Enunciado

Um tarugo de madeira cilíndrico ( k = 0,17   W / m ⋅ K   e   α = 1,28 × 10 - 7   m 2 / s ) tem 10   c m de diâmetro e está inicialmente na temperatura uniforme de 25 ℃ . É exposto a gases quentes a 600 ℃ na lareira com coeficiente de transferência de calor na superfície de 13,6   W / m 2 ⋅ K . Considerando que a temperatura de ignição da madeira é 420 ℃ , determine quanto tempo demora antes que o tarugo inflame.

Passo 1

A primeira coisa a se fazer é calcular o número de Biot, assim podemos verificar se é possível usar a analise de sistema aglomera. O número de Biot pode ser calculado da seguinte maneira:

B i = h r o k

Aqui,  h é o coeficiente de transferência de calor em ambos os lados do tronco,  k é a condutividade térmica do tronco de madeira e  r o é o raio do tronco de madeira cilíndrico. Substituindo pelos dados fornecidos no enunciado temos:

B i = 13,6   W / m 2 ⋅ K × 0,05   m 0,17   W / m ⋅ K

B i = 4

Como o número de Biot é maior que 0,1 , a análise do sistema aglomerado não é aplicável.

Passo 2

Vamos então resolver o problema usando a solução de termo único. Com o numero de Biot encontrado, podemos obter os coeficientes λ 1 e A 1 correspondentes ao número de Biot  B i = 4 , na tabela 4-2 “coeficiente usado para aproximação dimensional da condução de calor transiente e unidimensional em cilindro”. Assim temos:

λ 1 = 1,9081

A 1 = 1,4698

Também precisamos encontrar o valor de J o η . Para isso, usamos a tabela 4-3 "As funções zeroth e Bessel de primeira ordem do primeiro tipo". Em que:

J o η = J o λ 1 = J o 1,9081

Se olharmos para a tabela, vamos perceber que precisamos fazer uma interpolação para encontrar J o 1,9081 . Assim temos:

J o 1,9081 = 0,2818 + 1,9081 - 1,9 2 - 1,9 × 0,2239 - 0,2818

J o 1,9081 = 0,2771

Passo 3

Com os dados encontrados acima, podemos então usar a solução para condução transiente unidimensional em um cilindro de raio r o submetido à condução em todas as superfícies. Temos que a equação é a seguinte:

T r o , t - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ J o λ 1 r r o

T r o , t - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ J o λ 1 r o r o

T r o , t - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ J o λ 1

Aqui  T ∞ é a temperatura dos gases quentes,  T i é a temperatura do tronco de madeira e  T r o , t é a temperatura de ignição da madeira. Substituindo os valores fornecidos no enunciado e os encontrados nos passos anteriores, temos:

420 ℃ - 600 ℃ 25 ℃ - 600 ℃ = 1,4698 e - 1,9081 2 τ 0,2771

0,313 = 0,40728 e - 3,6408 τ

0,7686 = e - 3,6408 τ

ln ⁡ 0,7686 = ln ⁡ e - 3,6408 τ

- 0,2631 = - 3,6408 τ

τ = 0,07228

Passo 4

Podemos agora calcular o tempo necessário para que o tarugo entre em combustão usando o número de Fourier.

τ = α t r o 2

t = τ r o 2 α

Aqui  α é a difusividade térmica. Substituindo os valores fornecidos e os encontrados nos passos anteriores, temos:

t = 0,07228 × 0,05   m 2 1,28 × 10 - 7   m 2 / s

t = 1411,73   s

t = 23,53   m i n

Portanto, o tempo necessário para que o tarugo inflame é  23,53   m i n .

Resposta

t = 23,53   m i n

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