Movimento Circular Uniforme

Resumo Completo

Agora vamos analisar algumas características do movimento circular, beleza?

Período:

O período ( T ) é o tempo que uma partícula leva para fazer uma volta completa. Nesse intervalo T , a partícula se desloca a uma distância igual ao comprimento da circunferência, que só pra relembrar é dado por 2 π R . =)

Como no MCU, o módulo da velocidade é constante durante a volta percorrida pela partícula, podemos relacionar a velocidade escalar ( v = s / T ) com a distância percorrida em uma volta e o tempo de percurso.

Assim:

v = 2 π R T

Substituindo v na fórmula   | a c p = v 2 R chegamos a:

| a c p | = 4 π 2 R T 2

Frequência:

A frequência é o número de voltas dadas em um intervalo de tempo.

Assim, ela é igual ao inverso do período T que é o tempo para dar uma volta completa.

f = 1 T

Daí, a gente também vai poder escrever a velocidade em função da frequência.

v = 2 π R f

Deslocamento angular:

Quando realizamos um movimento circular, realizamos uma alteração no valor do ângulo. Essa alteração pode ser chamada de deslocamento angular.

Vamos colocar o Dexter pra girar. Haha!

Repare que o nosso mascote está inicialmente em um ângulo ϕ 1 em relação ao eixo x . Ele faz a curva e passa a fazer um ângulo ϕ 2 com o eixo x .

Ele variou seu ângulo, certo? Essa variação que é o deslocamento angular.

Δ ϕ = ϕ 2 - ϕ 1

Numa curva, ao manter o raio constante, podemos ter uma relação do deslocamento angular com a distância percorrida.

Ah, um jeito bem legal de entender isso é quando um corpo dá uma volta completa em um movimento circular. A distância percorrida vai ser nada mais nada menos que o perímetro do círculo que é S = 2 π R e o deslocamento angular é o que acompanhar o R ,   nesse caso, o 2 π .

Assim, para fazer essa relação basta multiplicar o deslocamento angular pelo raio da curva.

Δ S = R Δ ϕ

Velocidade Angular

A velocidade angular é a variação do deslocamento angular pelo tempo. Se o ângulo varia muito rápido, podemos dizer que ele tem uma velocidade angular ω alta.

Para calcularmos a velocidade angular média basta fazer a divisão da variação total de deslocamento angular Δ ϕ pelo tempo total do movimento Δ t .

ω m = Δ ϕ Δ t

Saca só!

Pra uma volta completa, a velocidade angular, calculada pela formulinha que acabamos de ver vai ter como Δ ϕ = 2 π , que é o deslocamento angular de uma volta, e o Δ t = T , já que T   é o tempo para o movimento dar uma volta. Assim, teremos que:

ω = 2 π T       o u   ω = 2 π f

Assim como com o deslocamento angular, a velocidade angular também pode ser relacionada com a velocidade escalar.

v = R ω

Tudo tranquilo por aí, meus amigos? Agora vamos fazer os exercícios para fixar esse tipo!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 88. 57

Em uma parque de diversões uma mulher passeia em uma roda-gigante com 15 m de raio, completando 5 voltas em torno do eixo horizontal a cada minuto. Quais são:

  1. O período do movimento?
  2. O módulo da aceleração centrípeta no ponto mais alto?
  3. O sentido da aceleração centrípeta no ponto mais alto?
  4. O módulo da aceleração centrípeta no ponto mais baixo?
  5. O sentido da aceleração centrípeta no ponto mais baixo?
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

  1. Sabendo que período é o inverso da frequência, vamos aplicar a fórmula:

T = 1 f

A frequência é o número de voltas dadas em um determinado tempo:

f = 5 1 m i n = 5 60 s = 1 12 s

Logo, o período é:

T = 12 s 1 = 12 s

Passo 2

b) Vamos utilizar a fórmula de aceleração centrípeta: | a c p | = v 2 R

Mas, como a velocidade não é dada, precisamos descobri-la.

