Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - Capítulo 4.Problemas - Ex. 56

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Materiais funcionalmente graduados são intencionalmente fabricados para estabelecerem uma distribuição espacial de propriedades no produto final. Seja um objeto L × L bidimensional, com L = 20 mm. A distribuição de condutividades térmicas no material funcionalmente graduado é k x =   20   W m K   +   7070 W m 5 2 K   x 3 2 . Dois conjuntos de condições de contorno, identificados por casos 1 e 2, são aplicados.

  1. Determine o valor médio espacial da condutividade térmica . Use este valor para estimar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento nos casos 1 e 2.
  2. Usando um espaçamento na grade de 2 mm, determine a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento no caso 1. Compare o seu resultado com o valor estimado calculado na parte (a).
  3. Usando um espaçamento na grade de 2 mm, determine a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento no caso 2. Compare o seu resultado com o valor estimado calculado na parte (a).

Passo 1

Boom galerinha, na letra (a) nós queremos achar o valor médio espacial da condutividade térmica e, com ela, estimar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento nos casos 1 e 2.

Bora começar?

A condutividade térmica média é dada por:

k - = 1 L ∫ 0 L k x . d x

Se:

k x =   20   W m K   +   7070 W m 5 2 K   x 3 2

Então:

k - = 1 L ∫ 0 L 20   W m K   +   7070 W m 5 2 K   x 3 2 . d x

k - = 1 L 20   W m K x   + 2 5   7070 W m 5 2 K   x 5 2 | L 0

Aplicando o intervalo:

k - = 1 L 20   W m K L   + 2 5   7070 W m 5 2 K   L 5 2

k - = 20   W m K   + 2 5   7070 W m 5 2 K   L 3 2

Substituindo o L:

k - = 20   W m K   + 2 5   7070 W m 5 2 K   0,02   m 3 2

k - = 28 W m K

E a transferência de calor trocado entre as superfícies 1 e 2 ou 3 e 4:

q = k - L . ∆ T

Como queremos por unidade de comprimento:

q ' = k - L . ∆ T L = k - ∆ T

Substituindo:

q ' = 28 W m K 100 ° C - 50 ° C

q ' = 1400 W m

Ou melhor:

q ' = 1,4 k W m

Passo 2

Na letra (b) nós vamos desenhar o espaçamento na grade de 2 mm, deem uma olhadinha:

Como a transferência de calor é unidimensional e vai da superfície 1 para a 2 (caso 1) ou da superfície 4 para a 3 (caso 2) nós podemos começar calculando o k para divisão entre as superfícies:

Se assumimos que o estado é estacionário, a transferência de calor por unidade de comprimento é constante!!

Se é assim, cada linhazinha terá a mesma transferência por condução e se chamarmos t 2 , t 4 , t 6 ,   … ,   t 16 , t 18 .

Para o primeiro intervalo:

q ˙ x = k 1 A T 1 - t 2 ∆ x = k 1 1 m × ∆ x T 1 - t 2 ∆ x

q ˙ x k 1 = T 1 - t 2

Fazendo isso para todas as linhas e somando todos os intervalos para alcançar T 1 - T 2 :

q ˙ x 1 k 1 + 1 k 3 + 1 k 5 + … + 1 k 17 + 1 k 19 = T 1 - T 2

Substituindo os valores da Tabela acima:

q ˙ x = 133,83   W

Para os dez espaçamentos:

Q ˙ x = 10 × 133,83   W

Q ˙ x = 1338 , 3   W

Passo 3

No caso 2 nós teremos o fluxo de calor na direção vertical nós teremos:

q ˙ y = k 1 A T 4 - T 3 L = k 1 1 m × ∆ x T 4 - T 3 10 ∆ x = k 1 T 4 - T 3 10

Para as 10 linhas que nós temos:

q ˙ y = k 1 + k 3 + k 5 + … + k 17 + k 19   T 4 - T 3 10

Multiplicando pelo valor total:

Q ˙ y = 10 × k 1 + k 3 + k 5 + … + k 17 + k 19   T 4 - T 3 10

Q ˙ y = k 1 + k 3 + k 5 + … + k 17 + k 19   T 4 - T 3

Substituindo:

Q ˙ y = 1399,37   W

O que vocês acharam desta, ein ?!

Resposta

  1. k - = 28 W m K   |   q ' = 1,4 k W m ;
  2. Q ˙ x = 1338,3   W ;
  3. Q ˙ y = 1399,37   W .

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