Teoria

O que é momento angular?

O momento angular é uma relação entre a inércia de um corpo e sua velocidade angular

  • Momento angular de uma partícula:
  • Momento angular de um corpo rígido:

Ok, vamos explicar isso um pouco melhor.

A gente já ouviu falar em momento linear, que também é chamado de quantidade de movimento, que diz que quanto mais pesado ou mais rápido é um corpo, mais movimento esse corpo tem.

O momento angular é o irmão do momento linear, mas que trata da rotação e por isso utiliza a velocidade angular do corpo! Fazendo uma análise das unidades, vemos que a unidade de medida do momento angular é no Sistema Internacional.

Como calcular o momento angular de uma partícula?

Beleza, então imagina ter que calcular o momento angular de uma partícula de massa que se move em movimento circular presa por um fio de tamanho  em cima de uma mesa:

Partícula em movimento circular
Partícula em movimento circular

Então, a partícula tem massa e uma certa velocidade tangencial , portanto ela possui momento linear. Se você não lembra, momento linear de uma partícula é dado pela fórmula:

Mas não podemos esquecer que ela também está fazendo um movimento circular, então como ela está rodando, ela vai possuir uma certa quantidade de movimento angular, ou seja, momento angular! Que podemos calcular com o seguinte produto vetorial:

Onde é o vetor distância, ou braço;  é o nosso amigo momento linear; e é o momento angular.

Fazendo a substituição do momento linear na fórmula do momento angular de uma partícula:

Usualmente, essa fórmula é utilizada para calcular o momento angular de corpos pequenos.

Módulo do momento angular de uma partícula

Podemos lembrar que, quando temos um produto vetorial, podemos usar que o módulo é igual a:

onde é o ângulo formado entre o vetor distância e a velocidade.

Exemplo: Lembrando do exemplo anterior da partícula rodando presa por um fio, se a massa for igual a , a velocidade tenha módulo igual a , o raio para rotação  e o ângulo (como visto no desenho), podemos calcular a quantidade de movimento angular:

Sentido do momento angular

Para isso nós usamos a regra da mão direita, isso é, fazemos os quatro dedos girarem no mesmo sentido que a partícula, e dessa forma o dedão vai apontar para a direção do momento angular.

Regra da mão direita
Regra da mão direita

Uma outra forma de escrever a regra da mão direita é: o dedo médio aponta para a direção do vetor velocidade; o dedo indicador aponta a direção do vetor distância, consequentemente, o polegar vai apontar pra direção do momento angular. Vamos pensar nesse primeiro caso aqui:

Vetores para regra da mão direita
Vetores para regra da mão direita

Pela regra da mão direita, teremos:

Sentido de giro
Sentido de giro

Exemplo 2: Se considerarmos o braço , a velocidade , com a massa , o momento angular será igual a:

Momento angular de corpos rígidos

Quando pensamos em corpos extensos como um ventilador de teto com duas pás, podemos pensar ele como uma barra homogênea rodando em volta de um eixo que passa pelo seu centro de massa:

Pás de ventilador
Pás de ventilador

Podemos utilizar o momento de inércia  e a velocidade angular para descobrir o momento angular:

Onde o momento angular vai ter a direção da velocidade angular.

Momento angular paralelo a velocidade angular
Momento angular paralelo a velocidade angular

Lembrando que a direção e o sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão direita:

Ou seja, tem a seguinte direção:

Direção de giro
Direção de giro

Relação entre momento angular e torque

Quando dizemos que o momento linear se conserva, dizemos que o sistema está livre da atuação de forças externas. Então se existe a variação do momento linear, existe algum tipo de Força no sistema que ta gerando essa variação. Podemos ver isso pela fórmula que relaciona força, momento linear, e tempo:

Na rotação não é tão diferente, mas sabemos que haverá uma troca de variáveis.

  • O momento linear vira o momento angular ;
  • A força vira o torque .

Então, o momento angular está intimamente relacionado a existência, ou não, de torques no sistema. Ou seja, se nós variarmos a quantidade de torque no sistema, ele vai variar nosso momento angular, concorda?

Por exemplo, se eu colocar mais torque no nosso ventilador, no sentido do movimento, ele vai girar mais rápido! Assim, podemos encontrar essa variação do momento angular com o torque fornecido no nosso problema ou o contrário.

Torque constante

Primeiro se liga nesse gráfico :

Gráfico L x t
Gráfico L x t

A pergunta é: que informações conseguimos tirar desse gráfico? Aprendemos ali em cima que:

Pelo gráfico, vimos que a variação do momento angular com o tempo segue uma relação linear, então, de cara podemos falar que o torque é constante!

A inclinação da reta define o valor do torque:

Se tivermos mais informações sobre o corpo que está sendo analisado, podemos ir mais além! Sabendo o momento de inércia, usamos a segunda lei de Newton da rotação:

E encontramos a aceleração angular a que o corpo está sujeito!