O tempo para uma volta completa é o período e vale 12s. O deslocamento é o comprimento do círculo e vale 2 π R .

Então, t = 12 s   e s = 30 π

v = s t = 30 π 12 = 7.85 m s

Agora que achamos a velocidade, podemos substituir na fórmula de aceleração centrípeta.

| a c p | = 7,85 2 15 = 4.1 m s 2

Passo 3

c) A aceleração centrípeta sempre tem direção radial, ou seja, em direção ao centro do círculo. No caso, no ponto mais alto, o sentido é para baixo ou j .

Passo 4

d) A aceleração centrípeta não vai depender do ponto escolhido. Ela é calculada da mesma forma do item b) e vale 4.1 m / s ² = 4 m / s ² .

Passo 5

e) A aceleração centrípeta sempre tem direção radial, ou seja, em direção ao centro do círculo. No caso, no ponto mais baixo, o sentido é para cima ou + j .

Resposta

  1. 12s
  2. 4.1m/s²
  3. Baixo
  4. 4.1m/s²
  5. Cima

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração Própria

Um helicóptero que está se preparando para decolar, liga suas hélices. Nesse momento a hélice possui velocidade constante, realizando uma volta completa em 0,004   s . Determine a velocidade angular das pás do helicóptero e o deslocamento em cada ponto marcado em vermelho, mostrado no desenho abaixo, após 4 segundos.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar achando a velocidade angular, como a velocidade é constante a velocidade angular deve ser constante também. A fórmula da velocidade angular é

ω = Δ θ Δ t

Ele deu o tempo que ele demora para dar uma volta, isso quer dizer que

Δ θ = 2 π

Resultando em

ω = 2 π 0,004 = 500 π   rad / s

A unidade de velocidade deve ser sempre em radianos por segundo. Cuidado que o ângulo deve estar em radianos, e não em grau.

Passo 2

Como a velocidade angular é constante, podemos descobrir o deslocamento angular multiplicando a velocidade pelo tempo.

Δ θ = T ω

Δ θ = 4 500 π = 2000 π   rad

O deslocamento pode ser relacionado com o deslocamento angular com

Δ S = Δ θ R

Então

Δ S = 2000 π R

Passo 3

Vamos fazer essa conta para cada ponto

R 1 = 0,5   m

Δ S 1 = 2000 π 0,5 = 1000 π   m

R 2 = 1,2   m

Δ S 2 = 2000 π 1,2 = 2400 π   m

R 3 = 1,8   m

Δ S 3 = 2000 π 1,8 = 3600 π   m

Resposta

ω = 500 π   rad / s

Δ S 1 = 1000 π   m

Δ S 2 = 2400 π   m

Δ S 3 = 3600 π   m

Exercício Resolvido #3

Enunciado

UNICAMP, Física 1, Prova 1, 2015.1

Uma partícula descreve um movimento circular uniforme de raio R em um plano horizontal, em um sistema de coordenadas onde a origem se encontra no centro da circunferência. Qual destas afirmações é falsa:

  1. A velocidade média depois de um período completo é nula
  2. A velocidade escalar média depois de um período T completo é igual a 2 π R T
  3. O produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor posição da partícula é sempre nulo.
  4. O produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor aceleração da partícula é sempre nulo.
  5. O produto escalar entre o vetor aceleração e o vetor posição da partícula é sempre nulo.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos analisar as alternativas uma a uma.

Alternativa (a) – Verdadeira.

A velocidade média a que o enunciado se refere é o vetor velocidade média que tem a fórmula:

v m e d = Δ S Δ t

Portanto, após um ciclo completo, o deslocamento vetorial Δ S é nulo, pois o ponto inicial e final do vetor são os mesmos. Então a velocidade média vetorial também será nula.

Passo 2

Alternativa (b) – Verdadeira.

O deslocamento escalar total é o comprimento do círculo, ou seja, 2 π R . Então após um período completo T, teremos:

v m e d = 2 π R T

Passo 3

Alternativa (c) – Verdadeira.

