Enunciado

Seja a placa plana do Problema 3.112, porém com os sumidouros de calor a temperaturas diferentes, T ( 0 )   =   T e e T ( L )   =   T L , e com a superfície inferior não mais isolada termicamente. Agora pode ocorrer transferência de calor por convecção entre a superfície inferior da placa e um fluido a T ∞ , com um coeficiente convectivo h.

  1. Deduza a equação diferencial que determina a distribuição de temperaturas no regime estacionário T(x) na placa.
  2. Resolva a equação anterior para a distribuição de temperaturas e obtenha uma expressão para a taxa de transferência de calor da placa para os sumidouros de calor.
  3. Para q ' ' e =   20.000 W m 2 , T e =   100 ° C , T L =   35 ° C , T ∞ =   25 ° C ,   k   =   25 W m K , h   =   50 W m 2 K ,   L   =   100   m m ,   t   =   5   m m e uma largura da placa de W   =   30   m m , represente a distribuição de temperaturas e determine as taxas de transferência de calor para os sumidouros,   q x ( 0 ) e q x ( L ) . No mesmo gráfico, represente três distribuições de temperaturas adicionais correspondentes a variações nos seguintes parâmetros, com os demais parâmetros permanecendo inalterados: i q ' ' e =   30.000 W m 2 ,   i i h = 200 W m 2 K e ( i i i ) o valor de para o qual q x ( 0 )   =   0 quando h   =   200 W m 2 K .

Passo 1

Vamos que vamos galerinhaa??

Respirem fundo porque essa aqui é daquelas ...

Antes de qualquer coisa nós precisamos dar uma olhadinha mais de perto para o balanço de energia em um volume de controle diferencial, ok?

Então, se pegarmos um pedacinho da placa de comprimento d x :

Quando nós fazemos o balanço de energia teremos que o calor sendo adicionado ao volume, q ' x e q ' e , e saindo do volume de controle, q ' x + d x e q ' c o n v , Então:

q ' x + q ' e = q ' x + d x + q ' c o n v

Agora nós precisamos achar cada um dos termos, ok?

A primeira coisa que devemos fazer aqui é escrever a equação de Fourier para a condução que ocorre a uma distância x:

q ' x = - k W t . d T d x

E para uma distância x + d x :

q ' x = q ' x + d q ' x d x . d x

E a última que precisamos achar é o fluxo térmico líquido para a sua superfície superior:

q ' e = q ' ' e . ( W d x )

A transferência de calor por convecção pode ser dada como:

q ' c o n v = h T - T ∞ ( W d x )

Agora nós podemos substituir tudo que temos:

q ' x + q ' ' e . W d x = q ' x + d q ' x d x . d x + h T - T ∞ ( W d x )

q ' ' e . W d x = d q ' x d x . d x + h T - T ∞ ( W d x )

Como o dx está presente em todos os termos:

q ' ' e . W = d q ' x d x + h W T - T ∞

E substituindo q ' x :

q ' ' e . W = d d x - k W t . d T d x + h W T - T ∞

q ' ' e . W = - k W t . d 2 T d x 2 + h W T - T ∞

q ' ' e = - k t . d 2 T d x 2 + + h T - T ∞

Reescrevendo:

k t . d 2 T d x 2 - h T - T ∞ + q ' ' e = 0

d 2 T d x 2 - h k t T - T ∞ + q ' ' e k t = 0

Então a equação diferencial que governa a distribuição de temperatura será dada por d 2 T d x 2 - h k t T - T ∞ + q ' ' e k t = 0 .

Bora seguir pra letra (b)??

Passo 2

Na letra (b) nós queremos resolver equação anterior para a distribuição de temperaturas e obter uma expressão para a taxa de transferência de calor da placa, ok?

Se nós assumirmos que:

θ = T - T ∞

Então:

d 2 T d x 2 = d 2 θ d x 2

Na fórmula da letra (a):

d 2 θ d x 2 - h k t θ + q ' ' r a d k t = 0

Quando nós temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes a solução é dada pela forma:

θ = C 1 e λ x + C 2 e - λ x + S λ 2

Onde:

λ = h k t

S = q ' ' e k t

Aplicando a primeira condição de contorno, quando x = 0 e θ 0 = θ 0 , então:

θ 0 = C 1 + C 2 + S λ 2

Isolando C 1 :

