Exercícios Resolvidos de Filtros digitais

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Enunciado

Dado o filtro analógico passa-baixa Butterworth de segunda ordem com frequência de corte Ω c = 0,5 mostrado abaixo:

H s = 0 , 1 25 ( s + 0,5 ) ( s 2 + 0,5 s + 0,25 )

Encontre a função de transferência do filtro digitais passa-baixa com frequência de corte ω C = π 2 .

Passo 1

O exercício quer que a gente pegue a função de transferência do filtro passa-baixa analógico com frequência de corte Ω c = 0,5 e o transforme em um filtro digital com frequência de corte ω c = π 2 .

Isso quer dizer que no mundo digital o nosso filtro começa a cortar, isto é, atenuar o sinal, a partir da frequência 0,5 , enquanto no mundo digital, nosso objetivo é que ele faça isso a partir da frequência π 2 .

Passo 2

Para mudar a frequência de corte, nós precisaremos de um período de amostragem específico para fazer essa transformação.

Para encontrar esse período de amostragem, utilizaremos a seguinte fórmula:

ω = 2 arctan ⁡ Ω T 2

Se isolarmos o período de amostragem, teremos:

T = 2 Ω tan ⁡ ω 2

Como temos:

ω = π 2

Ω = 0,5

O período será:

T = 2 0,5 tan ⁡ π 4

T = 4

Passo 3

Agora que temos o período de amostragem, só precisamos aplicar a transformação bilinear para conseguir o filtro digital.

A transformação bilinear que usaremos é:

s = 2 T 1 - z - 1 1 + z - 1

Como:

T = 4

Teremos:

s = 4 1 - z - 1 1 + z - 1

Substituindo na função de transferência, teremos:

H z = 0,125 4 1 - z - 1 1 + z - 1 + 0,5 16 1 - z - 1 1 + z - 1 2 + 2 1 - z - 1 1 + z - 1 + 0,25

Multiplicando em cima e embaixo por 1 + z - 1 3 , teremos:

H z = 0,125 1 + z - 1 3 4 1 - z - 1 + 0,5 1 + z - 1 16 1 - z - 1 2 + 2 1 - z - 1 ( 1 + z - 1 ) + 0,25 1 + z - 1 2

H z = 0,125 1 + z - 1 3 4,5 - 3,5 z - 1 16 ( 1 - 2 z - 1 + z - 2 ) + 2 1 - z - 2 + 0,25 ( 1 + 2 z - 1 + z - 2 )

H z = 0,125 1 + z - 1 3 4,5 - 3,5 z - 1 14,25 z - 2 - 31,5 z - 1 + 18,25

Essa última forma já é suficiente como resposta.

Resposta

H z = 0,125 1 + z - 1 3 4,5 - 3,5 z - 1 14,25 z - 2 - 31,5 z - 1 + 18,25