Estando a origem do sistema de coordenadas no centro da trajetória circular, o vetor posição é sempre radial e perpendicular ao vetor velocidade instantânea, que é sempre tangencial à trajetória;

Passo 4

Alternativa (d) – Verdadeira.

Como o movimento é uniforme, não possui aceleração tangencial, apenas aceleração centrípeta. Logo, o vetor aceleração é radial, assim como o vetor posição. É, portanto, perpendicular ao vetor velocidade instantânea em todos os momentos.

Passo 5

Alternativa (e) – Falsa.

Os vetores aceleração e posição apontam na mesma direção, mas em sentidos opostos. O único jeito do produto escalar ser nulo é se um dos vetores for nulo ou se eles forem perpendiculares. Como isso não ocorre, essa afirmativa é falsa.

Resposta

Letra (e)

Exercício Resolvido #4

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 88. 4- 63.

Uma bolsa a 2,00   m do centro e uma carteira a 3,00   m do centro descrevem um movimento circular uniforme no piso de um carrossel. Elas estão na mesma linha radial. Em um certo instante, a aceleração da bolsa é ( 2,00   m / s ² ) i   +   ( 4,00   m / s ² ) j . Qual é a aceleração da carteira nesse instante, em termos dos vetores unitários.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Ele nos dá uma aceleração aí e nos diz que o movimento é circular uniforme. O que isso quer dizer?

Tudo! Movimento circular uniforme só tem aceleração centrípeta, então essa aceleração aí é a centrípeta

Vamos desenhar um esqueminha nesse do que está acontecendo nesse nosso carrossel verde abaixo, com a bolsa na cor preta e a carteira na cor roxa.

Passo 2

Sabemos que o módulo da aceleração centrípeta pode ser calculada por:

a c p = v 2 R

Mas para só pra pensar, se eles estão em cima do carrossel , eles estão sob mesma velocidade angular, pois a variação do ângulo num mesmo intervalo de tempo vai ser igual pra todos.

Sabemos também que v = ω R e substituindo ali, teremos:

a c p = ω ² R

Passo 3

Escrevendo a aceleração de cada uma, teremos:

a c p b o l s a = ω ² . 2

a c p c a r t e i r a = ω ² . 3

Dividindo uma pela outra, teremos:

a c p b o l s a a c p c a r t e i r a = ω ² . 2 ω ² . 3

E assim, teremos:

3 2 a c p b o l s a = a c p c a r t e i r a

Passo 4

Beleza, mas quem é a c p b o l s a ? É justamente o módulo do vetor a c p b o l s a = ( 2,00   m / s ² ) i   +   ( 4,00   m / s ² ) j

Como calcula? Fácil!

a c p b o l s a = 2 ² + 4 ² = 20 = 2 5

Assim, a c p c a r t e i r a será:

a c p c a r t e i r a = 3 2 a c p b o l s a = 3 2 . 2 5 = 3 5

Passo 5

Beleza, já temos o módulo, mas queremos o vetor que representa a aceleração.

A gente sabe que ele deve apontar para a mesma direção que a c p b o l s a , porém com módulo 3 5 . Pra achar esse vetor, temos que achar os vetores unitários que dão a direção para a aceleração da bolsa, pra fazer isto basta dividir o vetor pelo módulo do vetor.

a u n i t a r i o = 1 2 5 .   2 m s 2 i ^   +   4 m s 2 j ^ =   1 5 m s 2 i ^   +   2 5 . m s 2 j ^

Daí

a c p c a r t e i r a = a c p c a r t e i r a x   a u n i t a r i o

a c p c a r t e i r a = 3 5 . 1 5 m s 2 i ^   +   2 5 . m s 2 j ^ =   ( 3 m / s ² ) î   +   ( 6 m / s ² ) j ^

Resposta

a c p c a r t e i r a =   ( 3 m / s ² ) i ^   +   ( 6 m / s ² ) j ^

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