Enunciado

Mercúrio líquido está escoando a 0,6   k g / s através de um tubo de 5   c m de diâmetro, com temperatura média de entrada e saída de 100 ℃ e 20 0 ℃ , respectivamente. A temperatura da superfície do tubo é mantida constante em 250 ℃ . Determine o comprimento do tubo usando a a relação apropriada do número de Nusselt para metais líquidos e b a equação de Dittus Boelter. c Compare os resultados de a e b .

Passo 1

Dados fornecidos:

Vazão mássica de mercúrio: m ˙ = 0,6   k g / s  

Diâmetro do tubo: D = 0,05   m  

Temperatura média de entrada: T i = 100 ℃  

Temperatura média de saída: T e = 200 ℃  

Temperatura da superfície do tubo: T s = 250 ℃  

Passo 2

Vamos calcular a temperatura média do mercúrio para obter as suas propriedades. Assim temos:

T m é d i a = T e + T i 2

Aqui,  T i é a temperatura média de entrada e  T e é a temperatura média de saída da água. Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

T m é d i a = 200 ℃ + 100 ℃ 2

T m é d i a = 150 ℃

Com o valor da temperatura média, podemos obter as seguintes propriedades do mercúrio em  15 0 ℃ na Tab. A-14.

Condutividade térmica: k = 10,07780   W / m ⋅ K  

Viscosidade dinâmica: μ = 1,126 × 10 - 3   k g / m ⋅ s

Viscosidade cinemática: ν = 8,514 × 10 - 8   m 2 / s  

Calor específico: c p = 136,1   J / k g ⋅ K  

Densidade: ρ = 13,231   k g / m 3  

Número de Prandtl: P r = 0,0152

Passo 3

a) Podemos calcular a velocidade média do fluxo com a seguinte expressão:

V m é d i a = m ˙ ρ A c

V m é d i a = 4 m ˙ ρ π D 2

Aqui, m ˙ é o fluxo mássico, A c é a área da seção transversal, ρ é a densidade e V m é d i a é a velocidade média.

Com a velocidade média podemos calcular o número de Reynolds. Assim temos:

R e = ρ V m é d i a D μ

Substituindo a velocidade média, temos:

R e = 4 m ˙ ρ D h μ ρ π D 2

R e = 4 m ˙ μ π D

Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

R e = 4 × 0,6   k g / s π × 1,126 × 10 - 3   k g / m ⋅ s × 0,05   m

R e = 13569,16

Como o número de Reynolds obtido é superior a 10.000 , o fluxo é turbulento.

Passo 4

De acordo com a relação recomendada por Sleicher e Rouse para metais líquidos, o número de Nusselt é:

N u = 4 , 8 + 0,0156 R e 0,85 P r s 0,93

O número Prandtl em T s 250 ℃ é P r s = 0,0119 . Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

N u = 4 , 8 + 0,0156 13569,16 0,85 0,0119 0,93

N u = 5,624

Com o número de Nusselt, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

N u = h D k

h = N u k D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

h = 5,624 × 10,07780   W / m ⋅ K     0,05   m  

h = 1133,6   W / m 2 ⋅ K    

Passo 5

Podemos calcular o comprimento usando a relação do balanço de energia em um volume de controle. Assim temos:

ln ⁡ T s - T e T s - T i = - h A s m ˙ c p

ln ⁡ T s - T e T s - T i = - h π D L m ˙ c p

L = - m ˙ c p π D h ln ⁡ T s - T e T s - T i

Aqui,  T s é a temperatura da superfície do tubo interno,  c p é o calor específico, T i é a temperatura média na entrada, T e é a temperatura média na saída. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

L = - 0,6   k g / s × 136,1   J / k g ⋅ K   π × 0,05   m × 1133,6   W / m 2 ⋅ K ln ⁡ 250 ℃ - 200 ℃ 250 ℃ - 100 ℃

L = - 0,4586   m × ln ⁡ 0,333

L = 0,5038   m

Portanto, o comprimento do tubo é  0,5038   m .

Passo 6

b) De acordo com a relação de Dittus-Boelter, o número de Nusselt é:

N u = 0,0 23 R e 0,8 P r 0,4

Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

N u = 0,023 13569,16 0,8 0,0152 0,4

N u = 8,7198

Com o número de Nusselt, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

N u = h D k

h = N u k D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

h = 8,7198 × 10,07780   W / m ⋅ K     0,05   m  

h = 1757,53   W / m 2 ⋅ K    

Passo 7

Podemos calcular o comprimento usando a relação do balanço de energia em um volume de controle. Assim temos:

ln ⁡ T s - T e T s - T i = - h A s m ˙ c p

ln ⁡ T s - T e T s - T i = - h π D L m ˙ c p

L = - m ˙ c p π D h ln ⁡ T s - T e T s - T i

Aqui,  T s é a temperatura da superfície do tubo interno,  c p é o calor específico, T i é a temperatura média na entrada, T e é a temperatura média na saída. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

L = - 0,6   k g / s × 136,1   J / k g ⋅ K   π × 0,05   m × 1757,53   W / m 2 ⋅ K ln ⁡ 250 ℃ - 200 ℃ 250 ℃ - 100 ℃

L = - 0,2958   m × ln ⁡ 0,333

L = 0 , 325   m

Portanto, o comprimento do tubo é  0,325   m .

Passo 8

c) Como podemos ver pelos valores calculados, o comprimento do tubo necessário para satisfazer a relação Sleicher e Rouse deve ser maior que o comprimento do tubo necessário para atender aos critérios de Dittus-Boelter.

Resposta

L = 0,5038   m

L = 0,325   m

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