Enunciado

Um longo bastão de plástico com 30 mm de diâmetro (k = 0,3 W/(m · K) e ρcp = 1040 kJ/(m3 · K) é aquecido uniformemente em uma estufa como preparação para uma operação de prensagem. Para obtenção de melhores resultados, a temperatura no bastão não deve ser inferior a 200°C. Até qual temperatura uniforme o bastão deve ser aquecido na estufa se, para o pior dos casos, o bastão repousa sobre uma esteira transportadora por 3 min antes da prensagem, permanecendo exposto a um resfriamento por convecção ao ar ambiente a 25°C, com um coeficiente convectivo de 8 W/(m2 · K)? Uma outra condição para a obtenção de bons resultados é a diferença entre as temperaturas máxima e mínima no bastão, que não deve exceder 10°C. Essa condição é satisfeita e, se não, o que você poderia fazer para satisfazê-la?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Temos um bastão que foi previamente aquecido numa estufa que agora será resfriado por ar durante 3 min.

Em primeiro lugar, queremos calcular a temperatura inicial do bastão para que, ao ser resfriado por ar a 25 ° C por 3 min, a temperatura final em sua superfície seja de 200 ° C .

Se a gente supor tempos muito longos ( F o > 0,2 ) podemos calcular a temperatura adimensional na superfície do cilindro (r = R,   r * = r R = 1 ) a partir da equação:

ϴ S * = T S - T ∞ T i - T ∞ =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o ) J 0 ( ζ 1 r * )

Sendo   C 1 e ζ 1 coeficientes que podem ser calculados a partir da Tabela 5.1, F o o adimensional Número de Fourier, T S a temperatura na superfície do bastão, T i a temperatura inicial e T ∞ a temperatura do ar.

Depois, iremos calcular a diferença de temperatura entre as temperaturas máxima e mínima no bastão, que são, respectivamente, a temperatura no centro do bastão e em sua superfície. A temperatura no centro de um cilindro pode ser expressa pela equação:

ϴ 0 * = T 0 - T ∞ T i - T ∞ =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o )

Antes que a gente vá pro passo 2, tem algumas propriedades que eu quero que você guarde:

T S   =   200 ° C   , T ∞ = 25   ° C   R = 30   m m 2 = 15 m m = 0,015   m   k   =   0,3   W m . K ,   ρ c p = 1040 x 10 3 k J m ³   ·   K   α   = k ρ c p =   2,88 x 10 - 7 m 2 s h   =   8 W m ²   ·   K t = 3   m i n = 180   s

Passo 2

Primeiro, devemos calcular o número de Biot:

B i =   h R k =   8 W m ²   ·   K 0,015   m     0,3     W m . K = 0,4  

Vamos agora na Tabela 5.1 para calcular os valores dos coeficientes de   C 1 e ζ 1 para o cilindro com B i = 0,4 :

B i   = 0,4 →   ζ 1 = 0,8516     C 1 =   1,0932

Vamos calcular o número de Fourier:

F o = α t L ² =     2,88 x 10 - 7 m 2 s ( 180   s ) ( 0,015   m ) ² = 0,2304

E agora podemos finalmente calcular a temperatura adimensional na superfície do cilindro:

ϴ S * = 1,0932 exp ⁡ - 0,8516 2 0,2304 J 0 ( ( 0,8516 ) 1 ) = 0,9250 J 0 ( 0,8516 )

A função J 0   é a Função de Bessel de Ordem Zero, e seu valor pode ser encontrado na Tabela B.4 (página 654).

Como não temos um valor de J 0 0,8516 devemos interpolar J 0 0,8 e J 0 0,9 :

J 0 0,8 = 0,8463     J 0 0,9 = 0,8075 → J 0 0,8516 = 0 , 8263

Então:

ϴ S * = 0,9250 0,8263 = 0,7643

Agora podemos calcular a temperatura inicial:

200   ° C - 25   ° C T i - 2 5   ° C =   0,7643 → T 0 = 254   ° C

Passo 3

Pra finalizar, vamos encontrar a diferença de temperatura entre as temperaturas mínima e máxima após 3 min de resfriamento:

T 0 - 25   ° C 254   ° C - 25   ° C = 1,0932 exp ⁡ - 0,8516 2 0,2304 ) = 0,9250

→ T 0 = 236,83   ° C

A diferença de temperaturas é, então:

∆ T =   T 0 - T S =   236,83   ° C - 200   ° C = 36,83 ° C

Com isso, a gente vê que a que condição de não exceder 10   ° C não foi satisfeita. Para diminuir a taxa de transferência de temperatura e diminuir essa diferença, a atitude mais prática a ser tomada é diminuir esse tempo de residência na esteira que atualmente é de 10 minutos.

Fechou? ;)

Resposta

(a) A temperatura no eixo central da viga após um tempo de exposição de 6 h é T 0 = 158,77   ° C .

(b) A temperatura no eixo central da viga após um tempo de exposição de 6 h é T 0 = 152,38   ° C .

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