Momento Angular

Teoria Completa

Um dia eu aprendi lá na escola que Momento Linear podia ser chamado também de “Quantidade de Movimento” e esse segundo nome fazia muito sentido para mim, porque a fórmula era   p → = m ⋅ v → , então quanto mais massa o objeto tinha ou quanto mais rápido ele estava seguindo em uma direção, mais movimento ele teria, mais difícil seria para para-lo. Mas um dia vieram me ensinar na faculdade que existia um tal de Momento Angular, e ai eu fiquei confuso... Vamos dar uma olhada...

O que é momento angular?

Hoje vamos continuar vendo algumas semelhanças entre a translação e a rotação. São relações que podemos criar para nos ajudar a entender melhor os conceitos e guardar as fórmulas!

Tá ligado na irmandade entre a rotação e a translação? Sabe quem é o irmãozinho do momento linear? É o momento angular que esta relacionado com o movimento de rotação dos corpos. Foi ai que eu pensei que isso podia ser tipo uma “Quantidade de Movimento Angular”, que aumenta o quanto mais rápido o corpo ta rodando ou quanto mais pesado é o corpo.

Será que existe alguma relação mais intima entre esses dois irmãos ai?

Como calcular o momento angular?

Beleza, então imagina ter que calcular o momento angular de uma partícula que se move em movimento circular presa por um fio em cima de uma mesa:

Então, a partícula tem massa e uma certa velocidade tangencial, portanto ela possui momento linear, mas não podemos esqucer que ela está fazendo um movimento circular, então como ela está rodando, ela vai possuir uma certa quantidade de movimento angular, ou seja, momento angular! Que podemos calcular com o seguinte produto vetorial:

L → = r → × p →

Onde r → é o braço, ou vetor distância, p → é o nosso amigo momento linear e L → o momento angular. Usualmente, essa fórmula é utilizada para calcular o momento angular de corpos pequenos. Podemos lembrar que, quando temos um produto vetorial, podemos usar que:

L → = L = m v r s e n θ

E então, quando r → e p → forem perpendiculares:

L → = L = m v r

Quando pensamos em corpos extensos como um ventilador de teto com duas pás, podemos pensar ele como uma barra homogênea rodando em volta de um eixo que passa pelo seu centro de massa e podemos utilizar o momento de inércia e a velocidade angular para descobrir o momento angular:

L → = I ω →

Onde o momento angular vai ter a direção da velocidade angular. Lembrando que a direção e o sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão direita!

Relação entre momento angular e torque?

Quando dizemos que o momento linear se conserva, dizemos que o sistema está livre da atuação de forças externas. Então se existe a variação do momento linear, existe algum tipo de Força no sistema que ta gerando essa variação. Podemos ver isso pela fórmula que relaciona força, momento linear, e tempo:

d p → d t = F →

Na rotação não é tão diferente, mas sabemos que haverá uma troca de variáveis.

  • O momento linear p → vira o momento angular L → ;
  • A força F → vira o torque τ → .

Então, o momento angular está intimamente relacionado a existência, ou não, de torques no sistema:

τ → = d L → d t

Análise de gráficos

Tem muitas variáveis aí vagando na tua cabeça, né? Vamos ver como elas aparecem mais: na análise de gráficos que as relacionam.

Se liga nesse gráfico L   x   t :

A pergunta é: que informações conseguimos tirar desse gráfico? Aprendemos ali em cima que:

d L d t = τ

Pelo gráfico, vimos que a variação do momento angular com o tempo segue uma relação linear, então, de cara podemos falar que o torque é constante!

A inclinação da reta define o valor do torque:

t g   α = τ

Se tivermos mais informações sobre o corpo que está sendo analisado, podemos ir mais além! Sabendo o momento de inércia, usamos a segunda lei de Newton da rotação:

τ = I α

E encontramos a aceleração angular a que o corpo está sujeito.

Outro gráfico comum é o de torque por tempo, τ   x   t :

Temos aí uma curva aleatória do torque variando com o tempo. O que você faria se te pedissem o momento angular que age no corpo no momento T ?

Vamos às equações:

d L d t = τ ( t )

d L = τ t d t

Se integrarmos dos dois lados:

∫ L 1 L 2 d L = ∫ 0 T τ t d t = Á r e a   d o   G r á f i c o

Portanto, se considerarmos que o momento angular no instante t = 0 é nulo, o momento angular no tempo T é a área sobre o gráfico até o ponto T .

Show, temos mais um conceito apresentado, mas é preciso praticar pra que ele seja entendido. Mãos a obra, meus amigos!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 325-84

Um avião de 1200   k g está voando em uma linha reta a 80   m / s , 1,3   k m acima do solo. Qual é o módulo do momento angular do avião em relação a um ponto no solo verticalmente abaixo do local onde ele se encontra?

