Enunciado

Laranjas de 6   c m de diâmetro ( k = 0,45   W / m ⋅ ℃   e   α = 1,3 × 10 - 7   m 2 / s ) inicialmente a uma temperatura uniforme de 26 ℃ devem ser refrigeradas por ar a - 4 ℃ fluindo a uma velocidade de 0,3   m / s . O coeficiente médio de transferência de calor entre as laranjas e o ar é determinado experimentalmente a 26   W / m 2 ⋅ ℃ . Determine o tempo necessário para que a temperatura no centro das laranjas caia para 4 ℃ . Além disso, determine se alguma parte das laranjas congelará durante esse processo.

Passo 1

Dado fornecido no enunciado:

Diâmetro de laranja: D = 6   c m = 0,06   m  

Condutividade térmica de laranjas: k = 0,45   W / m ⋅ ℃

Difusividade térmica de laranjas: α = 0,13 × 10 - 7   m 2 / s

Coeficiente médio de transferência de calor: h = 26   W / m 2 ⋅ ℃

Temperatura inicial de laranja: T i = 26 ℃

Temperatura do ar refrigerado: T ∞ = - 4 ℃

Velocidade do ar refrigerado: v = 0,3   m / s

Temperatura final no centro das laranjas: T o = 4 ℃  

Premissas:

Podemos dizer que as laranjas são de forma esférica com um raio de:

r o = D 2 = 0,06   m 2 = 0,03   m

O número de Fourier é > 0,2 , de modo que as soluções aproximadas de um termo (ou as tabelas de temperaturas transitórias) são aplicáveis ​​(essa suposição será verificada).

Passo 2

Primeiro, podemos começar calculando o número da Biot usando a seguinte relação:

B i = h r o k

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor,  r o é o comprimento característico e k  é a condutividade térmica do material. Substituindo os termos pelos dados fornecidos, temos:

B i = 26   W / m 2 ⋅ ℃ × 0,03   m 0,45   W / m ⋅ ℃

B i = 1,73

Passo 3

Precisamos obter os valores de λ 1 e A 1 para uma esfera em que o número Biot é 1,73 na tabela 4-2, “Coeficientes usados ​​na solução de aproximação de um termo da condução de calor unidimensional transitória em paredes planas, cilindros e esferas”. Assim, por meio de interpolação, temos que:

λ 1 = 1,5708 + 2,0288 - 1,5708 × 1,73 - 1 2 - 1 = 1,90514

A 1 = 1,2732 + 1,4793 - 1,2732 × 1,73 - 1 2 - 1 = 1,423653

Podemos calcular o número de Fourier usando a solução para condução transiente unidimensional em uma esfera. A equação para calcular o número de Fourier é a seguinte:

θ o , e s f e r a = T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo os termos pelos dados conhecidos, temos:

4 ℃ - - 4 ℃ 26 ℃ - - 4 ℃ = 1,423653 × e - 1,90514 2 τ

0,267 = 1,423653 × e - 3,629 τ

τ = ln ⁡ 0,1873 - 3,629

τ = 0,4615

Passo 4

O número de Fourier é maior que 0,2 e, portanto, a solução de um termo é aplicável. Então o tempo necessário para que a temperatura no centro das laranjas caia para 4 ℃ , pode ser calculado da seguinte forma:

τ = α t r o 2

Reescrevendo ela isolando o tempo, temos:

t = τ r o 2 α

Aqui  α é a difusividade térmica e r o é o raio. Substituindo os termos da equação pelos dados conhecido, temos:

t = 0,4615 × 0,03   m 2 1,3 × 10 - 7   m 2 / s

t = 3194,887   s

t = 53,25   m i n u t o s

O tempo necessário para baixar a temperatura é  53,25   m i n u t o s

Passo 5

A temperatura mais baixa durante o resfriamento ocorrerá na superfície r   r o = 1 e é determinada como sendo:

T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r   r o   λ 1 r   r o

Como estamos interessados na superfície:

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1   λ 1

Substituindo os termos da equação pelos dados conhecidos, temos:

T s - - 4 ℃ 26 ℃ - - 4 ℃ = 1,423653 × e - 1,90514 2 × 0,4615 × sen ⁡ 1,90514   1,90514

T s = - 4 ℃ + 30 ℃ × 0,1322

T s = - 0,03 ℃

Se a laranja congelar na mesma temperatura de congelamento da água, pode ser que a superfície da laranja comece a congelar.

Resposta

t = 53,25   m i n u t o s

T s = - 0,03 ℃

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