Momento Angular

Teoria Completa

Um dia eu aprendi lá na escola que Momento Linear podia ser chamado também de “Quantidade de Movimento” e esse segundo nome fazia muito sentido para mim, porque a fórmula era   p → = m ⋅ v → , então quanto mais massa o objeto tinha ou quanto mais rápido ele estava seguindo em uma direção, mais movimento ele teria, mais difícil seria para para-lo. Mas um dia vieram me ensinar na faculdade que existia um tal de Momento Angular, e ai eu fiquei confuso... Vamos dar uma olhada...

O que é momento angular?

Hoje vamos continuar vendo algumas semelhanças entre a translação e a rotação. São relações que podemos criar para nos ajudar a entender melhor os conceitos e guardar as fórmulas!

Tá ligado na irmandade entre a rotação e a translação? Sabe quem é o irmãozinho do momento linear? É o momento angular que esta relacionado com o movimento de rotação dos corpos. Foi ai que eu pensei que isso podia ser tipo uma “Quantidade de Movimento Angular”, que aumenta o quanto mais rápido o corpo ta rodando ou quanto mais pesado é o corpo.

Será que existe alguma relação mais intima entre esses dois irmãos ai?

Como calcular o momento angular?

Beleza, então imagina ter que calcular o momento angular de uma partícula de massa m que se move em movimento circular presa por um fio de tamanho r em cima de uma mesa:

Então, a partícula tem massa e uma certa velocidade tangencial v , portanto ela possui momento linear:

p → = m   .   v →

Mas não podemos esqucer que ela está fazendo um movimento circular, então como ela está rodando, ela vai possuir uma certa quantidade de movimento angular, ou seja, momento angular! Que podemos calcular com o seguinte produto vetorial:

L → = r → × p →

Onde r → é o braço, ou vetor distância, p → é o nosso amigo momento linear e L → o momento angular.

Fazendo a substituição do momento linear na fórmula do momento angular:

L → = r → × m   .   v →

Usualmente, essa fórmula é utilizada para calcular o momento angular de corpos pequenos.

Módulo do momento angular

Podemos lembrar que, quando temos um produto vetorial, podemos usar que o módulo é igual a:

L → = L = m v r s e n θ

Supondo que a massa seja igual a m = 10 k g , a velocidade tenha módulo igual a v =   7 m / s , o raio para rotação r = 5 m e o ângulo feito entre os dois vetores r → e   v → é igual a θ = 90 ° (como visto no desenho), podemos calcular o módulo do momendo angular é:

L → = 10   .   7   .   5   .   s e n 90 °

L → = 350   k g . m / s 2

Vamos perceber uma coisa aqui, quando r → e p → forem perpendiculares, o seno de 90° é igual a 1, então podemos simplificar o momento angular:

L → = L = m v r

Sentido do momento angular

Para isso nós usamos a Regra da mão direita, isso é, direcionamos os quadro dedos, exceto o indicador, no sentido de r e fechamos nossos dedos no sentido em que a força F é aplicada. Nosso dedão apontará para a direção e o sentido do vetor torque.

Vamos pensar nesse primeiro caso aqui:

Pela regra da mão direita, teremos:

Se considerarmos r → = 3 m no sentido positivo de y e v → = 10 m / s no sentido negativo de x . Com a massa m = 5 k g , o momento angular será igual a:

L → = ( 3 j ^ ) × 5   .   ( - 10 î )

L → = 150 k ^

Momento angular de corpos rígidos

Quando pensamos em corpos extensos como um ventilador de teto com duas pás, podemos pensar ele como uma barra homogênea rodando em volta de um eixo que passa pelo seu centro de massa:

Podemos utilizar o momento de inércia I e a velocidade angular ω para descobrir o momento angular:

L → = I ω →

Onde o momento angular vai ter a direção da velocidade angular.

Lembrando que a direção e o sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão direita:

ω → =   r → × v →

Ou seja, tem a seguinte direção:

Relação entre momento angular e torque

Quando dizemos que o momento linear se conserva, dizemos que o sistema está livre da atuação de forças externas. Então se existe a variação do momento linear, existe algum tipo de Força no sistema que ta gerando essa variação. Podemos ver isso pela fórmula que relaciona força, momento linear, e tempo:

d p → d t = F →

Na rotação não é tão diferente, mas sabemos que haverá uma troca de variáveis.

  • O momento linear p → vira o momento angular L → ;
  • A força F → vira o torque τ → .

Então, o momento angular está intimamente relacionado a existência, ou não, de torques no sistema. Ou seja, se nós variarmos a quantidade de torque no sistema, ele vai variar nosso momento angular, concorda?

τ → = d L → d t

Por exemplo, se eu colocar mais torque no nosso ventilador, no sentido do movimento, ele vai girar mais rápido! Assim, podemos encontrar essa variação do momento angular com o torque fornecido no nosso problema ou o contrário.

