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Um fino bastão com diâmetro D está inicialmente em equilíbrio com a sua vizinhança, um grande recipiente, onde há vácuo, a uma temperatura T v i z . De repente, uma corrente elétrica I ( A ) é passada através do bastão, que tem uma resistividade elétrica r e e uma emissividade ε . Outras propriedades termofísicas pertinentes estão identificadas na figura. Deduza a equação de diferenças finitas, em regime transiente, para o nó m .

Passo 1

Vamos para mais uma questão \o/. Aqui nós temos um bastão fino de diâmetro D , inicialmente em equilíbrio com seu entorno, T v i z ,que repentinamente passa por uma corrente I.

O bastão está no compartimento a vácuo e possui resistência elétrica prescrita, e outras propriedades termofísicas. E a partir disso queremos encontrar a equação transitória de diferenças finitas para o nó m .

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que:

(1) A condução transitória e unidimensional no bastão;

(2) Os arredores são muito maiores que o bastão;

(3) As propriedades são constantes e avaliadas a uma temperatura média;

(4) Não há convecção dentro do compartimento a vácuo.

A equação da diferença finita é derivada do requisito de conservação de energia no volume de controle,   A c x , onde,

A c = π D 2 4

E,

P = π D

O balanço de energia tem a forma:

E ˙ e n t - E ˙ s a i + E ˙ g = E ˙ s t

q a + q b - q r a d + I 2 R e = c V T m p + 1 - T m p t

Onde,

E ˙ g = I 2 R e e R e = e x A c

Passo 3

Usando a lei de Fourier para expressar os termos de condução, q a e q b e a Eq. 1.7 para o termo de troca de radiação, q r a d , encontramos:

k A c T m - 1 p - T m p x + k A c T m + 1 p - T m p x - P x T m 4 , p - T v i z 4 + I 2 e x A c =   c A c x T m p + 1 - T m p t

Dividindo cada termo por c A c x / t , resolvendo para T m p + 1 e rearranjando a equação, obtemos:

                                    T m p + 1 = k   c × t x 2 T m - 1 p + T m + 1 p - 2 k   c × t x 2 - 1 T m p - P A c × t   c T m 4 , p - T v i z 4 + e I 2 A c 2 × t   c

Passo 4

Sabendo que F o =   t / x 2 ,   e reagrupando nós temos:

T m p + 1 = F o T m - 1 p + T m + 1 p + ( 1 - 2 F o ) T m p - P x 2 k A c F o T m 4 , p - T v i z 4 + x 2 e I 2 k A c 2 F o

O critério de estabilidade é baseado no coeficiente T m p , termo escrito como F o ≤   ½ .

Resposta

T m p + 1 = F o T m - 1 p + T m + 1 p + ( 1 - 2 F o ) T m p - P x 2 k A c F o T m 4 , p - T v i z 4 + x 2 e I 2 k A c 2 F o

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