Teoria

O momento angular é uma relação entre a inércia de um corpo e sua velocidade angular. Ele é uma grandeza física vetorial que mede a quantidade de movimento de um corpo em rotação.

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Fórmula do Momento Angular

Imagina uma partícula de massa que se move em movimento circular presa por um fio de tamanho  em cima de uma mesa:

Partícula em movimento circular
Partícula em movimento circular

Para calcular o momento angular dessa partícula, usamos a seguinte fórmula:

Onde:

  •  é o raio entre o objeto e o eixo de rotação;
  • é a massa do objeto;
  •   é a velocidade linear do objeto.

-Beleza, mas da onde surgiu essa fórmula?! O momento angular tem alguma relação com o momento linear?!

Excelente pergunta, vamos entender isso agora!

Momento Angular x Momento Linear

O momento angular é o irmão do momento linear, mas que trata da rotação e por isso utiliza a velocidade angular do corpo.

Observando o exemplo acima, podemos ver que nossa partícula tem massa e uma certa velocidade tangencial , portanto ela possui momento linear, que é dado pela fórmula:

Mas não podemos esquecer que ela também está fazendo um movimento circular, então ela vai possuir uma certa quantidade de movimento angular, ou seja, momento angular!

Que podemos calcular com o seguinte produto vetorial:

Onde é o vetor distância, ou braço;  é o nosso amigo momento linear; e é o momento angular.

Fazendo a substituição do momento linear na fórmula do momento angular de uma partícula:

Que é exatamente a fórmula que vimos ali em cima!

Sentido do momento angular

O momento angular é uma grandeza vetorial, isso significa que ela possui módulo, direção e sentido.

Para descobrirmos o sentido do momento angular, a gente vai usar a regra da mão direita! Ela é bem simples, se liga na imagem abaixo:

Regra da mão direita
Regra da mão direita

Na regra da mão direita, fazemos os quatro dedos girarem no mesmo sentido que a partícula, e dessa forma o dedão vai apontar para a direção do momento angular.

Uma outra forma de escrever a regra da mão direita é: o dedo médio aponta para a direção do vetor velocidade; o dedo indicador aponta a direção do vetor distância, consequentemente, o polegar vai apontar pra direção do momento angular. Vamos pensar nesse primeiro caso aqui:

Vetores para regra da mão direita
Vetores para regra da mão direita

Pela regra da mão direita, teremos:

Sentido de giro
Sentido de giro

Maneiro, não é?!

Agora, vamos praticar com exercícios?

Fórmula do Momento Angular

Sentido do momento angular

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um avião de 1200   k g está voando em uma linha reta a 80   m / s , 1,3   k m acima do solo. Qual é o módulo do momento angular do avião em relação a um ponto no solo verticalmente abaixo do local onde ele se encontra?

Passo 1

Essa aqui não é nada mais do que a aplicação da fórmula do momento angular:

L = m v r

Já que a velocidade e o vetor distância estão fazendo um ângulo de 90 ° entre si. Se liga:

Então:

L = 1200   .   80   .   1,3   .   10 3

L = 124,8   .   10 6   k g   .   m 2 / s

Resposta

L = 124,8   .   10 6   k g   .   m 2 / s

Exercício Resolvido #2

No instante da Fig. 11-41, duas partículas se movem em um plano x y . A partícula P 1 possui uma massa de 6,5   k g e uma velocidade v 1 = 2,2   m / s e está a uma distância d 1 = 1,5   m do ponto O . A partícula P 2 possui uma massa de 3,1   k g e uma velocidade v 2 = 3,6   m / s e está a uma distância d 2 = 2,8   m do ponto O . Quais são (a) o módulo e (b) a orientação do momento angular resultante das duas partículas em relação ao ponto O ?

Passo 1

Essa é uma boa questão pra botar em prática o que você aprendeu sobre regra da mão direita!

Vamos usar o sistema de eixos dado na figura, onde o eixo z aponta para fora da tela do seu computador.

Queremos o momento angular resultante, que é dado por:

L → = L 1 → + L 2 →

L → = m 1 d 1 → × v 1 → + m 2 ( d 2 → × v 2 → )

Onde d 1 → e d 2 → são vetores que tem origem no ponto O e terminam nos pontos onde estão as partículas P 1 e P 2 , respectivamente.

Substituindo os valores das massas, bem como o módulo, direção e sentido das velocidades e das direções, temos:

L → = 6,5   .   1,5   j ^ × 2,2   i ^ + 3,1   .   ( 2,8   i ^ × 3,6   j ^   )

Usando da regra da mão direita para calcular i ^   x   j ^ e j ^   x   i ^ :

L → = 6,5   .   2,2   .   1,5 -   k ^ + 3,1   .   3,6   .   2,8   k ^

L → = - 21,45 + 31,25   k ^

L → = 9,8   k g . m 2 s   k ^  

Resposta

  1. 9,8   k g . m 2 / s
  2. Perpendicular ao plano x y , apontando para fora da tela.

