Responde Aí

Enunciado

Seja a pilha de células a combustível do Problema 1.58. As membranas com espessura t = 0,42 mm têm uma condutividade térmica nominal de k   =   0,79 W m K , que pode ser aumentada para k e f , x   =   15,1 W m K , através da adição de 10%, em volume, de nanotubos de carbono nas camadas de catalisador. Há na membrana geração de energia volumétrica uniforme a uma taxa q ˙ = 10 × 10 6 W m 3 . Ar, a T a = 80 ° C , fornece um coeficiente convectivo h a = 35 W m 2 K em um lado da membrana, enquanto hidrogênio, a T h = 80 ° C e h h = 235 W m 2 K , escoa no lado oposto da membrana. Os canais de escoamento têm 2L = 3 mm de largura. A membrana está presa entre placas bipolares, cujas temperaturas são T p b = 80 ° C .

  1. Deduza a equação diferencial que governa a distribuição de temperaturas T(x) na membrana.
  2. Obtenha uma solução para a equação diferencial, supondo que a membrana está na temperatura da placa bipolar em x = 0 e x = 2L.
  3. Represente a distribuição de temperaturas T(x) de x = 0 até x = L para cargas de nanotubos de carbono de 0% e 10%, em volume. Comente sobre a capacidade dos nanotubos de carbono de manterem a membrana abaixo de sua temperatura de amolecimento igual a 85°C.

Passo 1

Vamos que vamos galerinhaa??

Antes de qualquer coisa nós precisamos dar uma olhadinha mais de perto para o balanço de energia em um volume de controle diferencial, ok?

Então, se pegarmos um pedacinho da membrana de comprimento d x :

Quando nós fazemos o balanço de energia teremos que o calor sendo adicionado ao volume, q ' x e q ' ˙ , e saindo do volume de controle, q ' x + d x , q ' c o n v ,   h e q ' c o n v ,   a Então:

q ' x + q ' ˙ = q ' x + d x + q ' c o n v , h + q ' c o n v ,   a

Agora nós precisamos achar cada um dos termos, ok?

A primeira coisa que devemos fazer aqui é escrever a equação de Fourier para a condução que ocorre a uma distância x:

q ' x = - k t . d T d x

E para uma distância x + d x :

q ' x = q ' x + d q ' x d x . d x

A transferência de calor por convecção pode ser dada como:

q ' c o n v , a = h a T - T a d x

q ' c o n v , h = h h T - T h d x

E a última que precisamos achar é a transferência de calor por radiação:

q ' ˙ = q ˙ t . d x

Agora nós podemos substituir tudo que temos:

q ' x + q ˙ t . d x = q ' x + d q ' x d x . d x + h a T - T a d x + h h T - T h d x

q ˙ t . d x = d q ' x d x . d x + h a T - T a d x + h h T - T h d x

Como o dx está presente em todos os termos:

q ˙ t = d q ' x d x + h a T - T a + h h T - T h

Como T a = T h :

q ˙ t = d q ' x d x + ( h a + h h ) T - T h

E substituindo q ' x :

q ˙ t = d d x - k t . d T d x + ( h a + h h ) T - T h

q ˙ t = - k t . d 2 T d x 2 + ( h a + h h ) T - T h

Reescrevendo:

k t . d 2 T d x 2 - ( h a + h h ) T - T h + q ˙ t = 0

d 2 T d x 2 - h a + h h k t T - T h + q ˙ k = 0

Então a equação diferencial que governa a distribuição de temperatura será dada por d 2 T d x 2 - h a + h h k t T - T h + q ˙ k = 0 .

Bora seguir pra letra (b)??

Passo 2

Na letra (b) nós queremos uma solução para a equação diferencial usando condições de contorno apropriadas.

Se nós assumirmos que:

θ = T - T ∞

Então:

d 2 T d x 2 = d 2 θ d x 2

Na fórmula da letra (a):

d 2 θ d x 2 - h a + h h k t θ + q ˙ k = 0

Quando nós temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes a solução é dada pela forma:

θ = C 1 e λ x + C 2 e - λ x + S λ 2

Onde:

λ = h a + h h k t

S = q ˙ k

Aplicando a primeira condição de contorno, quando x = 0 e θ 0 = θ 0 , então:

θ 0 = C 1 + C 2 + S λ 2

Se nós aplicarmos a segunda condição de contorno, quando x = L e d θ d x = 0 .

Então nós precisamos derivar a solução que nós achamos, certo?

d θ d x = λ C 1 e λ x - λ C 2 e - λ x

Igualando a zero e substituindo x por L :

λ C 1 e λ L - λ C 2 e - λ L = 0

λ C 1 e λ L = λ C 2 e - λ L

C 1 = C 2 e - 2 λ L

Substituindo na primeira equação do contorno o que acabamos de achar:

θ 0 = C 2 e - 2 λ L + C 2 + S λ 2

Isolando C 2 :

C 2 = θ 0 - S λ 2 e - 2 λ L + 1

Substituindo em C 1 :

C 1 = e - 2 λ L θ 0 - S λ 2 e - 2 λ L + 1 = 1 e 2 λ L θ 0 - S λ 2 e - 2 λ L + 1 = θ 0 - S λ 2 e 2 λ L + 1

Colocando na solução:

θ = θ 0 - S λ 2 e 2 λ L + 1 e λ x + θ 0 - S λ 2 e - 2 λ L + 1 e - λ x + S λ 2

Reorganizando:

θ = θ 0 - S λ 2 e λ x e 2 λ L + 1 + e - λ x e - 2 λ L + 1 + S λ 2

Passo 3

Para a letra (c) nós precisamos lembrar que:

q ˙ = 10 × 10 6 W m 3

T a = 80 ° C + 273 = 353   K

h a = 35 W m 2 K

T h = 80 ° C + 273 = 353   K

h h = 235 W m 2 K

2 L   =   0,003   m → L = 0,0015   m

t   =   0,42   m m = 0,00042   m

Sabemos que:

θ = T x - T a = T ( x ) - 353   K

θ 0 = T 0 - T a = 353   K - 353   K = 0

Nossa equação do passo 2 ficará assim:

T x = 353   K + S λ 2 1 - e λ x e 2 λ L + 1 - e - λ x e - 2 λ L + 1

Agora o próximo passo é achar S e λ .

Quando k = 0,79 W m K :

λ = 35 W m 2 K + 235 W m 2 K 0,79 W m K 0,00042   m = 902   m - 1

S = 10 × 10 6 W m 3 0,79 W m K = 12,7 × 10 6 K m 2

Agora que nós temos todos os dados vamos variar a distância de 0 m até 0,0015 m, comprimento total da membrana L.

Quando plotamos o gráfico:

Quando k = 15,1 W m K :

λ = 35 W m 2 K + 235 W m 2 K 15,1 W m K 0,00042   m = 206,3   m - 1

S = 10 × 10 6 W m 3 15,1 W m K = 0,66 × 10 6 K m 2

E fazendo a mesma coisa teremos:

Então, nós vimos que os nanotubos de carbono são eficazes na redução da temperatura máxima da membrana, certo?

Legal, não foi?

Resposta

  1. d 2 T d x 2 - h a + h h k t T - T h + q ˙ k = 0 ;
  2. θ = θ 0 - S λ 2 e λ x e 2 λ L + 1 + e - λ x e - 2 λ L + 1 + S λ 2 ;
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