Rolamento com Deslizamento

Teoria Completa

Introdução

Se você já viu rolamento sem deslizamento, lembra como calculávamos a velocidade e aceleração angular do movimento certo? Mas lembra que a velocidade no ponto que o objeto tocava o chão era zero? E se a velocidade for diferente de zero nesse ponto o que vai acontecer?

Se antes o objeto só girava, agora ele também desliza e faz os dois movimento juntos!

Se há deslizamento, aquele bizu da velocidade do ponto em contato com o chão ser zero não vale, assim o ponto não está em em repouso. Sem esse ponto em repouso, somos incapazes de usar aquelas relações diretas entre velocidade linear e velocidade angular.

Diferente do rolamento sem deslizamento, como o ponto de contato se move, o atrito que aparece é o cinético..

Temos dois casos possíveis:

-Anda mais rápido do que gira

Mas e aí, esse tipo de rolamento vai sempre deslizar? A resposta é não!

O rolamento vai deslizar até que em um certo ponto, voltará a ser rolamento sem deslizamento e porquê? Por causa do atrito!

O atrito no caso de andar mais rápido que gira vai ser responsável por diminuir a velocidade do centro de massa e aumentar a velocidade angular até chegar no ponto em que:

v c m = ω R

Aqui o deslizamento para, e passamos a considerar o movimento sem deslizamento e toda aquela consideração vale.

Como o atrito é sempre contrário ao movimento podemos representa-lo dessa forma na figura abaixo.

E repara na figura que é como a gente viu ali em cima, ele está no sentido oposto da velocidade do centro de massa e no mesmo sentido da velocidade angular.

O outro caso é quando o corpo:

Gira mais rápido do que anda

E o atrito? Moleza né? Tem que estar no sentido contrário da velocidade no ponto de contato.

Nesse caso aqui, ele acelera a velocidade do centro de massa e diminui a velocidade angular mas de novo, tende ao ponto onde o deslizamento para pois chega na situação

v c m = ω R

Show! Mas como se trabalha com isso?

Rolamento com deslizamento

Se liga nesse exemplo:

Um disco de massa M = 1 k g e raio R = 0,5 m   é lançado, no instante t = 0 com velocidade v 0 = 4 m / s em um plano que possui coeficiente de atrito cinético μ k = 0,4 com o disco. Depois de quanto tempo o disco pára de deslizar? A velocidade angular ω 0 é nula no instante inicial.

As forças que agem no disco são:

Se ligou que a F a t aponta para a esquerda? É o caso em que ele gira menos do que anda e isso pois ω 0 = 0 . O ponto de contato está se movendo para a direita e a força de atrito se opõe a esse movimento.

Se formos calcular o torque resultante no corpo escolhendo o centro do disco como referência, temos:

τ = F a t R

E como a força de atrito é cinética, temos que o módulo dessa força é constante.

F a t = μ k N

Aqui no rolamento com deslizamento podemos usar essa fórmula? A resposta é SIM! Isso por que o atrito cinético só tem um valor possível (diferente do atrito estático).

Como o disco não executa movimento na vertical,

P = N

F a t = μ K P = μ K M g

Substituindo:

F a t = 0,4 × 1 × 9,81

F a t = 3,924 N

Reunindo os resultados:

τ = F a t R = 3,924 × 0,5 = 1,962 N m

Com o valor do torque, conseguimos encontrar o valor da aceleração angular usando a segunda lei de Newton da rotação!

τ = I α

α = τ I

Como a gente tá falando de um disco o momento de inércia é:

I = 1 2 M R 2

I = 1 2 × 1 × 0,5 2 = 0,125 k g m 2

E substituindo:

α = 1,962 0,125 = 15,7 r a d / s 2

Assim a velocidade angular é dada por

ω t = ω 0 + α t

Como ω 0 = 0 , a equação da velocidade angular substituindo a aceleração é:

ω t = 15,7 t

Agora vamos olhar o movimento de translação. A segunda lei de Newton fica

M a = - F a t

a = - F a t M = - μ K M g M

a = - μ K g

a = - 0,4 × 9,81 = - 3,924 m / s 2

E a velocidade do disco é dada por

v t = v 0 + a t

v t = v 0 - 3,924 t

Repara que não usamos v t = ω t R , já que estamos falando de um rolamento com deslizamento!!!

Beleza, mas e aí?

Vimos que a velocidade linear está diminuindo e que a velocidade angular está aumentando.

A pergunta que queremos responder é quando o corpo para de deslizar e começa a rolar sem deslizamento.

Isso vai acontecer quando em um dado intervalo de tempo t obedecermos a condição de não deslizamento

v t = ω t R

Já temos v t e ω ( t ) ! Assim

v 0 - a t = ω t R

Isolando o tempo t

t = v 0 - ω t R a

Substituindo:

t = 4 - 0,5 × 15,7 t - 3,924

Agora rearrumando em função de t:

- 3,924 t + 7,85 t = 4

t = 4 3,926 = 1,02 s

Ou seja, a partir desse tempo que acima que o corpo começa a rolar sem deslizar!

