer que a transferência de calor por unidade de área da parede A pode ser dada pela seguinte relação:

q 1 ' ' = T 1 - T ∞ R c o n v ' ' + R c o n d ' ' = T 1 - T ∞ 1 h + L A k A

Aqui, T 1 é a temperatura na interface, T ∞ é a temperatura ambiente, h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, L A é a espessura da parede A e k A é a condutividade térmica da parede A. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos o seguinte:

q 1 ' ' = 261 ℃ - 25 ℃ 1 1000   W / m 2 · K + 0,03   m 25   W / m ⋅ K = 107272,72   W / m 2

Passo 3

Agora, vamos desenhar o circuito térmico para a parede C. Assim temos:

Com o circuito térmico desenhado, podemos dizer que a transferência de calor por unidade de área da parede C pode ser dada pela seguinte relação:

q 2 ' ' = T 2 - T ∞ R c o n v ' ' + R c o n d ' ' = T 2 - T ∞ 1 h + L C k C

Aqui, T 2 é a temperatura na interface, T ∞ é a temperatura ambiente, h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, L C é a espessura da parede C e k C é a condutividade térmica da parede C. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos o seguinte:

q 2 ' ' = 211 ℃ - 25 ℃ 1 1000   W / m 2 · K + 0,02   m 50   W / m ⋅ K = 132857,142   W / m 2

Passo 4

Podemos desenhar as taxas de fluxo de energia para a parede B da seguinte forma:

Em que, ao aplicarmos a equação de energia na parede B vamos obter o seguinte:

E e n t r a - E s a i + E g = E a c

Aqui, E e n t r a é a energia que entra na parede B,  E s a i é a energia que sai da parede B, E g é a energia gerada na parede B e E a c é a energia acumulada. Temos que não ocorre acúmulo e nem entrada de energia, logo esses termos são iguais a zero, temos também que a energia que são é q 1 ' ' + q 2 ' ' . Assim, temos o seguinte:

0 - q 1 ' ' + q 2 ' ' + E g = 0

E g = q 1 ' ' + q 2 ' '

Podemos dizer também que a energia gerada na parede B pode ser dada pela seguinte relação:

E g = q ˙ B 2 L B

Aqui, q ˙ B é a geração volumétrica de calor na parede e 2 L B é a espessura da parede B. Substituindo, temos:

q ˙ B 2 L B = q 1 ' ' + q 2 ' '

q ˙ B = q 1 ' ' + q 2 ' ' 2 L B

q ˙ B = 107272,72   W / m 2 + 132857,142   W / m 2 2 0,03   m

q ˙ B = 4002164,36   W / m 3 = 4,00 × 10 6   W / m 3

Portanto, a geração volumétrica de calor na parede B é  4,00 × 10 6   W / m 3 .

Passo 5

Para determinar k B , podemos usar a equação da distribuição de temperatura para parede plana (Eq. 3.46) na parede B e a distribuição de fluxo de calor na parede B. Ou seja:

T x = q ˙ B L B 2 2 k B 1 - x 2 L B 2 + T 2 - T 1 2 x L B   + T 1 + T 2 2                       - L B ≤ x ≤ L B

e

q x ' ' x = - k B d T d x

Passo 6

Podemos agora derivar a distribuição de temperatura, substituir na equação da distribuição de fluxo de calor na parede B e aplicar as condições de contorno para encontrar k B . Derivando, temos:

d T d x = - q ˙ B k B x + T 2 - T 1 2 L B  

Substituindo temos o seguinte:

q x ' ' x = - k B - q ˙ B k B x + T 2 - T 1 2 L B

q x ' ' x = q ˙ B x - T 2 - T 1 2 L B k B

Aplicando a condição de contorno, temos que quando x = L B , q x ' ' L B = q 2 ' ' . Substituindo, temos:

q 2 ' ' = q ˙ B L B - T 2 - T 1 2 L B k B

Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos temos o seguinte:

132857,142   W / m 2 = 4002164,36   W / m 3 0,03   m - 211 ℃ - 261 ℃ 2 0,03   m k B

12792,2112   W / m 2 = 833,333   K / m   k B

k B = 15,35   W / m ⋅ K

Portanto, a condutividade térmica da parede B é  15,35   W / m ⋅ K .

Passo 7

(b) Queremos representar graficamente a distribuição de temperaturas nas paredes A, B e C. Temos que a distribuição de temperatura na parede B é dada pela seguinte equação:

T B x = q ˙ B L B 2 2 k B 1 - x 2 L B 2 + T 2 - T 1 2 x L B   + T 1 + T 2 2                       - L B ≤ x ≤ L B

Também temos que a distribuição de temperaturas para uma parede plana sem geração de energia pode ser dada pela equação 3.3. Então, para a parede A temos o seguinte:

T A x = T 1 - T s , A x L A + T s , A                           0 ≤ x ≤ L A

T A x = T 1 - T s , A x - - L A - L B L A + T s , A                         - L A - L B ≤ x ≤ L B

T A x = T 1 - T s , A x + L A + L B L A + T s , A                         - L A - L B ≤ x ≤ - L B

e para a parede C, temos o seguinte:

T C x = T s , C - T 2 x L C + T 2                         0 ≤ x ≤ L C

T C x = T s , C - T 2 x - L B L C + T 2                         L B ≤ x ≤ L B + L C

Passo 8

Podemos encontrar T s , A usando a seguinte expressão:

q 1 ' ' = h T s , A - T ∞

T s , A = q 1 ' ' h + T ∞

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos o seguinte:

T s , A = 107272,72   W / m 2 1000   W / m 2 · K + 25 ℃ = 132,27 ℃

Podemos encontrar T s , C usando a seguinte expressão:

q 2 ' ' = h T s , C - T ∞

T s , C = q 2 ' ' h + T ∞

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos o seguinte:

T s , C = 132857,142   W / m 2 1000   W / m 2 · K + 25 ℃ = 157,85 ℃

Agora, vamos substituir todos os dados obtidos anteriormente, nas expressões de distribuição de temperaturas das paredes A, B e C. Assim, temos o seguinte:

T A x = 4291 x + 0,06 + 132,27                         - 0,06 ≤ x ≤ - 0,03

T B x = - 130358,11   x 2 - 833,33   x   + 353,32                       - 0,03 ≤ x ≤ 0,03

T C x = - 2657,5 x - 0,03 + 211 ℃                         0,03 ≤ x ≤ 0,05

Passo 9

Agora, usando as equações acima, podemos plotar o gráfico. Assim temos:

Características importantes:

(1) a distribuição é quadrática em B, mas não simétrica; linear em A e C;

(2) Como as condutividades térmicas dos materiais são diferentes, existem descontinuidades em cada interface;

(3) Comparando os gradientes em x = - L B e +   L B , podemos perceber que q 2 ' ' > q 1 ' ' .

Passo 10

(c) Temos que a taxa de transferência de calor no lado A é igual a zero, isso é devido ao coeficiente de transferência de calor ser igual a zero ao longo da superfície A exposta ao ambiente. Assim, a taxa de transferência de calor do lado C igual à taxa de geração de calor em B. Ou seja:

q 2 ' ' = q ˙ B 2 L B = 2 q ˙ B L B

q 2 ' ' = 2 4002164,36   W / m 3 0,03   m

q 2 ' ' = 240129,86   W / m 2

Passo 11

Podemos então encontrar a temperatura da superfície exposta ao ambiente da parede C usando a seguinte equação:

q 2 ' ' = h T s , C - T ∞

T s , C = q 2 ' ' h + T ∞

Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos, temos:

T s , C = 240129,86   W / m 2 1000   W / m 2 · K + 25 ℃ = 265,13 ℃

Agora, Podemos encontrar a temperatura da interface entre as paredes B e C usando a seguinte relação:

q 2 ' ' = T 2 - T s , C R c o n d ' ' = T 2 - T s , C L C k C

T 2 = q 2 ' ' L C k C + T s , C

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos o seguinte:

T 2 = 240129,86   W / m 2 0,02   m 50   W / m ⋅ K + 265,13 ℃

T 2 = 361,18 ℃

Portanto a temperatura na interface BC é 361,18 ℃ .

Passo 12

Agora, vamos encontrar a temperatura na interface entre as paredes A e B. Para isso, vamos usar a distribuição de temperatura na parede B e também a distribuição de fluxo de calor na parede B.

T x = q ˙ B L B 2 2 k B 1 - x 2 L B 2 + T 2 - T 1 2 x L B   + T 1 + T 2 2                       - L B ≤ x ≤ L B

e

q x ' ' x = - k B d T d x

Podemos agora derivar a distribuição de temperatura, substituir na equação da distribuição de fluxo de calor na parede B e aplicar as condições de contorno para encontrar T 1 . Derivando, temos:

d T d x = - q ˙ B k B x + T 2 - T 1 2 L B  

Substituindo temos o seguinte:

q x ' ' x = - k B - q ˙ B k B x + T 2 - T 1 2 L B

q x ' ' x = q ˙ B x - T 2 - T 1 2 L B k B

Aplicando a condição de contorno, temos que quando x = - L B , q x ' ' - L B = q 1 ' ' . Substituindo, temos:

q 1 ' ' = q ˙ B - L B - T 2 - T 1 2 L B k B

q 1 ' ' = - q ˙ B L B - T 2 - T 1 2 L B k B

Temos que não a taxa de transferência de calor no lado A é igual a zero, ou seja, q 1 ' ' = 0 . Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos temos o seguinte:

0 = - 4002164,36   W / m 3 0,03   m - 361,18 ℃ - T 1 2 0,03   m 15,35   W / m ⋅ K

T 1 = 830,49 ℃

Portanto a temperatura na interface AB é 830,49 ℃ .

Passo 13

Podemos encontrar T s , A usando a seguinte expressão:

q 1 ' ' = T 1 - T s , A R c o n d ' ' = T 1 - T s , A L A k A

Como foi dito acima, q 1 ' ' = 0 . Assim temos:

0 = T 1 - T s , A L A k A

T s , A = T 1

T s , A = 830,49 ℃

Da mesma forma que fizemos na letra (b), agora, vamos substituir todos os dados obtidos anteriormente, nas expressões de distribuição de temperaturas das paredes A, B e C. Assim, temos o seguinte:

T A x = 830,49 ℃                         - 0,06 ≤ x ≤ - 0,03

T B x = - 130358,11   x 2 - 7821,82   x   + 713,17                       - 0,03 ≤ x ≤ 0,03

T C x = - 4802,5 x - 0,03 + 361,18                         0,03 ≤ x ≤ 0,05

Passo 14

Agora, usando as equações acima, podemos plotar o gráfico. Assim temos:

Resposta

(a)

q ˙ B = 4002164,36   W / m 3 = 4,00 × 10 6   W / m 3

k B = 15,35   W / m ⋅ K

(c)

T 2 = 361,18 ℃

T 1 = 830,49 ℃

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