C 1 = θ 0 - C 2 - S λ 2

Se nós aplicarmos a segunda condição de contorno, quando x = L e θ L = θ L :

θ L = C 1 e λ L + C 2 e - λ L + S λ 2

Substituindo C 1 :

θ L = θ 0 - C 2 - S λ 2 e λ L + C 2 e - λ L + S λ 2

θ L = θ 0 e λ L - C 2 e λ L - S λ 2 e λ L + C 2 e - λ L + S λ 2

θ L - θ 0 e λ L = C 2 e - λ L - e λ L + S λ 2 1 - e λ L

Isolando C 2 :

C 2 = θ L - θ 0 e λ L - S λ 2 1 - e λ L e - λ L - e λ L

E agora achando C 1 :

C 1 = θ 0 - θ L - θ 0 e λ L - S λ 2 1 - e λ L e - λ L - e λ L - S λ 2

Substituindo na solução nossas constantes:

θ = θ 0 - θ L - θ 0 e λ L - S λ 2 1 - e λ L e - λ L - e λ L - S λ 2 e λ x + θ L - θ 0 e λ L - S λ 2 1 - e λ L e - λ L - e λ L e - λ x + S λ 2

θ = θ 0 e λ x - θ L e λ x - θ 0 e λ L e λ x - S λ 2 e λ x - e λ L e λ x e - λ L - e λ L - S λ 2 e λ x + θ L e - λ x - θ 0 e λ L e - λ x - S λ 2 e - λ x - e λ L e - λ x e - λ L - e λ L + S λ 2

Se nós reorganizarmos um pouquinho isso aqui:

θ = θ 0 e λ x - sinh ⁡ ( λ x ) sinh ⁡ ( λ L ) e λ L + sinh ⁡ ( λ x ) sinh ⁡ ( λ L ) θ L + 1 - e λ x - 1 - e λ L sinh ⁡ ( λ x ) sinh ⁡ ( λ L ) S λ 2

Eu sei que vocês já estão cansados, mas calmem aee!!

Precisamos agora de calcular a taxa de calor da placa, que nos é dado por:

q p = q x L - q x 0

Pelo Passo 1 nós sabemos que:

q ' x = - k W t . d T d x = - k W t . d θ d x

Derivando θ :

d θ d x = θ 0 λ e λ x - cosh ⁡ ( λ x ) sinh ⁡ ( λ L ) λ e λ L + cosh ⁡ ( λ x ) sinh ⁡ ( λ L ) λ θ L + - λ e λ x - λ 1 - e λ L cosh ⁡ ( λ x ) sinh ⁡ ( λ L ) S λ 2

Se x = 0 :

q ' x 0 = - k W t . θ 0 λ e 0 - cosh ⁡ ( 0 ) sinh ⁡ ( λ L ) λ e λ L + cosh ⁡ ( 0 ) sinh ⁡ ( λ L ) λ θ L + - λ e 0 - λ 1 - e λ L cosh ⁡ ( 0 ) sinh ⁡ ( λ L ) S λ 2

q ' x 0 = - k W t . θ 0 λ - λ e λ L sinh ⁡ ( λ L ) + λ θ L sinh ⁡ ( λ L ) + - λ - λ 1 - e λ L sinh ⁡ ( λ L ) S λ 2

Se x = L :

q ' x L = - k W t . θ 0 λ e λ L - cosh ⁡ ( λ L ) sinh ⁡ ( λ L ) λ e λ L + cosh ⁡ ( λ L ) sinh ⁡ ( λ L ) λ θ L + - λ e λ L - λ 1 - e λ L cosh ⁡ ( λ L ) sinh ⁡ ( λ L ) S λ 2

Mas queremos a transferência para a placa, certo? Então:

q p = - k W t . θ 0 λ e λ L - cosh ⁡ λ L sinh ⁡ λ L λ e λ L + cosh ⁡ λ L sinh ⁡ λ L λ θ L + λ e λ L - λ 1 - e λ L cosh ⁡ λ L sinh ⁡ λ L S λ 2 + k W t . θ 0 λ - λ e λ L sinh ⁡ ( λ L ) + λ θ L sinh ⁡ ( λ L ) + - λ - λ 1 - e λ L sinh ⁡ ( λ L ) S λ 2

Finalizamos a (b), mas ainda temos a (c) !

