Circuito de uma Malha

Teoria Completa

Para entender como resolver questões envolvendo circuitos, nós precisamos entender as regras que envolvem esse tipo de problema.

Essas regras são muito importantes, e você precisa me prometer que vai guardá-las contigo pelo resto da vida.

Sempre que formos trabalhar com circuitos precisamos escolher um sentido para percorrer uma determinada malha. Se o sentido que escolhermos é o mesmo sentido, ou o sentido oposto da corrente, isso vai mudar na forma como avaliaremos a diferença de potencial através de cada componente.

Neste capítulo, as setas laranjas indicarão o sentido em que estamos percorrendo uma determinada malha, ou atravessando determinado componente do circuito.

Regra das Resistências

  • Quando atravessamos uma resistência no sentido da corrente, a diferença de potencial é – i R ;
  • Quando atravessamos uma resistência no sentido oposto ao da corrente, a diferença de potencial é + i R ;

Regra das Fontes

  • Quando atravessamos uma fonte do terminal negativo (barra menor) para o positivo (barra maior), a diferença de potencial é + ε ;
  • Quando atravessamos uma fonte do terminal positivo para o negativo, a diferença de potencial é – ε ;

Regra das Malhas (Lei das malhas de Kirchhoff)

  • A soma de todas as diferenças de potencial quando você percorre uma malha é igual a zero.

Vamos aplicar a Regra das Malhas a um circuito simples:

Repare que, neste sentido, estamos atravessando a fonte do negativo para o positivo, então a diferença de potencial ali será + E . Além disso, atravessamos a resistência no mesmo sentido da corrente, logo, a diferença de potencial ali será - i R .

Portanto, aplicando a Lei das malhas de Kirchhoff, teremos:

E - i R = 0

Além disso, podemos ver que, em um circuito simples com uma fonte ideal e um resistor, a força eletromotriz será:

E = i R

Fontes com Resistência Interna (Fontes Reais)

A resistência interna da fonte é a resistência elétrica dos materiais condutores que existem no interior da fonte e, portanto, é parte integrante da fonte.

Para entender o que acontece em um circuito com fontes reais, vamos analisar um circuito simples composto por uma fonte real e um resistor:

Aplicando a Lei das malhas de Kirchhoff, teremos:

E - i r - i R = 0

A partir disso, podemos ver que a corrente elétrica no circuito será dada por:

i = E R + r

Se quiséssemos trabalhar com o caso da fonte ideal, bastaria dizer que r = 0 (ou seja, a fonte não possui resistência interna).

Agora, vamos exercitar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 189-7.

Na figura abaixo as fontes ideais têm forças eletromotrizes ε 1 = 12 V e ε 2 = 6,0 V e os resistores têm resistências R 1 = 4,0 Ω   e   R 2 = 8,0 Ω . Determine:

  1. a corrente do circuito;
  2. a potência dissipada no resistor 1 ;
  3. a potência dissipada no resistor 2 ;

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Passo 1

Então, pessoal! Temos uma malha simples. Vamos devagar, aprendendo a cada passo.

Ele nos forneceu o valor das duas fontes e dos resistores e está pedindo pra a gente calcular primeiramente a corrente nesse circuito.

Como fazer? Vamos lá!

Passo 2

a)

Só relembrando as regrinhas:

Resistência

  • Quando atravessamos uma resistência no sentido da corrente, a diferença de potencial é – i R ;
  • Quando atravessamos uma resistência no sentido oposto ao da corrente, a diferença de potencial é + i R ;

Fonte

  • Quando atravessamos uma fonte do terminal negativo (barra menor) para o positivo (barra maior), a diferença de potencial é + ε ;
  • Quando atravessamos uma fonte do terminal positivo para o negativo, a diferença de potencial é – ε ;

Passo 3

Pela Lei das Malhas de Kirchhoff, a soma das ddp’s nesse circuito tem que ser zero.

Mas, nesse caso nós temos duas forças eletromotrizes, como vamos saber o sentido da corrente? Relaxa, nós podemos supor um sentido para a corrente. Supondo que esse seja o sentido horário, logo, teremos que:

- R 1 . i - R 2 . i - ε 1 + ε 2 = 0

- ( R 1 + R 2 ) . i - ε 1 + ε 2 = 0

Isolando o i , teremos:

i = ε 1 - ε 2 - ( R 1 + R 2 ) = 12 - 6 - 12 = - 0,5 A

Como achamos um valor negativo para a corrente, podemos afirmar que supomos o sentido errado! Analisando o circuito podemos visualizar isso, afinal o sentido da corrente vai ser definido pela fonte de maior potencial no caso ε 1 , ou seja o sentido da fonte é anti-horário.

Passo 4

b)

Aqui é só relembrar a formulinha de potência. Como aqui temos resistência e também a corrente é só usar:

P = R i ² = R 1 i ² = 4.0,5 ² = 1 W

Passo 5

c)

Mesma coisa da letra b, só trocando os valores.

P = R i ² = R 2 i ² = 8.0,25 = 2 W

E é isso aê!

Resposta

  1. i = - 0,5 A
  2. P 1 = 1 W
  3. P 2 = 2 W

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 190-19.

A corrente em um circuito com uma única malha e uma resistência R é 5,0 A . Quando uma resistência de 2,0 Ω é ligada em série com R , a corrente diminui para 4,0 A . Qual é o valor de R ?

