Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Seja o Problema 5.9, exceto pelo fato de que agora o volume combinado do banho de óleo e da esfera é igual a V   =   1   m 3 . O banho de óleo é bem misturado e isolado termicamente.

(a) Considerando que as propriedades do líquido de resfriamento são iguais às do óleo de motor a 380   K , determine a temperatura da esfera no regime estacionário.

(b) Deduza expressões em diferenças finitas explícitas para as temperaturas da esfera e do banho de óleo como funções do tempo usando um único ponto nodal tanto para a esfera quanto para o banho de óleo. Determine algum requerimento de estabilidade que possa limitar o tamanho do incremento no tempo   Δ t .

(c) Determine as temperaturas da esfera e do banho de óleo após um incremento de tempo usando as expressões explícitas da parte

(b) e incrementos de tempo de 1000 ,   10.000 e 20.000   s .

(d) Usando uma formulação implícita com Δ t   =   100   s , determine o tempo necessário para a esfera revestida atingir 140 ° C . Compare a sua resposta com o tempo associado com um banho muito grande, isolado termicamente. Represente graficamente as temperaturas da esfera e do óleo como funções do tempo na faixa 0   h   ≤   t   ≤   15   h . Sugestão: Veja o Comentário 3 do Exemplo 5.2.

Passo 1

No Problema 5.9 nós tínhamos o volume de uma esfera e do óleo. Além da temperatura inicial da esfera e óleo, o coeficiente de convecção, a espessura e condutividade térmica do revestimento de filme dielétrico.

Com isso, queremos achar a temperatura da esfera em estado estacionário, as expressões explícitas para as temperaturas da esfera e do óleo e os requisitos de estabilidade. O tempo necessário para que a esfera revestida atinja 140 ° C usando uma formulação e solução implícita de diferenças finitas e o gráfico da resposta térmica da esfera e do óleo.

Ufa! Muita coisa, mas vamos caminhar juntos que conseguimos chegar lá

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que:

(1) A camada dielétrica possui capacitância térmica desprezível em relação à esfera de aço;

(2) As propriedades são constantes;

(3) A resistência de contato é desprezível entre revestimento dielétrico e o aço;

(4) O banho de óleo é bem agitado;

5) O banho de óleo é bem isolado.

Os valores do aço e do óleo foram retirados da Tabela A-1. Na letra (a) queremos a temperatura da esfera no regime estacionário. Temos que U é o coeficiente geral de transferência de calor que combina os efeitos da resistência de convecção e resistência de condução associados ao filme dielétrico. Isso é,

U = 1 R ' '

Onde,

R ' ' = l k f + 1 h = 0,002 m 0,04 W m . K + 1 3300 W m 2 . K = 0,050 + 0,0003 = 0,053   m 2 . K W

Então,

U = 19,88 W m 2 . K

Passo 3

O efeito do número de Biot é:

B i e = U L c k = U r o 3 k = 19,88 W m 2 . K × ( 0,300 m / 6 ) 48,8 W m . K = 0,02

Desde o B i e   < 0,1 , uma abordagem de capacitância concentrada é apropriada para a esfera. Da mesma forma, como o óleo é bem misturado, uma abordagem de capacitância concentrada é apropriada para o óleo.

O volume da esfera é:

V s = 4 3 π D 2 3 = 4 3 π 0,300 m 2 3 = 0,01414 m 3

E o volume do óleo é:

V o = 1 m 3 - 0,01414 m 3 = 0,986 m 3

Passo 4

A aplicação de balanços de energia na esfera e no óleo resulta em:

s c s V s T s , i - T s s = o c o V o T s s - T o , i

Onde T s s é a temperatura no estado estacionário do óleo e da esfera. Reorganizando a equação, temos:

T s s = s c s V s T s , i + o c o V o T o , i s c s V s + o c o V o

Substituindo os valores, temos:

= 7832 k g m 3 × 559 J k g . K × 0,01414 m 3 × 500 ° C + 836 k g m 3 × 2250 J k g . K × 0,986 m 3 × 100 ° C   7832 k g m 3 × 559 J k g . K × 0,01414 m 3 + 836 k g m 3 × 2250 J k g . K × 0,986 m 3

T s s = 112,9   ° C

Passo 5

Na letra (b) queremos algum requerimento de estabilidade que possa limitar o tamanho do incremento no tempo   Δ t . Reconhecendo que a temperatura do óleo varia com o tempo a esfera produz:

T s p + 1 = - U A s T s p - T o p s c s V s t + T s p

Similarmente, para o óleo bem misturado, temos a expressão:

T o p + 1 = - U A s T o p - T s p o c o V o t + T o p

Nós queremos que o coeficiente de T p seja positivo. Então,

t < c V U A s = 11000 s   p a r a   o   a ç o   e   330.000 s   p a r a   o   ó l e o

Passo 6

Na letra (c) queremos as temperaturas da esfera e do banho de óleo após um incremento de tempo. Substituindo os valores das propriedades, temperaturas iniciais e volumes nas equações anteriores para um passo de tempo temos:

T s 2 = - 19,88 W m 2 . K × π × 0,300 m 2 × 500 - 100 ° C 7832 k g m 3 × 559 J k g . K × 0,01414 m 3 t + 500 ° C

T s 2 = - 0,0363 ° C s × t + 500 ° C  

T O 2 = - 19,88 W m 2 . K × π × 0,300 m 2 × 100 - 500 ° C 836 k g m 3 × 2250 J k g . K × 0,986 m 3 t + 100 ° C

T o 2 = 1,212 × 10 - 3 ° C s × t + 100 ° C  

Os resultados para várias etapas do tempo são:

A especificação de um intervalo de tempo maior que o critério de estabilidade leva a resultados irrealistas, conforme é mostrado na tabela acima.

Passo 7

Na letra (d) queremos representar graficamente as temperaturas da esfera e do óleo como funções do tempo na faixa 0   h   ≤   t   ≤   15   h . Como se encontra abaixo

O tempo necessário para a esfera atingir uma temperatura de 140 ° C é 28.100   s   =   7,81   h . O tempo associado a um grande banho de óleo (temperatura constante do óleo) foi encontrado no Problema 5.9, usando o método de capacitância concentrada e é t   =   25.360   s   =   7,04   h .

Resposta

  1. T s s = 112,9   ° C
  2. t < c V U A s = 11000 s   p a r a   o   a ç o   e   330.000 s   p a r a   o   ó l e o .

Exercícios de Livros Relacionados

Uma parede, com 0,12   m de espessura e difusividade térmica de 1
O critério de estabilidade para o método explícito exige que o coefici
Deduza a equação de diferenças finitas, bidimensional e transiente, pa
Um fino bastão com diâmetro D está inicialmente em equilíbrio com a su
Um cilindro sólido redondo, feito com um material plástico ( α