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Passo 1

Essa aqui não é nada mais do que a aplicação da fórmula do momento angular:

L = m v r

Já que a velocidade e o vetor distância estão fazendo um ângulo de 90 ° entre si. Se liga:

Então:

L = 1200   .   80   .   1,3   .   10 3

L = 124,8   .   10 6   k g   .   m 2 / s

Resposta

L = 124,8   .   10 6   k g   .   m 2 / s

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 320-27

No instante da Fig. 11-41, duas partículas se movem em um plano x y . A partícula P 1 possui uma massa de 6,5   k g e uma velocidade v 1 = 2,2   m / s e está a uma distância d 1 = 1,5   m do ponto O . A partícula P 2 possui uma massa de 3,1   k g e uma velocidade v 2 = 3,6   m / s e está a uma distância d 2 = 2,8   m do ponto O . Quais são (a) o módulo e (b) a orientação do momento angular resultante das duas partículas em relação ao ponto O ?

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Passo 1

Essa é uma boa questão pra botar em prática o que você aprendeu sobre regra da mão direita!

Vamos usar o sistema de eixos dado na figura, onde o eixo z aponta para fora da tela do seu computador.

Queremos o momento angular resultante, que é dado por:

L → = L 1 → + L 2 →

L → = m 1 d 1 → × v 1 → + m 2 ( d 2 → × v 2 → )

Onde d 1 → e d 2 → são vetores que tem origem no ponto O e terminam nos pontos onde estão as partículas P 1 e P 2 , respectivamente.

Substituindo os valores das massas, bem como o módulo, direção e sentido das velocidades e das direções, temos:

L → = 6,5   .   1,5   j ^ × 2,2   i ^ + 3,1   .   ( 2,8   i ^ × 3,6   j ^   )

Usando da regra da mão direita para calcular i ^   x   j ^ e j ^   x   i ^ :

L → = 6,5   .   2,2   .   1,5 -   k ^ + 3,1   .   3,6   .   2,8   k ^

L → = - 21,45 + 31,25   k ^

L → = 9,8   k g . m 2 s   k ^  

Resposta

  1. 9,8   k g . m 2 / s
  2. Perpendicular ao plano x y , apontando para fora da tela.

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P2-2012.1-ME7

Considere uma partícula de massa m presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento d , formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distância d / 2 do teto; g é o módulo da aceleração local da gravidade. Qual é o módulo do momento angular da partícula com relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória?

  1. L = m d 2 g d
  2. L = m d g d
  3. L = 0
  4. L = m d g d / 2
  5. L = m d 2 g d / 3
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Passo 1

O momento angular nesse caso pode ser calculado como

L = d ⋅ p

Isso porque o braço, nesse caso é o comprimento do fio, que é d .

Passo 2

Vamos agora calcular a velocidade da partícula que é o que precisamos para achar o seu momento linear p .

Como temos conservação de energia:

E m 0 = E m f

A energia inicial é:

E m 0 = U 0

Isso porque ele parte do repouso. Considerando o ponto mais baixo da trajetória com altura zero.

U 0 = m g ⋅ d 2 = m g d 2

A energia final é:

E m f = K

K = m v 2 2

Igualando:

m g d 2 = m v 2 2

v 2 = g d

v = g d

Passo 3

O momento linear fica igual a:

p = m v = m g d

E seu momento angular fica igual a:

L = m d g d

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #4

UFRJ-PF-2014.1-ME2

Três partículas de massas iguais a m movem-se na ausência de forças externas com velocidades v → 1 = - v î ,   v → 2 = - v î e v → 3 = - v î + v j ^ . Num dado instante elas ocupam as posições indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total L → O deste sistema de partículas em relação a origem O do eixo de coordenadas da figura é

(a) 0 →

(b) - 2 a v m k ^

(c) a v m k ^

(d) - a v m k ^

(e) - 3 a v m k ^

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Passo 1

A gente calcula o momento angular de uma partícula em relação à origem com a fórmula:

L → = ± d p   k ^ ,

d seria como o braço da alavanca pro torque, a distância da direção da velocidade da partícula à origem, enquanto p = m v é seu momento linear.

O sinal é positivo quando o momento angular faz girar no sentido anti-horário e negativo se ele faz girar no sentido horário.

Passo 2

Vamos começar pela partícula de velocidade v → 1 .

Ela está a uma distância a da origem, e faz girar no sentido anti-horário, então o seu momento angular em relação à origem é:

L → 1 = a p k ^

⇒ L → 1 = a m v k ^

Passo 3

A partícula de velocidade v → 2 também está a uma distância a da origem, mas ela faz girar no sentido horário, então seu momento angular em relação à origem é:

L → 2 = - a p k ^

⇒ L → 2 = - a m v k ^

Passo 4

Vamos finalizar com a partícula de velocidade v → 3 . Repare que a direção dela aponta diretamente pra origem, então pra essa partícula temos d = 0 . Logo,

L → 3 = 0 →

Passo 5

Então o momento angular total L → O desse sistema em relação à origem O é dado por:

L → O = L → 1 + L → 2 + L → 3

⇒ L → O = a m v k ^ - a m v k ^ + 0 →