Giroscópios

Teoria Completa

Eita, mas que nome feio logo no título, né? Também acho. Mas não se preocupa, vamos te levar pelo caminho certo pra matar todas as questões de giroscópio que caírem na tua prova!

O que é?

Um giroscópio simples é formado por uma roda fixada a um eixo e livre para girar em torno do eixo, como na figura abaixo. A roda possui massa, mas, enquanto ela estiver girando, o giroscópio não tomba! Irado né? Vamos ver a física por trás disso.

Bom, primeiramente temos o peso da roda e a velocidade angular da mesma:

Dessas duas grandezas aparecem outras duas:

  • O momento angular L → , gerado pela rotação da roda e que possui o mesmo sentido de ω → , já que:
  • L → = I ω →

  • O torque τ → , já que existe um braço entre a força e o ponto fixo. Se chamarmos essa distância de r :

τ = P r

E a direção é dada pela regra da mão direita.

Movimento de precessão

Beleza, agora vale lembrar que:

τ → = d L → d t

Pow, temos o torque como um vetor perpendicular ao vetor do momento angular, o que significa que o torque vai alterar somente a direção do momento angular! E assim nós temos o nosso movimento de precessão, que nada mais é do que a rotação do eixo que segura a roda em torno do eixo vertical. Usamos normalmente a letra Ω para a velocidade angular desse movimento. Saca só:

Se a massa da roda for M , calculamos a velocidade de precessão usando a fórmula:

Ω = M g r I ω

Tranquilinho? Sem problemas? Vamos aos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP-P3-2015-1

Um giroscópio está montado sobre um suporte vertical conforme a figura. Assinale a afirmativa incorreta:

a) Numa vista superior, o giroscópio girará no sentido anti-horário.

b) O vetor momento angular total do giroscópio em relação ao centro O é constante ao longo do tempo.

c) O torque é proporcional à massa do girocópio.

d)O movimento de um eixo de rotação ao redor de um eixo fixo devido a um torque externo é chamado de precessão.

e) Quanto mais rápido a roda do giroscópio girarem torno de seu eixo, menor será a velocidade angular de precessão.

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Passo 1

a)

Fazendo a regra da mão direita, veremos que a roda girará no sentido anti-horário. A velocidade de precessão é uma velocidade que “persegue” a velocidade angular ω , logo ela girará no sentido anti-horário sim.

Passo 2

b)

O torque é perpendicular ao momento angular, desta forma o seu módulo não muda, apenas a direção. Logo a resposta está errada, pois o vetor não é constante e sim apenas o módulo.

Passo 3

c)

Sim!!

O torque é dado por τ = I . α . E como sabemos o momento de inércia depende da massa, logo o torque também.

Passo 4

d)

Verdade! Esse é justamente o conceito de precessão, uma característica dos giroscópios e também da Terra.

Passo 5

e)

A velocidade angular de precessão pode ser calculada por:

Ω = m . g . d I . ω

Nesse caso, quando o ω aumenta o Ω diminui.

Afirmativa correta.

Resposta

b) O vetor momento angular total do giroscópio em relação ao centro O é constante ao longo do tempo.

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 324-69

Um certo giroscópio é formado por um disco uniforme com 50   c m de raio montado no centro de um eixo de 11   c m de comprimento e massa desprezível. O eixo está na posição horizontal, apoiado em uma das extremidades. Se o disco está girando em torno do eixo a 1000   r e v / m i n , qual é a taxa de precessão?

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Passo 1

Aqui nós temos um giroscópio clássico, portanto, está de acordo com essa imagem:

Aprendemos que a taxa de precessão pode ser calculada da seguinte maneira:

Ω = M g r I ω

Mas sabemos que o momento de inércia de um disco é dado por:

I = M R 2 2

Substituindo, temos:

Ω = 2 g r R 2 ω

O enunciado nos deu todos esses valores, então:

Ω = 2   .   9,8   .   0,11 0,5 2   .   2 π   .   1000 60 =   0,041   r a d / s

Resposta

Ω = 0,041   r a d / s

Exercício Resolvido #3

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 324-68

Um pião gira a 30   r e v / s em torno de um eixo que faz um ângulo de 30 ° com a vertical. A massa do pião é 0,50   k g , e seu momento de inércia em relação ao eixo central é 5,0   .   10 - 4   k g   .   m 2 e seu centro de massa está a 4,0   c m do ponto de apoio. Se a rotação é no sentido horário quando vista de cima, quais são (a) a taxa de precessão e (b) o sentido da precessão quando o pião é visto de cima?

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Passo 1

a) Esse é um problema cheio de informação, vamos desenhar pra facilitar as coisas.

Da imagem, se tentarmos fazer uma analogia com o giroscópio clássico, temos que a distância do C M ao centro de rotação é análogo ao tamanho r do braço que segurava a roda no giroscópio clássico. Portanto:

r = 4   c m

E agora temos todas as informações necessárias para encontrar o valor da taxa de precessão:

Ω = M g r I ω

Ω = 0,5   .   9,8   .   0,04 5,0   .   10 - 4   .   30   .   2 π = 2,08   r a d / s

Passo 2

b) Já para este item, temos que analisar a direção do torque, pela regra da mão direita, temos:

Como o torque está saindo do papel e ele é responsável pelo movimento de precessão, se olharmos o movimento de cima, a velocidade angular da precessão estará no sentido horário.

Vale notar que o mesmo acontece se tomássemos os 30 ° de inclinação para a esquerda!

Resposta

  1. Ω = 2,08   r a d / s
  2. Sentido horário

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