Conservação do Momento Angular

Teoria Completa

Eita, conservação do momento angular, será que funciona igual ao momento linear?

Temos aqui mais uma coisa que a Dinâmica de Rotação se assemelha à Dinâmica de Translação.

Como fizemos antes, vamos relembrar o “irmãozinho” desse conceito:

Beleza, esse era o conceito lá na translação. Agora, temos que trocar as variáveis. Então, bora lá!

  • O momento linear vira momento angular (lembrando que a conservação é vetorial, ou seja, a direção e sentido do momento angular também deve ser conservada);
  • “Forças” são substituídas por “torques”;

Então, o momento angular se conserva, desde que não haja torques externos que aumentem ou diminuam a rotação do sistema.

Um exemplo rápido, se uma barra está girando em torno de um eixo de rotação que passa pelo centro de massa e não tem nenhum motor que aumente a sua velocidade de rotação e considerando também uma situação ideal em que a barra não sofre resistência do ar, então não perde velocidade de rotação, podemos dizer que ela está livre de torques externos e portanto ela vai manter sua velocidade angular constante e existirá a conservação do momento angular do sistema

Show? Então beleza. Só vamos falar rapidinho de um ponto ali no conceito. A análise de conservação é NO SISTEMA, tome muito cuidado com isso!

Vamos a um rápido exemplo, que vai aparecer muuuito pra você.

Temos aqui uma massa de modelar de massa m se aproximando com velocidade v de uma barra homogênea de massa M e tamanho L , presa em uma mesa pelo seu centro de massa. Após a colisão, a massa de modelar gruda na barra. Qual a velocidade angular da barra logo após a colisão?

Lendo aqui no exemplo você sabe que vamos usar conservação do momento angular, mas e lá na hora da prova? Como você ia descobrir que vamos usar isso?

Analisando a situação inicial, a barra está parada e, após o choque, a barra sofre um torque, pois existe uma força de interação entre a massa e a barra. Aí você pensa assim, vê que tem torque agindo e desconsidera o uso da conservação.

NÃO!! Por isso eu repeti que a análise é feita NO SISTEMA. Então vamos recomeçar.

Analisando o sistema, temos que não há forças externas agindo nele, nem antes e nem depois da colisão. Podemos então usar a conservação do momento angular.

L → a n t e s = L → d e p o i s

OBS IMPORTANTE!! Você sabe que momentos angulares são calculados em relação a um eixo, não esqueca que L → a n t e s e L → d e p o i s devem ser calculados em relação ao mesmo eixo!

Para antes da colisão, temos a barra parada, sem gerar nenhum tipo de momento e a massa se movendo com velocidade v , portanto gerando Momento Linear. Lembrando aqui que o “antes da colisão”, assim como fazíamos lá na conservação da quantidade de movimento, consideramos os corpos tão próximos, mas tão próximos, que é como já estivessem grudados, mas sem considerar a interação entre eles.

Se considerarmos o eixo z com o sentido positivo saindo da tela, temos:

L → a n t e s = p →   × r → = m v L 2   k ^

Já depois da colisão, temos uma barra com uma massa de modelar presa na ponta, rodando com velocidade angular ω . Usando a regra da mão direita para definir o sentido do vetor, temos:

L → d e p o i s = I s i s t e m a ω   k ^

Sabemos que o momento de inércia de uma barra de massa M e tamanho L em relação ao centro de massa é dado por:

I = M L 2 12

Mas não podemos esquecer que temos uma massa de modelar de massa m grudada na barra, que vamos pensar sendo uma partícula! Logo:

I s i s t e m a = M L 2 12 + m L 2 2

E então:

L → d e p o i s = M L 2 12 + m L 2 4   ω   k ^

Juntando os resultados dos momentos angulares:

m v L 2   k ^ = L 2 4 M 3 + m ω   k ^

Chegamos então ao valor da velocidade angular:

ω → = 2 m v L M 3 + m   k ^

AEEW! Chegamos no resultado!!

Antes de terminar, cabe um adendo. Temos que nos atentar quando há alteração do momento de inércia. Se liga:

Imagina então que você tá lá rodando sua “marimba”, usando um fio de comprimento L , uma pedra de massa m e aplicando uma velocidade angular ω . Se você “der mais linha”, aumentando o comprimento do fio pra L ' , qual vai ser a nova velocidade angular da pedra?

Sabemos que o momento de inércia muda quando aumentamos o fio, porque estamos alterando o raio, então:

I = m L 2 → I ' = m L ' 2

E conservando o momento angular, teríamos:

I ω = I ' ω '

E então:

ω ' = I I ' ω → ω ' = L 2 L ' 2 ω

A conta em si não é tão complicada, né? Encontramos a nova velocidade angular com base nos nossos dados, então temos que ter bastante atenção pra saber quando usar a conservação do momento angular, que pode se conservar mesmo que exista a alteração do momento de inércia, desde que o sistema esteja livre da atuação de torques externos.