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Passo 1

Parando pra refletir um pouco sobre essa questão. No primeiro caso temos o circuito de uma malha com apenas um resistor. Se tem um resistor, pra haver corrente tem que ter também uma fonte.

Então o primeiro circuito vai assim.

Bem simples, né?

Usando a Lei das Malhas, teremos:

ε - R i 1 = 0

ε = R i 1

Passo 2

Adicionando mais um resistor, só vamos acrescentar um termo aí na Lei das Malhas de – R 2 i 2 . Assim, vai ficar:

ε - R 2 i 2 - R i 2 = 0

ε = i 2 . [ R + R 2 ]

Passo 3

Igualando com a equação da primeira, vamos ter que:

R . i 1 = i 2 . [ R + R 2 ]

Substituindo os valores, vai ficar:

5 R = 4 R + 4.2

R = 8 Ω

Resposta

R = 8 Ω

Exercício Resolvido #3

UERJ- Lista de Exercícios- Circuitos Elétricos

Qual é a resistência interna da bateria na figura e que valor de potência é dissipado internamente na mesma?

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Passo 1

Para determinar a resistência interna da bateria, basta usar a regra das malhas para o circuito, teremos então:

ε - r . I = 0

Como ε = 1,5   V e I = 2,3   A , temos:

1,5 - r . 2,3 = 0

r = 0,65   Ω

Passo 2

Para determinar a potência dissipada, temos a seguinte relação:

P = R i 2

P = 0,65   . 2,3 2

P = 3,44   W

Resposta

r = 0,65   Ω

P = 3,44   W

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 189-12.
  1. Na figura abaixo qual deve ser o valor de R para que a corrente no circuito seja 1,0 m A ?

Sabe-se que ε 1 = 2,0 V , ε 2 = 3,0 V , r 1 = r 2 = 3,0 Ω .

  1. Qual é a potência dissipada em R ?

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Passo 1

a)

Ele nos dá as informações dos dois geradores e das suas resistências internas e ainda nos dá a corrente i . Só o que sobra pra a gente é que? O resistor R . Vai sair bem rápido usando Lei das Malhas. Saca só!

Passo 2

Vamos supor esse sentido indicado para a corrente e uma malha sentido horário.

Usando o mesmo sentido (horário) para a Lei das Malhas do nosso amigo Kirchhoff, teremos:

- r 1 . i + ε 1 - ε 2 - r 2 i - R i = 0

Isolando o R , teremos:

R = ε 1 - ε 2 - i [ r 1 + r 2 ] i = 2 - 3 - 10 - 3 . [ 3 + 3 ] 10 - 3 = - 1006 Ω

Como encontramos um valor negativo para R , erramos no sentido da corrente!

Mas, calma! Fazendo de novo, agora para uma corrente no sentido anti-horário. Usando o sentido anti-horário também para a Lei das Malhas, obtemos:

- r 1 . i - ε 1 + ε 2 - r 2 i - R i = 0

R = ε 2 - ε 1 - i [ r 1 + r 2 ] i = 3 - 2 - 10 - 3 . [ 3 + 3 ] 10 - 3 = 994 Ω

Agora sim!

Passo 3

b)

Lembra como calcula a potência somente?

Primeiro temos que ver o que a gente tem. Nesse caso, temos a resistência R que a gente acabou de achar e também a corrente.

Calculando a potência com esses dados é só usar:

P = R i 2 = 994 × 10 - 3 2 = 9,94 × 10 - 4 W

Resposta

  1. R = 9 94 Ω
  2. P = 9,94 × 10 - 4 W

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 196-74.

Na figura abaixo mostre que a potência dissipada em R é máxima para R = r . Mostre que essa potência máxima é P = ε 2 4 r .

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Passo 1

Opa! Primeiro de tudo, é bom ter uma noção quais as variáveis nós precisamos lidar para poder resolver esse problema. Ele fala em potência e a gente já vê na figura as grandezas R e i .

Pra calcular a potência no resistor R com esses dados é só usar

P = R i ²

Passo 2

Mas a gente não sabe quem é i , então vamos busca-la!

Pela Lei das Malhas, adotando o sentido da corrente, teremos:

ε - R i - r i = 0

i = ε R + r

Show?

Show!

Passo 3

Agora é só tacar lá na fórmulinha da potência.

P = R i ² = R ε R + r ² = R ε 2 [ R + r ] ²

Passo 4

Mas pera, agora vamos entrar no mais delicado da questão.

Vemos que pra uma dada fonte com ddp ε e r , para cada valor pra R teremos um valor pra P . Assim, podemos dizer que P é uma função de R e pra otimizar essa função temos que derivar e igualar a zero. Lembra lá do cálculo? Espero que sim. :}

d P d R = d R ε 2 R + r 2 d R = ε 2 . d R R + r 2 d R = 0

Derivando, pela regra do quociente, vamos ter:

d P d R = ε 2 . 1 . R + r 2 R + r 4 - 2 R + r R R + r 4 = ε 2 1 r + R 2 - 2 R R + r 3 = 0

Fazendo o MMC disso aí, vamos ter:

d P d R = ε 2 r - R R + r 3 = 0

r - R = 0

R = r

Passo 5

Agora é só substituir o valor de R = r lá na potência. Daí, teremos:

P = r ε 2 [ r + r ] ² = ε 2 4 r

Como queríamos demonstrar!!

Resposta

Exercício Resolvido #6

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 25.35, pp. 162.

Um voltímetro ideal V está conectado a um resistor de 2,0 Ω