Exercício Resolvido #3

Considere uma partícula de massa m presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento d , formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distância d / 2 do teto; g é o módulo da aceleração local da gravidade. Qual é o módulo do momento angular da partícula com relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória?

  1. L = m d 2 g d
  2. L = m d g d
  3. L = 0
  4. L = m d g d / 2
  5. L = m d 2 g d / 3

Passo 1

O momento angular nesse caso pode ser calculado como

L = d ⋅ p

Isso porque o braço, nesse caso é o comprimento do fio, que é d .

Passo 2

Vamos agora calcular a velocidade da partícula que é o que precisamos para achar o seu momento linear p .

Como temos conservação de energia:

E m 0 = E m f

A energia inicial é:

E m 0 = U 0

Isso porque ele parte do repouso. Considerando o ponto mais baixo da trajetória com altura zero.

U 0 = m g ⋅ d 2 = m g d 2

A energia final é:

E m f = K

K = m v 2 2

Igualando:

m g d 2 = m v 2 2

v 2 = g d

v = g d

Passo 3

O momento linear fica igual a:

p = m v = m g d

E seu momento angular fica igual a:

L = m d g d

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #4

Três partículas de massas iguais a m movem-se na ausência de forças externas com velocidades v → 1 = - v î ,   v → 2 = - v î e v → 3 = - v î + v j ^ . Num dado instante elas ocupam as posições indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total L → O deste sistema de partículas em relação a origem O do eixo de coordenadas da figura é

(a) 0 →

(b) - 2 a v m k ^

(c) a v m k ^

(d) - a v m k ^

(e) - 3 a v m k ^

Passo 1

A gente calcula o momento angular de uma partícula em relação à origem com a fórmula:

L → = ± d p   k ^ ,

d seria como o braço da alavanca pro torque, a distância da direção da velocidade da partícula à origem, enquanto p = m v é seu momento linear.

O sinal é positivo quando o momento angular faz girar no sentido anti-horário e negativo se ele faz girar no sentido horário.

Passo 2

Vamos começar pela partícula de velocidade v → 1 .

Ela está a uma distância a da origem, e faz girar no sentido anti-horário, então o seu momento angular em relação à origem é:

L → 1 = a p k ^

⇒ L → 1 = a m v k ^

Passo 3

A partícula de velocidade v → 2 também está a uma distância a da origem, mas ela faz girar no sentido horário, então seu momento angular em relação à origem é:

L → 2 = - a p k ^

⇒ L → 2 = - a m v k ^

Passo 4

Vamos finalizar com a partícula de velocidade v → 3 . Repare que a direção dela aponta diretamente pra origem, então pra essa partícula temos d = 0 . Logo,

L → 3 = 0 →

Passo 5

Então o momento angular total L → O desse sistema em relação à origem O é dado por:

L → O = L → 1 + L → 2 + L → 3

⇒ L → O = a m v k ^ - a m v k ^ + 0 →

⇒ L → O = 0 →

Resposta

Alternativa (a)

´

Exercício Resolvido #5

A figura mostra a trajetória reta de uma partícula de massa m no plano x y com velocidade constante v → . É INCORRETO afirmar sobre o movimento que:

(a) o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.

(b) o momento angular em relação à origem é nulo.

(c) o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo y é nulo.

(d) o torque total sobre a partícula é nulo.

(e) a força resultante sobre a partícula é nula.

Passo 1

Vamos analisar as alternativas uma a uma:

Alternativa (a): o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.

Pela fórmula:

L → = I . ω

Derivando dos dois lados:

d L → d t = I . α

d L → d t = τ e x t →

Ou seja, o momento angular só varia na presença de um torque externo ao sistema. Como não tem nenhuma força externa atuando no sistema, também não tem torque externo. Logo o momento angular não varia.

Então a alternativa (a) é verdadeira.

Alternativa (b): o momento angular em relação à origem é nulo.

O momento angular pode ser calculado por:

L → = r → × m v →

Onde r → é o vetor posição em relação a algum ponto. Para que esse produto vetorial seja nulo, o vetor posição deve estar paralelo à velocidade.

O vetor posição da partícula em relação a origem não está paralelo a velocidade. Então a alternativa é a incorreta que estamos procurando!

Vamos olhar as outras só para ter certeza.

Alternativa (c): o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo y é nulo.