E se por acaso o nosso exemplo fosse do caso que gira mais do que anda? O jeito de calcular seria muito parecido, mas em primeiro ponto isso aqui mudaria.

Nesse caso a F a t se opõe ao giro, como mostrado e pra resumir o que vai mudar vai ser:

v t = v 0 + a t

E aqui a aceleração vai ser positiva, diferente do ultimo caso e aí é só ir substituindo os valores no mesmo processo até encontrar que:

v ( t ) = ω ( t ) R

E dali em diante as contas seguem bem parecidas, a questão é só observar quem começa maior se é v 0 ou se é ω 0 isso vai definir se o maior movimento é de translação ou rotação.

Partiu exercícios?

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Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 319-13.

Um jogador de boliche arremessa uma bola de raio R = 11   c m ao longo de uma pista. A bola (Fig. 11-37) desliza sobre a pista com velocidade inicial v c m , 0 = 8,5   m / s e a velocidade angular inicial ω 0 = 0 . O coeficiente de atrito cinético entre a bola e a pista é 0,21 . A força de atrito cinético f → , que age sobre a bola produz uma aceleração linear e uma aceleração angular. Quando a velocidade v c m diminui o suficiente e a velocidade angular ω aumenta o suficiente, a bola pára de deslizar e passa a rolar suavemente. (a) Qual é o valor de v c m em termos de ω nesse instante? Durante o deslizamento, quais são (b) a aceleração linear e (c) a aceleração angular da bola? (d) Por quanto tempo a bola desliza? (e) Que distância a bola desliza? (f) Qual é a velocidade linear da bola quando começa a rolar suavemente?

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Passo 1

Como dito no enunciado, o movimento da bola é dividido em duas partes:

  • Deslizamento: A força de atrito age diminuindo a velocidade linear e aumentando a velocidade angular, até esta última chegar no valor certo para a bola começar a rolar;
  • Rolamento: A força de atrito cinético deixa de agir e a bola entra em um movimento regular de translação e rotação.

Se a velocidade linear e a velocidade angular estão mudando, temos aceleração linear e aceleração angular agindo! Vamos fazer o diagrama de corpo livre da bola pra tentar entender:

Agora vamos analisar como essas forças agem em cada movimento: rotação e translação.

Passo 2

Na translação, temos que a bola não se move na vertical, portanto, pela primeira lei de Newton:

P - N = 0 → P = N

Vamos arbitrar que o eixo x cresce para a direita, no mesmo sentido da velocidade inicial da bola. Portanto, usando a segunda lei de Newton no eixo horizontal:

f = - M a

f é a força de atrito cinético, portanto, tem valor constante:

f = μ N → f = μ P

E então:

a = - μ P M → a = - μ g

Substituindo os valores:

a → = -   0,21   .   9,8   i ^ → a → = - 2,06 m s 2 i ^

Isso responde a letra (b), mas vamos guardar o nosso resultado!

Passo 3

Já para a rotação, temos que, em relação ao centro de massa da esfera, somente a força f realiza torque, portanto:

τ = - R f

Sabemos que f tem valor constante:

τ = - μ R N → τ = - μ R P

Se usarmos a segunda lei de Newton da rotação:

τ = I α

O momento de inércia da esfera é tabelado:

I = 2 5 M R 2

Portanto:

- μ R M g = 2 5 M R 2 α

E conseguimos o valor para a aceleração angular:

α = - 5 2 μ g R

Substituindo os valores:

α = - 5 2 0,21   .   9,8 0,11 → α = - 46,77   r a d / s 2

Isso responde a letra (c)!

Passo 4

Aprendemos que a característica principal do rolamento sem deslizamento é:

v C M = - ω R

Substituindo os valores:

v C M = - 0,11 ω

Isso nos responde a letra (a)!

Passo 5

Agora nós temos a relação entre v C M e ω , bem como essas duas grandezas variam com o tempo, saca só:

v c m = v 0 + a t

ω = ω 0 + α t

Juntando tudo, temos:

v 0 + a t = - 0,11 ( ω 0 + α t )

Dessa equação, já temos os valores de:

  • v 0 , dado no enunciado, é igual a 8 , 5   m / s
  • a , encontrado no Passo 2, é igual a - 2,06   m / s 2
  • ω 0 , dado no enunciado, é igual a 0
  • α , encontrado no Passo 3, é igual a - 46,77   r a d / s 2

Substituindo os valores:

8 , 5 - 2,06 t = 0,11   .   46,77 t

t = 8 , 5 7,2047 → t = 1,18   s

Show! Estamos quase lá! Isso aí já responde a letra (d).

Passo 6

Com o tempo que a bola fica deslizando, é fácil encontrar as respostas das letras (e) e (f).

Pra descobrirmos a distância, vamos usar a equação clássica da cinemática:

S = S 0 + v 0 t + a t 2 2

Com:

  • Queremos descobrir quanto ela andou, portanto, S 0 = 0
  • v 0 , dado no enunciado, é igual a 8 , 5   m / s
  • a , encontrado no Passo 2, é igual a - 2,06   m / s 2
  • t , encontrado no Passo 5, é igual a 1,18   s