Enunciado

Em um teste para determinar o coeficiente de atrito μ associado a um disco de freio, um disco e o seu eixo giram a uma velocidade angular constante v, enquanto um conjunto equivalente disco/eixo permanece parado. Os discos possuem raio externo r 2 = 180   m m , raio do eixo r 1 = 20   m m , espessura t   =   12   m m e condutividade térmica k   =   15 W m K . Uma força conhecida F é aplicada no sistema e o torque correspondente τ necessário para manter a rotação é medido. A pressão de contato disco/disco pode ser considerada uniforme (ou seja, independente da localização na interface) e os discos supostos termicamente isolados da vizinhança.

  1. Obtenha uma expressão que permita avaliar μ a partir das grandezas conhecidas.
  2. Para a região r 1 ≤ r ≤ r 2 , determine a distribuição de temperaturas radial, T(r), no disco. Nesta distribuição, T( r 1 ) = T 1 é considerada conhecida.
  3. Sejam condições de teste nas quais F = 200   N ,   ω   =   40 r a d s ,   τ = 8   N m   e   T 1 = 80 ° C . Calcule o coeficiente de atrito e a temperatura máxima no disco.

Passo 1

Vamos que vamooos !!!

Preparados??

Nós temos um eixo girando, certo? Quando isso acontece ocorre atrito ali entre eles e, como sabendo, o atrito vai produzir calor que será transmitido através do disco e não nos esqueçamos que entre os discos também vai existir atrito!

Isso nos dá a seguinte situação:

Mais tarde nós vamos precisar do balanço de energia, mas por hora vamos nos concentrar na força tangencial ao disco.

E como calculamos?

Simples:

F t = μ F N

Como estamos trabalhando com um volume diferencial:

d F t = μ . d F N

A força é dada por:

F = P π r 2 2

Derivando:

d F N = 2 π r P d r

Substituindo na força tangencial:

d F t = 2 π P μ . r d r

Se temos a variação da força tangencial nós podemos achar a variação do torque:

d τ = r d F t

Substituindo novamente:

d τ = 2 π P μ . r 2 d r

Se nós integrarmos esta equação para o disco inteiro:

∫ 0 τ d τ = ∫ 0 r 2 2 π P μ . r 2 d r

τ = 2 π P μ . ∫ 0 r 2 r 2 d r

τ = 2 π 3 P μ r 2 3

Lembrando que:

P = F π r 2 2

Então:

τ = 2 π 3 F π r 2 2 μ r 2 3

τ = 2 F r 2 3 μ

Agora é só isolar o atrito:

μ = 3 τ 2 F r 2

E é isso aí !! Achamos o atrito em função do que nós conhecemos !!

Passo 2

Chegou a hora de fazer o balanço energético do nosso problema, certo?

Olhando na figura lá do Passo 1:

q r + d q a t r i t o = q r + d r

Precisamos agora calcular cada um dos termos, netão bora começar !!

q r = - k A . d T d r

Se a área é dada por:

A = 2 π r t

Então:

q r = - 2 π r t k . d T d r

A próxima será:

q r + d r = q r + d q r d r d r

A última que nós precisamos achar é a variação da transferência de calor devido ao atrito:

d q a t r i t o = ω . d τ

Substituindo d τ :

d q a t r i t o = ω . 2 π P μ . r 2 d r

d q a t r i t o = ω . F π r 2 2 2 π μ . r 2 d r

d q a t r i t o = 2 F μ ω .   r 2 r 2 2 d r

Agora nós substituímos tudo isso no balanço:

q r + 2 F μ ω .   r 2 r 2 2 d r = q r + d q r d r d r

2 F μ ω .   r 2 r 2 2 d r = d q r d r d r

2 F μ ω .   r 2 r 2 2 = d q r d r

Substituindo q r :

2 F μ ω .   r 2 r 2 2 = d d r - 2 π t k . d T d r

F μ ω .   r 2 r 2 2 = - π t k . d d r r . d T d r

d d r r . d T d r = - F μ ω r 2 π t k r 2 2

Vamos integrar uma vez, ok?

r . d T d r = - F μ ω r 3 3 π t k r 2 2 + C 1

d T d r = - F μ ω r 2 3 π t k r 2 2 + C 1 r

Derivamos mais uma vez:

T = - F μ ω r 3 9 π t k r 2 2 + C 1 . ln ⁡ r + C 2

Acabou?

Que nada !! Precisamos das condições de contorno !!

Quando r = r 2 não vai haver variação da temperatura com o raio, ou seja, d T d r = 0 . Substituindo:

d T d r r 2 = - F μ ω r 2 2 3 π t k r 2 2 + C 1 r 2 = 0

F μ ω 3 π t k = C 1 r 2

C 1 = F μ ω r 2 3 π t k

A segunda condição de contorno é que quando r = r 1 e T r 1 = T 1 :

T 1 = - F μ ω r 1 3 9 π t k r 2 2 + C 1 . ln ⁡ r 1 + C 2

Substituindo C 1 :

T 1 = - F μ ω r 1 3 9 π t k r 2 2 + F μ ω r 2 3 π t k . ln ⁡ r 1 + C 2

Isolando C 2 :

C 2 = T 1 + F μ ω r 1 3 9 π t k r 2 2 - F μ ω r 2 3 π t k . ln ⁡ r 1

Colocando nossas constantes na fórmula da temperatura:

T = - F μ ω r 3 9 π t k r 2 2 + F μ ω r 2 3 π t k . ln ⁡ r + T 1 + F μ ω r 1 3 9 π t k r 2 2 - F μ ω r 2 3 π t k . ln ⁡ r 1

T = F μ ω 9 π t k r 2 2 r 1 3 - r 3 + F μ ω r 2 3 π t k ln ⁡ r r 1 + T 1

Agoora sim, acabamos a letra (b) !!

Passo 3

Na letra (c) nós queremos calcular o coeficiente de atrito e a temperatura máxima no disco, certo?

O problema nos disse que:

F = 200   N

ω   =   40 r a d s

τ = 8   N m

T 1 = 80 ° C

r 2 = 180   m m = 0,18   m

r 1 = 20   m m = 0,02   m

t   =   12   m m = 0,012 m

k   =   15 W m K

Calculando o coeficiente de atrito usando a fórmula do Passo 1:

μ = 3 8   N m 2 200   N 0,18   m = 0,333

Sabendo que a temperatura máxima ocorre quando r = r 2 e colocando na fórmula do Passo 2:

T m a x = F μ ω 9 π t k r 2 2 r 1 3 - r 2 3 + F μ ω r 2 3 π t k ln ⁡ r 2 r 1 + T 1

Substituindo nossos dados:

T m a x = 200   N 0,333 40 r a d s 9 π 0,012 m 15 W m K 0,18   m 2 0,02   m 3 - 0,18   m 3 + 200   N 0,333 40 r a d s 0,18   m 3 π 0,012 m 15 W m K ln ⁡ 0,18   m 0,02   m + 80 ° C

T m a x = 606,96 ° C

E é só isso galerinha !! Curtiram?

Resposta

  1. μ = 3 τ 2 F r 2 ;
  2. T = F μ ω 9 π t k r 2 2 r 1 3 - r 3 + F μ ω r 2 3 π t k ln ⁡ r r 1 + T 1 ;
  3. T m a x = 606,96 ° C       |         μ = 0,333 .
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