Só nos resta então uma solução: bora praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-PF-2015.1-ME3

Considere as afirmativas abaixo:

(I) Em uma colisão inelástica, o momento linear do sistema nunca é conservado.

(II) A velocidade do centro de massa de um sistema de partículas é sempre constante.

(III) Forças internas nunca alteram o momento linear total de um sistema de partículas.

(IV) O momento linear e o momento angular de um sistema de partículas sempre se conservam sob a ação de um par de forças externas de mesmo módulo, direção e sentidos opostos.

São verdadeiras apenas as afirmativas:

(a) I

(b) III

(c) II e IV

(d) II e III

(e) III e IV

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Passo 1

Vamos ver as afirmativas uma por uma!

Afirmativa (I):

O fato da colisão ser inelástica não muda nada! Pro momento linear ser conservado, basta não ter forças externas atuando no sistema, seja a colisão elástica, inelástica ou nenhuma das duas.

Então a afirmativa é falsa.

Passo 2

Afirmativa (II):

Essa propriedade só é válida num caso particular, se a soma das forças externas atuando no sistema é nula!

A afirmativa é falsa.

Passo 3

Afirmativa (III):

A gente sempre fala que o momento linear do sistema se conserva se não tem forças externas atuando né? Isso porque são elas que alteram o momento linear do sistema.

A gente nunca fala das forças internas porque elas não mexem no momento linear, elas justamente são as forças que não são internas.

Portanto, a afirmativa é verdadeira.

Passo 4

Afirmativa (IV):

Que nem a gente já viu algumas vezes nessa questão, pro momento linear se conservar a soma das forças externas tem que ser zero. E a soma de duas forças externas de mesmo módulo, direção e sentidos opostos dá zero, certo? Então nesse caso o momento linear se conserva.

Passo 5

Agora vamos dar uma olhada no momento angular.

Pra ele se conservar, a soma dos torques externos (em relação a um certo eixo) é que tem que dar zero. E o torque realizado por 2 forças externas de mesmo módulo, direção e sentidos opostos pode muito bem dar diferente de zero!

Saca:

As forças F → e - F → realizam torque em relação ao eixo passando pelo centro de massa da barra!

Então num caso como esse o momento angular não se conserva.

Portanto, a alternativa é falsa.

Resposta

Alternativa (b)

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 321-44

O rotor de um motor elétrico tem um momento de inércia I m = 2,0 . 10 - 3   k g . m 2 em relação ao eixo central. O motor é usado para mudar a orientação da sonda espacial no qual está montado. O eixo do motor coincide com o eixo central da sonda; a sonda possui um momento de inércia I p = 12   k g   .   m 2 em relação a esse eixo. Calcule o número de revoluções do rotor necessárias para fazer a sonda girar 30 ° em torno do eixo central.

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Passo 1

Como não há torques externos ao sistema, podemos usar conservação do momento angular.

I m ω m = I p ω p

Se multiplicarmos ambos os lados por d t e integrarmos:

∫ I m ω m d t = ∫ I p ω p d t

I m ∫ ω m d t = I p ∫ ω p d t

Assim como na translação, essas integrais valem a distância percorrida, nesse caso, a distância percorrida é angular.

I m ∆ θ m = I p ∆ θ p

∆ θ m = I p I m ∆ θ p

Substituindo os valores:

∆ θ m = 12 2,0   x   10 - 3   30 ° → ∆ θ m = 1,8   .   10 5   °

Sabemos que cada revolução é igual a 360 ° , então

N = 1,8   .   10 5 360   r e v → N = 500   r e v

Resposta

500   r e v o l u ç õ e s

Exercício Resolvido #3

UFRJ-PF-2014.2-ME3

Uma nave espacial isolada tem um eixo de simetria em relação ao qual seu momento de inércia é I 0 . A nave gira em torno desse eixo com velocidade angular constante de módulo ω 0 . Aciona-se um mecanismo interno da nave que reduz seu tamanho, sem perder sua simetria relativa ao eixo de rotação, de modo que ao final seu momento de inércia relativo a esse eixo se reduz a I f = 2 I 0 / 3 . A velocidade angular final ω f da nave no tamanho final é dada por

(a) ω f = 3 2 ω 0

(b) ω f = ω 0

(c) ω f = 3 2 ω 0

(d) ω f = 2 3 ω 0

(e) ω f = 2 3 ω 0

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Passo 1

Vejamos, a questão envolve rotação e os dados são momento de inércia e velocidade angular. Está pedindo pra gente usar a fórmula do momento angular

L = I ω

Por isso, vamos assumir que não há torque externo sendo realizado em relação ao eixo de rotação, assim o momento angular se conserva. (Sim, é chato ficar assumindo coisas mas quando o enunciado não tá claro é o jeito!)

