Enunciado

Pretende-se esgotar a atmosfera poluída de uma instalação subterrânea através de um poço de seção circular por meio de um ventilador. Dados: D = 3   m ; h = 50   m ; Q = 71   m 3 / s ; η V = 0,75 ; γ = 13   N / m 3 ; ν = 1,5.10 - 5   m 2 / s ; k = 10 - 3   m ; p a t m = 100   k P a . Determinar a potência do ventilador.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar o exercício aplicando o equilíbrio de energia entre os pontos 1 (dentro do reservatório) e 2 (fora do reservatório):

H 1 + H V = H 2 + H p 1,2

v 1 2 2 g + p 1 γ + z 1 + H V = v 2 2 2 g + p 2 γ + z 2 + H p 1,2

Agora, precisamos encontrar os valores para substituir nessa equação, vamos começar pela pressão dento do reservatório, que pode ser encontrada com a informação do esquema na figura através da equação:

p 1 = γ H 2 O h H 2 O = 10 4 0,02 → p 1 = 200   P a

Agora podemos calcular o valor da velocidade de escoamento, já que o enunciado nos deu a vazão e a geometria da tubulação:

Q = v A → v = Q A = Q π D 2 4 → 71 π 3 2 4 → v = 10   m / s

Passo 2

Sabemos que a perda de carga distribuída é dada por:

h f = f L v 2 2 g D H

Como não temos o valor de f , devemos recorrer ao diagrama de Moody a seguir, para isso precisamos encontrar o valor de D H / k , nesse caso, como temos uma seção circular, então D H = D e a equação se torna:

D H k = 3 10 - 3 → D H k = 3000

Agora vamos encontrar o valor de Reynolds para descobrir em que faixa de escoamento o exercício se encontra:

R e = v D H ν = 10 3 1,5.10 - 5 → R e = 2.10 6

Para esse valor de Reynolds, o escoamento é rugoso, que é a parcela onde as curvas D H / k possuem um valor constante (ocorrem para altos valores de R e ), dessa forma, para a relação D H / k encontrada, vamos adotar:

f = 0,016

Agora podemos retornar a equação da perda de carga distribuída:

h f = f L v 2 2 g D H = 0,016 50 10 2 2 10 3 → h f = 1,33   m

Passo 3

Agora vamos retornar à equação de equilíbrio de energia do passo 1:

v 1 2 2 g + p 1 γ + z 1 + H V = v 2 2 2 g + p 2 γ + z 2 + H p 1,2

Como não temos perda localizada, então a equação se torna:

v 1 2 2 g + p 1 γ + z 1 + H V = v 2 2 2 g + p 2 γ + z 2 + h f 1,2

E, substituindo os valores conhecidos:

0 2 2 g + 200 13 + 0 + H V = 10 2 2 10 + 0 + 50 + 1,33 → H V = 40,9   m

E, a potência do ventilador, que funciona de maneira similar a uma bomba, é dada por:

N V = γ Q H V η V = 13 71 40,9 0,75 → N V = 50334,3   W

Resposta

N V = 50334,3   W

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