Enunciado

Um elemento de combustível nuclear, com espessura 2 L , é coberto com um revestimento de aço com espessura b . O calor gerado no interior do combustível nuclear, a uma taxa q ˙ , é removido por um fluido a T ∞ , que se encontra em contato com uma das superfícies e é caracterizado por um coeficiente convectivo h . A outra superfície encontra-se isolada termicamente. O combustível e o aço possuem condutividades térmicas k c e k a , respectivamente.

(a) Obtenha uma equação para a distribuição de temperaturas T x no combustível nuclear. Expresse seus resultados em termos de q ˙ , k c , L , b , k a , h e T ∞ .

(b) Esboce a distribuição de temperaturas T x para todo o sistema.

Passo 1

Fala galera!!

Nessa questão, queremos encontrar uma (a) expressão para a distribuição de temperatura no combustível, e a (b) forma de distribuição de temperatura para todo o sistema.

PRESSUPOSTOS:

(1) Transferência de calor unidimensional;

(2) Condições de estado estacionário;

(3) Geração uniforme;

(4) Propriedades constantes;

(5) Resistência de contato desprezível entre combustível e revestimento.

Passo 2

Podemos desenha o seguinte esquema para o combustível nuclear revestido de aço.

Passo 3

(a) Para resolver essa questão, podemos começar escrevendo Eq. 3.45 que é a solução geral para transferência de calor. Para o combustível temos o seguinte:

T x = - q ˙ 2 k c x 2 + C 1 x + C 2

Aqui, T x é a temperatura na direção de  x , q ˙ é a taxa de transferência de calor, k c é a condutividade térmica do combustível, x é à distância na direção vertical e C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.

Queremos encontrar C 1 e C 2 para isso, podemos usar as condições de contorno. A primeira condição se dá ao fato de que a superfície onde x = - L + b a parede está isolada, ou seja, podemos dizer que o fluxo de calor em x = - L é zero (para um balanço de energia aplicada a um volume de controle sobre a parede, E e n t r a = E s a i = 0 ). Consequentemente:

d T d x x = - L   = 0

Aplicando essa condição, temos o seguinte:

- q ˙ k - L + C 1 = 0

C 1 = - q ˙ L k c

Agora vamos usar a segunda condição de contorno. Quando x = L , temos que T x = T s , 1 . Assim temos que:

T x = - q ˙ 2 k c x 2 - q ˙ L k c x + C 2

T s , 1 = - q ˙ 2 k c L 2 - q ˙ L k c L + C 2

C 2 = 3 q ˙ L 2 2 k c + T s , 1

Assim, temos que a equação de distribuição de temperatura é:

T x = - q ˙ 2 k c x 2 - q ˙ L k c x + 3 q ˙ L 2 2 k c + T s , 1

Passo 4

Queremos que a equação de distribuição de temperatura acima fique em função de T ∞ e não em função de T s , 1 . Para isso, vamos usar o circuito de resistência térmica equivalente para o revestimento, como mostrado abaixo:

Temos que a quantidade de calor gerada no combustível é igual à taxa de calor conduzida. Ou seja:

q = q ˙ V

Aqui,  q ˙ é a quantidade de calor gerado no combustível e  V é o volume.

Com o circuito térmico equivalente, podemos escrever a equação de condução de calor do combustível até a extremidade direita do revestimento. Assim temos:

q = T s ,   1 - T ∞ R t o t a l

q = T s ,   1 - T ∞ b k a A + 1 h A

Substituindo a taxa de calor conduzida, podemos encontrara temperatura T s , 1 da seguinte maneira:

q ˙ V = T s ,   1 - T ∞ b k a A + 1 h A

q ˙ 2 L A = T s ,   1 - T ∞ b k a A + 1 h A

2 q ˙ L = T s ,   1 - T ∞ b k a + 1 h

T s ,   1 = 2 q ˙ L b k a + 1 h + T ∞

Substituindo T s ,   1 na equação de distribuição de temperatura encontrada no passo anterior, temos o seguinte:

T x = - q ˙ 2 k c x 2 - q ˙ L k c x + 3 q ˙ L 2 2 k c + 2 q ˙ L b k a + 1 h + T ∞

T x = - q ˙ 2 k c x 2 - q ˙ L k c x + 2 q ˙ L 3 L 4 k c + b k a + 1 h + T ∞

Portanto, a distribuição de temperatura é:

T x = - q ˙ 2 k c x 2 - q ˙ L k c x + 2 q ˙ L 3 L 4 k c + b k a + 1 h + T ∞

Passo 5

(b) Para o período de - L - b < x < - L , a taxa de transferência de calor é zero, e, portanto a temperatura é constante nesse período e igual a T m á x devido o gradiente de temperatura ser zero.

Para o período - L < x < L , o gráfico é parabólico e gradiente de temperatura aumenta com  x .

Para o período de L < x < L + b , o gradiente e uma constante, pois não a geração de energia, isso faz com que o gráfico seja uma reta.

Assim temos que o gráfico da distribuição de temperatura para todo o sistema se torne o seguinte:

Resposta

(a)

T x = - q ˙ 2 k c x 2 - q ˙ L k c x + 2 q ˙ L 3 L 4 k c + b k a + 1 h + T ∞

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