Passo 2

Pronto! Isso significa que

L f = L 0

⇒ I f ω f = I 0 ω 0

⇒ 2 3 I 0 ω f = I 0 ω 0

⇒ 2 3 ω f = ω 0

⇒ ω f = 3 2 ω 0

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #4

UNICAMP-P3-2014.B

Um homem com os braços junto ao corpo está em cima de uma cadeira giratória que gira sem atrito. Quando o homem estende os braços:

a) A velocidade angular da cadeira aumenta

b) A velocidade angular da cadeira continua a mesma

c) O momento de inércia do homem diminui

d) A energia cinética do sistema aumenta

e) O momento angular do sistema continua o mesmo

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Passo 1

Bem, lembrando dá fórmula:

τ → = I C M . α →

Vemos que a aceleração angular é diretamente influenciada pelo momento de inércia. Ou seja, visto que estender os braços não altera o torque, podemos encarar ele como constante. Então, se aumentarmos o momento de inércia, a aceleração angular irá diminuir para manter o torque constante, e vice versa.

Como a aceleração é intimamente ligada a velocidade. Podemos afirmar a mesma coisa. Se o momento de inércia aumenta, a velocidade cai e vice versa.

Certo, já deu para perceber que só precisamos analisar o momento de inércia para acertar a questão!

A fórmula do momento de inércia é:

I C M = ∫ r 2 d m

Ou seja, depende quadraticamente da distância ao centro de massa. Então, como ao abrir os braços o homem aumenta a distância até o centro de massa, ele também estará aumentando o momento de inércia.

Então nossa conclusão é que o momento de inércia aumenta e consequentemente a velocidade e aceleração angulares iram diminuir.

Vamos então analisar as alternativas.

Alternativa a : A velocidade angular da cadeira aumenta.

Errado. Já concluímos que a velocidade angular diminui.

Alternativa b : A velocidade angular da cadeira continua a mesma.

Errado. Como já dissemos, a velocidade angular diminui.

Alternativa c : O momento de inércia do homem diminui.

Errado. Já vimos que o momento de inércia aumenta.

Alternativa d : A energia cinética do sistema aumenta.

Errado. Se a velocidade angular diminui, a energia cinética também diminui já que possui a fórmula:

E c = 1 2 I ω 2

Alternativa e : O momento angular do sistema continua o mesmo.

Vamos verificar. Analisando a fórmula:

d d t L → = τ E X T

Ou seja, para termos variação do momento angular, é preciso ter um torque externo. E não tem torque externo ao sistema cadeira+homem. Logo essa alternativa está correta. O momento angular se conserva.

Resposta

Alternativa e

Exercício Resolvido #5

UFRJ-P2-2012.2-ME8

Um disco uniforme é montado em um eixo horizontal de massa desprezível, em torno do qual pode girar livremente, como mostra o diagrama. O momento de inércia do disco em relação ao eixo é I . O disco está inicialmente girando com velocidade angular ω 0 ; vide figura. O disco é movimento horizontalmente para esquerda até que sua face entre em contato com um disco idêntico, que está inicialmente em repouso. Depois de um pequeno intervalo de tempo, os dois discos acoplam-se e passa a girar juntos com uma velocidade angular final ω f . Em relação às grandezas: velocidade angular final, energia cinética de rotação e momento angular do sistema, pode-se afirmar que ao final do processo de acoplamento:

  1. ω f = ω 0 / 2 , não é conservada, não é conservado;
  2. 2 ω f = ω 0 , é conservada, não é conservado;
  3. ω f = ω 0 , é conservada, não é conservado;
  4. ω f = ω 0 / 2 , não é conservada, é conservado;
  5. ω f = ω 0 / 2 , é conservada, é conservado;
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Passo 1

Como não temos torques externos o momento angular do sistema se conserva

L a n t e s = L d e p o i s

Vamos ter

L a n t e s = I ⋅ ω 0

E

L d e p o i s = I ⋅ ω f + I ⋅ ω f

Igualando vamos ter

I ⋅ ω 0 = 2 I ⋅ ω f

ω 0 = 2 ω f

Passo 2

Já vimos que o momento angular é conservado vamos agora calcular a energia cinética inicial e a final, que neste caso é apenas de rotação

K 0 = I ω 0 2 2

E

K f = I ω f 2 2 + I ω f 2 2 = I ω f 2

Como

ω 0 2 = ω f

Vamos ter

K f = I ω 0 2 2 = I ω 0 2 4

Então a energia cinética não se conserva.

Resposta

Letra D

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