Passo 3

Sabemos que:

q ' ' e =   20.000 W m 2

T 0 =   100 ° C + 273 = 373   K

T L =   35 ° C + 273 = 308   K

T ∞ =   25 ° C + 273 = 298   K

k   =   25 W m K

h   =   50 W m 2 K

L   =   100   m m = 0,1   m

t   =   5   m m = 0,005   m

W   =   30   m m = 0,03   m

Se:

λ = h k t

S = q ' ' e k t

θ 0 = T 0 - T ∞

θ L = T L - T ∞

Então:

λ = 50 W m 2 K 25 W m K 0,005   m = 20   m - 1

S = 20.000 W m 2 25 W m K 0,005   m = 160000   K / m 2

θ 0 = 373   K - 298   K = 75   K

θ L = 308   K - 298   K = 10 K

Lançando nas fórmulas do Passo 2:

q ' x 0 = - 25 W m K 0,03   m 0,005   m . 75   K 20   m - 1 - 20   m - 1 e 20   m - 1 0,1   m sinh ⁡ ( 20   m - 1 0,1   m ) + 20   m - 1 10 K sinh ⁡ ( 20   m - 1 0,1   m ) + - 20   m - 1 - 20   m - 1 1 - e 20   m - 1 0,1   m sinh ⁡ ( 20   m - 1 0,1   m ) 160000   K / m 2 20   m - 1 2

q ' x 0 = - 17,22   W

Para o próximo:

q ' x L = - 25 W m K 0,03   m 0,005   m . 75   K 20   m - 1 e 20   m - 1 0,1   m - cosh ⁡ ( 20   m - 1 0,1   m ) sinh ⁡ ( 20   m - 1 0,1   m ) 20   m - 1 e 20   m - 1 0,1   m + cosh ⁡ 20   m - 1 0,1   m sinh ⁡ 20   m - 1 0,1   m 20   m - 1 ( 10 K ) + 20   m - 1 e 20   m - 1 L - 20   m - 1 1 - e 20   m - 1 0,1   m cosh ⁡ ( 20   m - 1 0,1   m ) sinh ⁡ ( 20   m - 1 0,1   m ) 160000   K / m 2 20   m - 1 2

q ' x L = 23,62   W

Bom galerinha, ainda não acabamos né?

Só precisamos lançar estes dados em um gráfico, montaremos quatro casos:

i   q ' ' e =   30.000 W m ²   e   h = 50 W m 2 K         ( v e r m e l h o )

i i   q ' ' e =   20.000 W m ²   e   h = 200 W m 2 K       ( v e r d e )

i i i   q x 0 =   0   e   h   =   200 W m 2 K → q ' ' e =   4927 W m ²       ( r o x o )

i v   q ' ' e =   20.000 W m ²   e   h = 50 W m 2 K       ( a z u l )

Quando variamos a nossa distância x de 0   m m até o comprimento total da placa de 100   m m nós teremos a temperatura da placa T ( x ) mudando, certo?

Vimos sua equação no Passo 2 então é só substituir, ok?

θ = θ 0 e λ x - sinh ⁡ ( λ x ) sinh ⁡ ( λ L ) e λ L + sinh ⁡ ( λ x ) sinh ⁡ ( λ L ) θ L + 1 - e λ x - 1 - e λ L sinh ⁡ ( λ x ) sinh ⁡ ( λ L ) S λ 2

Ou melhor:

T ( x ) = T ∞ + θ 0 e λ x - sinh ⁡ ( λ x ) sinh ⁡ ( λ L ) e λ L + sinh ⁡ ( λ x ) sinh ⁡ ( λ L ) θ L + 1 - e λ x - 1 - e λ L sinh ⁡ ( λ x ) sinh ⁡ ( λ L ) S λ 2

O gráfico gerado será:

Bem puxada não foi ?!

Resposta

  1. d 2 T d x 2 - h k t T - T ∞ + q ' ' e k t = 0 ;
  2. q p = - k W t . θ 0 λ e λ L - cosh ⁡ λ L sinh ⁡ λ L λ e λ L + cosh ⁡ λ L sinh ⁡ λ L λ θ L + λ e λ L - λ 1 - e λ L cosh ⁡ λ L sinh ⁡ λ L S λ 2 + k W t . θ 0 λ - λ e λ L sinh ⁡ λ L + λ θ L sinh ⁡ λ L + - λ - λ 1 - e λ L sinh ⁡ λ L S λ 2 ;
  3. q ' x 0 = - 17,22   W     |     q ' x L = 23,62   W .
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