Torque variável

Outro gráfico comum é o de torque por tempo, :

Torque versus tempo
Torque versus tempo

Temos aí uma curva aleatória do torque variando com o tempo. O que você faria se te pedissem o momento angular que age no corpo no momento ?

Vamos às equações:

Se integrarmos dos dois lados:

Áá

Portanto, se considerarmos que o momento angular no instante é nulo, o momento angular no tempo é a área sobre o gráfico até o ponto .

Show, temos mais um conceito apresentado, mas é preciso praticar pra que ele seja entendido. E pra não restar dúvidas, que tal ver um vídeo sobre momento angular?!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um avião de 1200   k g está voando em uma linha reta a 80   m / s , 1,3   k m acima do solo. Qual é o módulo do momento angular do avião em relação a um ponto no solo verticalmente abaixo do local onde ele se encontra?

Passo 1

Essa aqui não é nada mais do que a aplicação da fórmula do momento angular:

L = m v r

Já que a velocidade e o vetor distância estão fazendo um ângulo de 90 ° entre si. Se liga:

Então:

L = 1200   .   80   .   1,3   .   10 3

L = 124,8   .   10 6   k g   .   m 2 / s

Resposta

L = 124,8   .   10 6   k g   .   m 2 / s

Exercício Resolvido #2

No instante da Fig. 11-41, duas partículas se movem em um plano x y . A partícula P 1 possui uma massa de 6,5   k g e uma velocidade v 1 = 2,2   m / s e está a uma distância d 1 = 1,5   m do ponto O . A partícula P 2 possui uma massa de 3,1   k g e uma velocidade v 2 = 3,6   m / s e está a uma distância d 2 = 2,8   m do ponto O . Quais são (a) o módulo e (b) a orientação do momento angular resultante das duas partículas em relação ao ponto O ?

Passo 1

Essa é uma boa questão pra botar em prática o que você aprendeu sobre regra da mão direita!

Vamos usar o sistema de eixos dado na figura, onde o eixo z aponta para fora da tela do seu computador.

Queremos o momento angular resultante, que é dado por:

L → = L 1 → + L 2 →

L → = m 1 d 1 → × v 1 → + m 2 ( d 2 → × v 2 → )

Onde d 1 → e d 2 → são vetores que tem origem no ponto O e terminam nos pontos onde estão as partículas P 1 e P 2 , respectivamente.

Substituindo os valores das massas, bem como o módulo, direção e sentido das velocidades e das direções, temos:

L → = 6,5   .   1,5   j ^ × 2,2   i ^ + 3,1   .   ( 2,8   i ^ × 3,6   j ^   )

Usando da regra da mão direita para calcular i ^   x   j ^ e j ^   x   i ^ :

L → = 6,5   .   2,2   .   1,5 -   k ^ + 3,1   .   3,6   .   2,8   k ^

L → = - 21,45 + 31,25   k ^

L → = 9,8   k g . m 2 s   k ^  

Resposta

  1. 9,8   k g . m 2 / s
  2. Perpendicular ao plano x y , apontando para fora da tela.

Exercício Resolvido #3

Considere uma partícula de massa m presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento d , formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distância d / 2 do teto; g é o módulo da aceleração local da gravidade. Qual é o módulo do momento angular da partícula com relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória?

  1. L = m d 2 g d
  2. L = m d g d
  3. L = 0
  4. L = m d g d / 2
  5. L = m d 2 g d / 3

Passo 1

O momento angular nesse caso pode ser calculado como

L = d ⋅ p

Isso porque o braço, nesse caso é o comprimento do fio, que é d .

Passo 2

Vamos agora calcular a velocidade da partícula que é o que precisamos para achar o seu momento linear p .

Como temos conservação de energia:

E m 0 = E m f

A energia inicial é:

E m 0 = U 0

Isso porque ele parte do repouso. Considerando o ponto mais baixo da trajetória com altura zero.

U 0 = m g ⋅ d 2 = m g d 2

A energia final é:

E m f = K

K = m v 2 2

Igualando:

m g d 2 = m v 2 2

v 2 = g d

v = g d

Passo 3

O momento linear fica igual a:

p = m v = m g d

E seu momento angular fica igual a:

L = m d g d

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #4

Três partículas de massas iguais a m movem-se na ausência de forças externas com velocidades v → 1 = - v î ,   v → 2 = - v î e v → 3 = - v î + v j ^ . Num dado instante elas ocupam as posições indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total L → O deste sistema de partículas em relação a origem O do eixo de coordenadas da figura é

(a) 0 →

(b) - 2 a v m k ^

(c) a v m k ^

(d) - a v m k ^

(e) - 3 a v m k ^

Passo 1

A gente calcula o momento angular de uma partícula em relação à origem com a fórmula:

L → = ± d p   k ^ ,

d seria como o braço da alavanca pro torque, a distância da direção da velocidade da partícula à origem, enquanto p = m v é seu momento linear.

O sinal é positivo quando o momento angular faz girar no sentido anti-horário e negativo se ele faz girar no sentido horário.

Passo 2

Vamos começar pela partícula de velocidade v → 1 .

