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Uma placa unidimensional com espessura 2 L está inicialmente a uma temperatura uniforme T i . Subitamente, uma corrente elétrica é passada através da placa, causando um aquecimento volumétrico uniforme q ˙ ( W / m 3 ) . No mesmo instante, as duas superfícies externas ( x   =   ± L ) são submetidas a um processo de convecção a T ∞ com um coeficiente de transferência de calor h .

Escreva a equação de diferenças finitas que representa a conservação de energia no nó 0 , localizado na superfície externa em x   =   – L . Reordene a sua equação e identifique alguns coeficientes adimensionais importantes.

Passo 1

Aqui nós temos uma parede unidimensional subitamente sujeita a aquecimento volumétrico uniforme e condições de superfície convencionais. Com isso, precisamos encontrar a equação de diferença finita para o nó na superfície, x   =   - L .

Passo 2

Para resolver essa questão nós vamos assumir que a condução é transitória e unidimensional, as propriedades são constantes e q ˙ é uniforme.Existem dois tipos de equações de diferenças finitas para os métodos explícitos e implícitos de solução. Usando a abordagem do balanço energético, os dois tipos serão derivados.

Primeiro faremos para o método explícito, fazendo um balanço de energia no nó da superfície:

E ˙ e n t - E ˙ s a i + E ˙ g = E ˙ s t

q c o n v + q c o n d + q ˙ V = c V T 0 p + 1 - T 0 p t

h 1.1 T ∞ - T 0 p + k 1.1 T 1 p - T 0 p x + q ˙ 1.1 . x 2 = c 1.1 . x 2 T 0 p + 1 - T 0 p t

Passo 3

Para o método explícito, as temperaturas no LHS são avaliadas no tempo anterior ( p ) . O RHS fornece uma aproximação de diferença para frente à derivada do tempo. Dividindo a equação anterior por c x / 2 t e resolvendo para T 0 p + 1 .

T 0 p + 1 = 2 h t c x T ∞ - T 0 p + 2 k t c x 2 T 1 p - T 0 p + q ˙ t c + T 0 p

Introduzindo os números de Fourier e Biot:

F o ≡ k ρ c t x 2 e B i ≡ h x k

T 0 p + 1 = 2 F o T 1 p + B i . T ∞ + q ˙ x 2 2 k + 1 - 2   F o - 2 F o . B i T 0 p

O critério de estabilidade exige que o coeficiente de T 0 p seja positivo. Isso é,

1 - 2   F o - 2 F o . B i ≥ 0 ou F o ≤ 1 / 2 ( 1 + B i )

Passo 4

Para o caso do método implícito também vamos começar como acima, com um balanço de energia. Na equação do Passo 2, no entanto, as temperaturas no LHS são avaliadas no novo tempo ( p   +   1 ) . O RHS fornece uma aproximação de diferença para trás com a derivada do tempo.

h T ∞ - T 0 p + 1 + k T 1 p + 1 - T 0 p + 1 x + q ˙ x 2 = c x 2 T 0 p + 1 - T 0 p t

Introduzindo os números de Fourier e Biot:

1 + 2   F o B i + 1 T 0 p + 1 - 2 F o . T 1 p + 1 = T 0 p + 2 B i . F o . T ∞ + F o q ˙ x 2 k  

Resposta

Resposta, quando o problema tiver resposta

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