Enunciado

Uma operação de colagem utiliza um laser para fornecer um fluxo de calor constante, q ' ' e , através da superfície superior de uma fina película de plástico cuja superfície inferior é adesiva e deve ser fixada a uma fita de metal, conforme mostrado na figura. A fita de metal possui uma espessura d = 1,25 mm e sua largura é grande em relação à da película de plástico. As

propriedades termofísicas da fita são ρ = 7850 k g m 3 ,     c p = 435 J k g K   e   k = 60 W m K . A resistência térmica da película de plástico, com largura w 1 = 40   m m , é desprezível. Nas superfícies superior e inferior da fita (incluindo a película de plástico) há convecção com ar a 25°C e um coeficiente convectivo de 10 W m 2 K . A fita e a película são muito grandes na direção normal à página. Admita que as laterais da fita de metal se encontram à temperatura do ar ( T ∞ ).

  1. Deduza uma expressão para a distribuição de temperaturas na porção da fita de aço com a película de plástico – w 1 2   ≤   x   ≤   w 1 2 .
  2. Se o fluxo de calor fornecido pelo laser for de 10.000 W m 2 , determine a temperatura no centro (x = 0) e nas laterais x   =   ± w 1 2 da película de plástico.
  3. Represente graficamente a distribuição de temperaturas para toda a fita e aponte as suas principais características.

Passo 1

Vamos que vamos galerinhaa??

Antes de qualquer coisa nós precisamos dar uma olhadinha mais de perto para o balanço de energia em um volume de controle diferencial, ok?

Então, se pegarmos um pedacinho da placa de comprimento d x :

Quando nós fazemos o balanço de energia teremos que o calor sendo adicionado ao volume, q ' x e q ' e , e saindo do volume de controle, q ' x + d x e q ' c o n v , Então:

q ' x + q ' e = q ' x + d x + q ' c o n v

Já vimos das questões anteriores que quando nós temos este balanço a equação diferencial que governa a distribuição de temperatura será dada por:

d 2 T d x 2 - h k t T - T ∞ + q ' ' e k t = 0

Se nós assumirmos que:

θ = T - T ∞

Então:

d 2 T d x 2 = d 2 θ d x 2

A fórmula fica:

d 2 θ d x 2 - h k t θ + q ' ' r a d k t = 0

Quando nós temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes a solução é dada pela forma:

θ = C 1 e m x + C 2 e - m x + M m 2

O arranjo de filme plástico-tira pode ser modelado como uma aleta infinita de seção transversal uniforme, uma parte da qual é exposta ao fluxo de calor do laser na superfície superior, então:

m = 2 h k d

M = q ' ' e k d

Beleza, na letra (a) nós queremos deduzir uma expressão para a distribuição de temperaturas na porção da fita de aço com a película de plástico – w 1 2   ≤   x   ≤   w 1 2 , certo?

Olhando a figura do nosso problema na porção de interesse:

Na primeira parte da fita de metal, onde ela está recebendo calor nós teremos que:

θ 1 x = C 1 e m x + C 2 e - m x + M m 2 ,                       c o m   0 ≤ x ≤ w 1 2

Na outra parte a fita não está recebendo calor, então:

θ 2 x = C 3 e m x + C 4 e - m x ,                       c o m   w 1 2 ≤ x ≤ ∞

Agora nós precisamos aplicar as condições de contorno certo?

No primeiro intervalo analisado não há variação da temperatura com relação à distância, já que estão sob as mesmas condições. Então, quando x = 0 teremos d θ 1 d x 0 = 0 .

Derivando:

d θ 1 d x ( x ) = C 1 m e m x - C 2 m e - m x

Substituindo a condição:

d θ 1 d x 0 = C 1 m e 0 - C 2 m e 0 = 0

C 1 = C 2

Já achamos uma informação importante, ok?

