Enunciado

Diz-se que Arquimedes descobriu seu princípio durante um banho enquanto pensava sobre como poderia determinar se a coroa do rei Hiero era feita realmente de ouro puro. Enquanto estava na banheira, ele concebeu a ideia de que poderia determinar a densidade média de um objeto com forma irregular pesando-o no ar e também na água. Se a coroa pesar 3,20   k g f ( = 31,4   N ) no ar e 2,95   k g f   ( = 28,9   N ) na água, determine se ela é feita de ouro puro. A densidade do ouro é 19300 k g m 3 .   Discuta como é possível resolver este problema sem pesar a coroa na água, mas usando um balde comum sem nenhuma medição do volume. Você pode pesar qualquer coisa no ar.

Passo 1

Vamos considerar a densidade da água como sendo 1000 k g m 3 . A densidade do ouro é de 19300 k g m 3 .

Passo 2

Agora devemos determinar a massa da coroa, ou seja:

m = W a r g = 31,4   N 9,81 m s 2 1 k g ∙ m s 2 1   N = 3,20   k g

A diferença entre os pesos no ar e na água é devida à força de empuxo na água e, portanto, teremos:

F E = W a r - W á g u a = 31,4 - 28,9 = 2,50   N

Passo 3

Note que...

F E = ρ á g u a g V

O volume da coroa é determinado como sendo:

V = F E ρ á g u a g = 2,50   N 1000 k g m 3 9,81 m s 2 = 2,548 × 10 - 4   m 3

Então a densidade da coroa se torna...

ρ = m V = 3,20   k g 2,548 × 10 - 4   m 3 = 12.560 k g m 3

Resposta

Portanto a densidade da coroa é:

ρ = 12.560 k g m 3

Que é consideravelmente menor que a densidade do ouro. Portanto, a coroa NÃO é feita de ouro puro.

Esse problema também pode ser resolvido sem a pesagem subaquática da seguinte forma:

Pesaríamos um balde meio cheio de água e soltaríamos a coroa nele. Depois de marcar o novo nível de água, tiraríamos a coroa e adicionaríamos água ao balde até que o nível da água subisse até a marca.

Pesaríamos o balde novamente. E feito isso dividiríamos a diferença de peso pela densidade da água e g dará o volume da coroa.

Conhecendo o peso e o volume da coroa, a densidade pode ser facilmente determinada.

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