Exercícios Resolvidos de Filtros digitais

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Enunciado

Dado o filtro analógico passa-baixa Butterworth de primeira ordem com frequência de corte Ω c = 1 mostrado abaixo:

H s = 1 s + 1

Encontre a função de transferência dos filtros digitais passa-baixas com frequência de corte ω C = π 8 .

Passo 1

O exercício quer que a gente pegue a função de transferência do filtro passa-baixa analógico com frequência de corte Ω c = 1 e o transforme em um filtro digital com frequência de corte ω c = π 8 .

Isso quer dizer que no mundo digital o nosso filtro começa a cortar, isto é, atenuar o sinal, a partir da frequência 1 , enquanto no mundo digital, nosso objetivo é que ele faça isso a partir da frequência π 8 .

Passo 2

Para mudar a frequência de corte, nós precisaremos de um período de amostragem específico para fazer essa transformação.

Para encontrar esse período de amostragem, utilizaremos a seguinte fórmula:

ω = 2 arctan ⁡ Ω T 2

Se isolarmos o período de amostragem, teremos:

T = 2 Ω tan ⁡ ω 2

Como temos:

ω = π 8

Ω = 1

O período será:

T = 2 tan ⁡ π 16

T = 0,3978

Passo 3

Agora que temos o período de amostragem, só precisamos aplicar a transformação bilinear para conseguir o filtro digital.

A transformação bilinear que usaremos é:

s = 2 T 1 - z - 1 1 + z - 1

Como:

T = 0,3978

Teremos:

s = 5,027 1 - z - 1 1 + z - 1

Substituindo na função de transferência, teremos:

H z = 1 5,027 1 - z - 1 1 + z - 1 + 1

Rearranjando:

H z = 1 + z - 1 5,027 1 - z - 1 + 1 + z - 1

H z = 1 + z - 1 5,027 - 5,027 z - 1 + 1 + z - 1

H z = 1 + z - 1 6,027 - 4,027 z - 1

Resposta

H z = 1 + z - 1 6,027 - 4,027 z - 1