Enunciado

Uma parede plana ( ρ   =   4000   k g / m 3   ,   c p   =   500   J / ( k g   ·   K ) ,   k   =   10   W / ( m   ·   K ) ) , com espessura L   =   20   m m , tem inicialmente uma distribuição de temperaturas estacionária linear, com as superfícies mantidas a T 1   =   0 ° C e T 2   =   100 ° C . Subitamente, uma corrente elétrica é passada através da parede, causando geração de energia uniforme a uma taxa q ˙ =   2   ×   10 7   W / m 3 . As condições de contorno T 1 e T 2 permanecem fixas.

(a) Em coordenadas T   –   x , esboce distribuições de temperaturas para os seguintes casos: (i) condição inicial ( t   ≤   0 ) ; (ii) condição de regime estacionário ( t   →   ∞ ) , supondo que a temperatura máxima na parede é superior a T 2   ; e (iii) para dois tempos intermediários. Identifique todas as principais características das distribuições.

(b) Para o sistema com três pontos nodais mostrado na figura ( 1 ,   m ,   2 ) , defina um volume de controle apropriado para o nó m e, identificando todos os processos relevantes, deduza a equação de diferenças finitas correspondente usando o método explícito ou o método implícito.

(c) Com um incremento de tempo Δ t   =   5   s , use o método de diferenças finitas para obter valores de T m para os primeiros 45   s . Determine os fluxos térmicos correspondentes nos dois contornos, isto é,   q x ' '   ( 0,45   s ) e q x ' ' ( 20   m m ,   45   s ) .

(d) Para determinar o efeito do tamanho da malha, repita a sua análise usando malhas com 5 e 11 pontos nodais ( Δ x   =   5,0 e 2,0   m m , respectivamente).

Passo 1

Aqui nós temos uma parede plana, inicialmente com uma distribuição linear de temperatura em estado estacionário com limites mantidos em T   ( 0 ,   t )   =   T 1 e T   ( L ,   t )   =   T 2 , experimentando uma geração de calor volumétrica uniforme devido à corrente elétrica. Onde as condições de contorno T 1 e T 2 permanecem fixadas com o tempo.

A partir dessas informações nós queremos esboçar as distribuições de temperatura para diferentes casos, derivar a equação da diferença finita usando o método implícito ou explícito, obter valores de T m para os primeiros 45 s do tempo decorrido e determinar os fluxos de calor correspondentes nos limites.

E por último, determinar o efeito do tamanho da malha repetindo a análise anterior usando grades de 5 e 11 pontos nodais. Eu sei que parece muito mas juntinhos a gente consegue, beleza?

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que a condução é transitória e bidimensional, a geração de calor volumétrico é uniforme para   t   ≥   0 e as propriedades são constantes.

Na letra (a) queremos, em coordenadas T   –   x , esboçar as distribuições de temperaturas para alguns casos. A distribuição de temperatura nas coordenadas T-x para os casos solicitados é mostrada abaixo.

Onde,

(1) Distribuição linear inicial de temperatura

(2) Distribuição de temperatura no estado estacionário parabólico não simétrico

(3) O gradiente em x   =   L é o primeiro positivo, depois zero e torna-se negativo

(4) O gradiente em x   =   0 é sempre positivo.

Passo 3

Na letra (b) queremos deduzir a equação de diferenças finitas. Fazendo um balanço de energia no volume de controle sobre o nó m , para a área da unidade, chegamos em:

E ˙ e n t - E ˙ s a i + E ˙ g = E ˙ s t

k 1   T 2 - T m Δ x +   k 1   T 1 - T m Δ x + q ˙ 1 Δ x = ρ 1 c p Δ x T m p + 1 - T m p Δ t

Inserindo o número de Fourier:

F o T 1 + T 2 - 2 T m + q Δ t ˙ ρ c p

Para o termo T m entre parênteses, usamos "p" para explícito e "p + 1" para forma implícito,

Explícito:                                                       T m p + 1 = F o T 1 p + T 2 p + 1 - 2 F o T m p + q Δ t ˙ ρ c p

Implícito:                                                       T m p + 1 = F o T 1 p + 1 + T 2 p + 1 + q Δ t ˙ ρ c p + T m p / 1 + 2 F o  

Passo 4

Na letra (c) nós queremos os fluxos térmicos correspondentes nos dois contornos. Com um incremento de tempo Δ t   =   5 s , as equações anteriores passam a ser:

Explícito:                                                       T m p + 1 = 0,5 T m p + 75

Implícito:                                                       T m p + 1 = ( T m p + 75 ) / 1,5  

Onde,

F o = k t ρ c x 2 =     10 W m   ·   K × 5 s 4000 k g m 3 × 500 J k g   ·   K × 0,010 m 2 = 0,25

q Δ t ˙ ρ c p = 2 × 10 7 W m 3 × 5 s 4000 k g m 3 × 500 J k g   ·   K = 50 K

Realizando os cálculos, os resultados são tabulados em função do tempo:

Passo 5

O fluxo de calor nos limites em t   =   45 s segue dos balanços de energia nos volumes de controle sobre os nós dos limites, usando os resultados explícitos para   T m p ,

Nó 1: E ˙ e n t - E ˙ s a i + E ˙ g = E ˙ s t

q x ' ' 0 , t + k T m p - T 1 Δ x + q ˙ Δ x 2 = 0

q x ' ' 0 , t = - k T m p - T 1 Δ x - q ˙ Δ x 2

q x ' ' 0,45 = - 10 W m   ·   K 149,8 - 0 K 0,010 m - 2 × 10 7 W m 3 × 0,010 m 2

q x ' ' 0,45 = - 249800   W / m 2

Nó 2:

k T m p - T 2 Δ x - q x ' ' L , t + q ˙ Δ x 2 = 0

q x ' ' L , t = k T m p - T 2 Δ x + q ˙ Δ x 2 = 0

q x ' ' L , 0,45 = 10 W m   ·   K 149,8 - 10 0 K 0,010 m + 2 × 10 7 W m 3 × 0,010 m 2

q x ' ' L , 0,45 = 149800   W / m 2

Passo 6

Na letra (d) nós queremos repetir a análise anterior usando malhas com 5 e 11 pontos nodais, Δ x   =   5 e 2   m m , respectivamente. Os resultados são tabulados abaixo para t   =   45 s , em que T m p ( 45 s ) é o nó central.

Resposta

(a)

(b) Explícito:                                                       T m p + 1 = F o T 1 p + T 2 p + 1 - 2 F o T m p + q Δ t ˙ ρ c p

Implícito:                                                       T m p + 1 = F o T 1 p + 1 + T 2 p + 1 + q Δ t ˙ ρ c p + T m p / 1 + 2 F o  

(c) q x ' ' 0,45 = - 249800   W / m 2 e q x ' ' L , 0,45 = 149800   W / m 2

(d)

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