Vamos ir lá pra frente e aplicar a última condição de contorno !! Quando x = ∞ ,   a temperatura deverá ser igual à temperatura ambiente, portanto θ 2 ∞ = 0 :

θ 2 ∞ = C 3 e ∞ + C 4 e - ∞ = 0

C 3 e ∞ = 0

C 3 = 0

No ponto w 1 2 a temperatura deve ser igual usando tanto a primeira relação, para θ 1 , quanto para a segunda, θ 2 :

θ 1 w 1 2 = θ 2 w 1 2

C 1 e m w 1 2 + C 1 e - m w 1 2 + M m 2 = C 3 e m w 1 2 + C 4 e - m w 1 2

C 1 e m w 1 2 + C 1 e - m w 1 2 + M m 2 = C 4 e - m w 1 2

Consequentemente:

d θ 1 d x w 1 2 = d θ 2 d x w 1 2

C 1 m e m w 1 2 - C 1 m e - m w 1 2 = C 3 m e m w 1 2 - C 4 m e - m w 1 2

C 1 m e m w 1 2 - C 1 m e - m w 1 2 = - C 4 m e - m w 1 2

Substituindo C 4 e - m w 1 2 :

C 1 m e m w 1 2 - C 1 m e - m w 1 2 = - C 1 m e m w 1 2 - C 1 m e - m w 1 2 - M m

2 C 1 m e m w 1 2 = - M m

Achando C 1 e, consequentemente, C 2 :

C 1 = C 2 = - M 2 m 2 e m w 1 2

Agora é só achar o C 4 :

- M 2 m 2 e m w 1 2 m e m w 1 2 - - M 2 m 2 e m w 1 2 m e - m w 1 2 = - C 4 m e - m w 1 2

Reorganizando:

C 4 = M m 2 sinh ⁡ m w 1 2 e - m w 1 2

E depois de tanta luta nós vamos substituir nossas constantes na solução:

θ 1 x = - M 2 m 2 e m w 1 2 e m x + e - m x + M m 2 ,                       c o m   0 ≤ x ≤ w 1 2

θ 2 x = M e - m x m 2 sinh ⁡ m w 1 2 e - m w 1 2 ,                       c o m   w 1 2 ≤ x ≤ ∞

Mas ainda precisamos da letra (b), certo?

Passo 2

Na letra (b) nós vamos usar a equação que acabamos de achar:

θ 1 x = - M 2 m 2 e m w 1 2 e m x + e - m x + M m 2 ,                       c o m   0 ≤ x ≤ w 1 2

Antes de calcular qualquer coisa nós precisamos de achar M e m, ok?

Se:

m = 2 h k d

M = q ' ' e k d

Sabemos que:

h = 1 0 W m 2 K

k = 60 W m K

d = 1,25   m m = 1,25 × 10 - 3 m

q ' ' e = 10.000 W m 2

w 1 = 40   m m = 0,04   m

T ∞ = 25 ° C + 273 = 298   K

Então:

m = 2 1 0 W m 2 K 60 W m K 1,25 × 10 - 3 m = 16,33   m - 1

M = 10.000 W m 2 60 W m K 1,25 × 10 - 3 m = 133333 K m 2

Quando x = 0 :

θ 1 0 = - 133333 K m 2 2 16,33   m - 1 2 e 16,33   m - 1 0,04   m 2 e 0 + e 0 + 133333 K m 2 16,33   m - 1 2

θ 1 0 = 139,3   K

Sabendo que:

θ 1 0 = T ( 0 ) - T ∞

139,3   K = T 0 - 298 K

T 0 = 437,3   K

Em Celsius:

T 0 = 164,3   ° C

Quando x = w 1 2 = 0,02   m :

θ 1 0,02   m = - 133333 K m 2 2 16,33   m - 1 2 e 16,33   m - 1 0,04   m 2 e 16,33   m - 1 0,02   m + e - 16,33   m - 1 0,02   m + 133333 K m 2 16,33   m - 1 2

θ 1 0,02   m = 119,8   K

Sabendo que:

θ 1 0,02 = T ( 0,02 ) - T ∞

119,8   K = T 0,02 - 298 K

T 0,02 = 417,8   K

Em Celsius:

T 0,02 = 144,8 ° C

Passo 3

Bom galerinha, para plotar a temperatura versus a distância nós vamos ter que nos atentar que até a distância w 1 2 , 0,02 m, nós usamos θ 1 , certo?

E a partir daí nós usaremos a θ 2 , não é?

E com isso é só nos lançarmos os dados no gráfico e terminar nossa questão gigantona:

Bem cabulosa, mas de um jeito legal !! Eu sei que vocês também gostaram !!

Resposta

  1. θ 1 x = - M 2 m 2 e m w 1 2 e m x + e - m x + M m 2 ,                       c o m   0 ≤ x ≤ w 1 2  
  2. θ 2 x = M e - m x m 2 sinh ⁡ m w 1 2 e - m w 1 2 ,                       c o m   w 1 2 ≤ x ≤ ∞ ;

  3. T 0 = 164,3   ° C     |     T 0,02 = 144,8 ° C ;
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