Essa é a mesma coisa que a alternativa anterior, só que agora é em relação ao ponto de interseção com o eixo y . E nesse caso, o vetor posição está em paralelo com a velocidade e o momento angular realmente será nulo.

Então a alternativa é verdadeira.

Alternativa (d): o torque total sobre a partícula é nulo.

Como já dissemos na alternativa (b), visto que não há força externa, também não haverá torque externo. Assim diz a fórmula:

τ → = r → × F →

Logo a alternativa é verdadeira.

Alternativa (e): a força resultante sobre a partícula é nula.

Também já dissemos que não possui força externa sobre a partícula. Isso pode ser provado pelo fato de a velocidade ser constante. Então pela fórmula:

F → = m . a →

Se não há aceleração, a força resultante é nula.

Resposta

Letra (b)

Exercício Resolvido #6

A Fig. 11-46 mostra o torque τ que age sobre um disco inicialmente estacionário que pode girar em torno do seu centro como um carrossel em função do tempo. Qual é o momento angular do disco em relação ao eixo de rotação nos intantes (a) t = 7,0   s e (b) t = 20   s ?

Passo 1

Aprendemos que, se temos um gráfico τ   x   t :

L T = Á r e a   d o   g r á f i c o   a t é   o   t e m p o   T

Então vamos lá:

Passo 2

  1. T = 7,0   s
  2. Calculando as áreas, tendo como base que cada quadradinho tem tamanho 1:

    1. A 1 , retângulo de base 2 e altura 8 :
    2. A 1 = 2   .   8 → A 1 = 16

    3. A 2 , trapézio de base maior 8 , base menor 6 e altura 2:
    4. A 2 = 8 + 6 .   2 2 → A 2 = 14

    5. A 3 , retângulo de base 3 e altura 6 :

    A 3 = 3   .   6 → A 3 = 18

    Portanto, como o disco está em estado estacionário( L 0 = 0 ), temos:

    L 7 = 16 + 14 + 18

    L 7 = 48   N . m . s

    Passo 3

  3. T = 20,0 s

Já calculamos a soma de A 1 ,   A 2 e A 3 , nos resta então calcular as outras duas áreas:

  • A 4 , área de um triângulo de base 2 e altura 6 .
  • A 4 = 2   .   6 2 → A 4 = 6

  • A 5 , área de um trapézio de base maior 11 , base menor 6 e altura 6 .

A 5 = 11 + 6 . 6 2 → A 5 = 51

E então, lembrando que devemos diminuir a última área, já que está abaixo do eixo, temos:

L 20 = 48 + 6 - 51

L 20 = 3   N . m . s

Resposta

  1. 48   N . m . s
  2. 3   N . m . s

Exercício Resolvido #7

O momento angular de um volante com um momento de inércia de 0,140   k g   .   m 2 em relação ao eixo central diminui de 3,00 para 0,800   k g   .   m 2 / s em 1,50   s . (a) Qual é o módulo do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o volante durante esse período? (b) Supondo que uma aceleração angular constante, de que ângulo o volante gira? (c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante? (d) Qual é a potência média do volante?

Passo 1

Aprendemos que:

τ = d L d t

Mas, como nesse item ele pede o torque médio:

τ m é d i o = ∆ L ∆ t = 0,8 - 3 1,5 = - 2,2 1,5

τ m é d i o = - 1,47   N . m

Como foi pedido o módulo, a resposta da letra (a) é apenas o valor absoluto do torque médio.

τ m é d i o = 1,47   N . m

Passo 2

Conhecemos a relação:

L = I ω

E, temos também a equação de torricelli da rotação, se liga:

ω 2 = ω 0 2 + 2 α ∆ θ

Como o momento de inércia é uma constante:

L I 2 = L 0 I 2 + 2 α ∆ θ

Para encontrar o valor de α , vamos usar a segunda lei de Newton da rotação:

τ = I α

Agora sabemos todos os valores, exceto ∆ θ :

0,8 0,14 2 = 3 0,14 2 + 2 - 1,47 0,14 ∆ θ

∆ θ = 20,3   r a d

Passo 3

Assim como o trabalho de uma força lá na translação era dado por:

W = F   .   d

Aqui é só mudar as letrinhas:

  • A força vira o torque
  • A distância vira o ângulo percorrido

W = τ   .   ∆ θ = - 1,47   .   20,3

W = - 29,8   J

Passo 4

A potência mantém a sua definição: trabalho realizado por tempo.

P = W ∆ t = 29,8 1,5

P = 19,8   W

Resposta

(a) 1,47   N . m

(b) 20,3   r a d

(c) - 29,8   J

(d) 19,8   W

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