Torque constante

Primeiro se liga nesse gráfico L   x   t :

A pergunta é: que informações conseguimos tirar desse gráfico? Aprendemos ali em cima que:

d L d t = τ

Pelo gráfico, vimos que a variação do momento angular com o tempo segue uma relação linear, então, de cara podemos falar que o torque é constante!

A inclinação da reta define o valor do torque:

t g   α = τ

Se tivermos mais informações sobre o corpo que está sendo analisado, podemos ir mais além! Sabendo o momento de inércia, usamos a segunda lei de Newton da rotação:

τ = I α

E encontramos a aceleração angular α a que o corpo está sujeito!

Torque variável

Outro gráfico comum é o de torque por tempo, τ   x   t :

Temos aí uma curva aleatória do torque variando com o tempo. O que você faria se te pedissem o momento angular que age no corpo no momento T ?

Vamos às equações:

d L d t = τ ( t )

d L = τ t d t

Se integrarmos dos dois lados:

∫ L 1 L 2 d L = ∫ 0 T τ t d t = Á r e a   d o   G r á f i c o

∆ L = ∫ 0 T τ t d t

Portanto, se considerarmos que o momento angular no instante t = 0 é nulo, o momento angular no tempo T é a área sobre o gráfico até o ponto T .

Show, temos mais um conceito apresentado, mas é preciso praticar pra que ele seja entendido. Mãos a obra, meus amigos!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 325-84

Um avião de 1200   k g está voando em uma linha reta a 80   m / s , 1,3   k m acima do solo. Qual é o módulo do momento angular do avião em relação a um ponto no solo verticalmente abaixo do local onde ele se encontra?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa aqui não é nada mais do que a aplicação da fórmula do momento angular:

L = m v r

Já que a velocidade e o vetor distância estão fazendo um ângulo de 90 ° entre si. Se liga:

Então:

L = 1200   .   80   .   1,3   .   10 3

L = 124,8   .   10 6   k g   .   m 2 / s

Resposta

L = 124,8   .   10 6   k g   .   m 2 / s

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 320-27

No instante da Fig. 11-41, duas partículas se movem em um plano x y . A partícula P 1 possui uma massa de 6,5   k g e uma velocidade v 1 = 2,2   m / s e está a uma distância d 1 = 1,5   m do ponto O . A partícula P 2 possui uma massa de 3,1   k g e uma velocidade v 2 = 3,6   m / s e está a uma distância d 2 = 2,8   m do ponto O . Quais são (a) o módulo e (b) a orientação do momento angular resultante das duas partículas em relação ao ponto O ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa é uma boa questão pra botar em prática o que você aprendeu sobre regra da mão direita!

Vamos usar o sistema de eixos dado na figura, onde o eixo z aponta para fora da tela do seu computador.

Queremos o momento angular resultante, que é dado por:

L → = L 1 → + L 2 →

L → = m 1 d 1 → × v 1 → + m 2 ( d 2 → × v 2 → )

Onde d 1 → e d 2 → são vetores que tem origem no ponto O e terminam nos pontos onde estão as partículas P 1 e P 2 , respectivamente.

Substituindo os valores das massas, bem como o módulo, direção e sentido das velocidades e das direções, temos:

L → = 6,5   .   1,5   j ^ × 2,2   i ^ + 3,1   .   ( 2,8   i ^ × 3,6   j ^   )

Usando da regra da mão direita para calcular i ^   x   j ^ e j ^   x   i ^ :

L → = 6,5   .   2,2   .   1,5 -   k ^ + 3,1   .   3,6   .   2,8   k ^

L → = - 21,45 + 31,25   k ^

L → = 9,8   k g . m 2 s   k ^  

Resposta

  1. 9,8   k g . m 2 / s
  2. Perpendicular ao plano x y , apontando para fora da tela.

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P2-2012.1-ME7

Considere uma partícula de massa m presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento d , formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distância d / 2 do teto; g é o módulo da aceleração local da gravidade. Qual é o módulo do momento angular da partícula com relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória?

  1. L = m d 2 g d
  2. L = m d g d
  3. L = 0
  4. L = m d g d / 2
  5. L = m d 2 g d / 3
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O momento angular nesse caso pode ser calculado como

L = d ⋅ p

Isso porque o braço, nesse caso é o comprimento do fio, que é d .

Passo 2

Vamos agora calcular a velocidade da partícula que é o que precisamos para achar o seu momento linear p .

Como temos conservação de energia:

E m 0 = E m f

A energia inicial é:

E m 0 = U 0

Isso porque ele parte do repouso. Considerando o ponto mais baixo da trajetória com altura zero.

U 0 = m g ⋅ d 2 = m g d 2

A energia final é:

E m f = K