Ela está a uma distância a da origem, e faz girar no sentido anti-horário, então o seu momento angular em relação à origem é:

L → 1 = a p k ^

⇒ L → 1 = a m v k ^

Passo 3

A partícula de velocidade v → 2 também está a uma distância a da origem, mas ela faz girar no sentido horário, então seu momento angular em relação à origem é:

L → 2 = - a p k ^

⇒ L → 2 = - a m v k ^

Passo 4

Vamos finalizar com a partícula de velocidade v → 3 . Repare que a direção dela aponta diretamente pra origem, então pra essa partícula temos d = 0 . Logo,

L → 3 = 0 →

Passo 5

Então o momento angular total L → O desse sistema em relação à origem O é dado por:

L → O = L → 1 + L → 2 + L → 3

⇒ L → O = a m v k ^ - a m v k ^ + 0 →

⇒ L → O = 0 →

Resposta

Alternativa (a)

´

Exercício Resolvido #5

A figura mostra a trajetória reta de uma partícula de massa m no plano x y com velocidade constante v → . É INCORRETO afirmar sobre o movimento que:

(a) o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.

(b) o momento angular em relação à origem é nulo.

(c) o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo y é nulo.

(d) o torque total sobre a partícula é nulo.

(e) a força resultante sobre a partícula é nula.

Passo 1

Vamos analisar as alternativas uma a uma:

Alternativa (a): o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.

Pela fórmula:

L → = I . ω

Derivando dos dois lados:

d L → d t = I . α

d L → d t = τ e x t →

Ou seja, o momento angular só varia na presença de um torque externo ao sistema. Como não tem nenhuma força externa atuando no sistema, também não tem torque externo. Logo o momento angular não varia.

Então a alternativa (a) é verdadeira.

Alternativa (b): o momento angular em relação à origem é nulo.

O momento angular pode ser calculado por:

L → = r → × m v →

Onde r → é o vetor posição em relação a algum ponto. Para que esse produto vetorial seja nulo, o vetor posição deve estar paralelo à velocidade.

O vetor posição da partícula em relação a origem não está paralelo a velocidade. Então a alternativa é a incorreta que estamos procurando!

Vamos olhar as outras só para ter certeza.

Alternativa (c): o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo y é nulo.

Essa é a mesma coisa que a alternativa anterior, só que agora é em relação ao ponto de interseção com o eixo y . E nesse caso, o vetor posição está em paralelo com a velocidade e o momento angular realmente será nulo.

Então a alternativa é verdadeira.

Alternativa (d): o torque total sobre a partícula é nulo.

Como já dissemos na alternativa (b), visto que não há força externa, também não haverá torque externo. Assim diz a fórmula:

τ → = r → × F →

Logo a alternativa é verdadeira.

Alternativa (e): a força resultante sobre a partícula é nula.

Também já dissemos que não possui força externa sobre a partícula. Isso pode ser provado pelo fato de a velocidade ser constante. Então pela fórmula:

F → = m . a →

Se não há aceleração, a força resultante é nula.

Resposta

Letra (b)

Exercício Resolvido #6

A Fig. 11-46 mostra o torque τ que age sobre um disco inicialmente estacionário que pode girar em torno do seu centro como um carrossel em função do tempo. Qual é o momento angular do disco em relação ao eixo de rotação nos intantes (a) t = 7,0   s e (b) t = 20   s ?

Passo 1

Aprendemos que, se temos um gráfico τ   x   t :

L T = Á r e a   d o   g r á f i c o   a t é   o   t e m p o   T

Então vamos lá:

Passo 2

  1. T = 7,0   s
  2. Calculando as áreas, tendo como base que cada quadradinho tem tamanho 1:

    1. A 1 , retângulo de base 2 e altura 8 :
    2. A 1 = 2   .   8 → A 1 = 16

    3. A 2 , trapézio de base maior 8 , base menor 6 e altura 2:
    4. A 2 = 8 + 6 .   2 2 → A 2 = 14

    5. A 3 , retângulo de base 3 e altura 6 :

    A 3 = 3   .   6 → A 3 = 18

    Portanto, como o disco está em estado estacionário( L 0 = 0 ), temos:

    L 7 = 16 + 14 + 18

    L 7 = 48   N . m . s

    Passo 3

  3. T = 20,0 s

Já calculamos a soma de A 1 ,   A 2 e A 3 , nos resta então calcular as outras duas áreas:

  • A 4 , área de um triângulo de base 2 e altura 6 .
  • A 4 = 2   .   6 2 → A 4 = 6

  • A 5 , área de um trapézio de base maior 11 , base menor 6 e altura 6 .

A 5 = 11 + 6 . 6 2 → A 5 = 51

E então, lembrando que devemos diminuir a última área, já que está abaixo do eixo, temos:

L 20 = 48 + 6 - 51

L 20 = 3   N . m . s

Resposta

  1. 48   N . m . s
  2. 3   N . m . s

Exercício Resolvido #7

O momento angular de um volante com um momento de inércia de 0,140   k g   .   m 2 em relação ao eixo central diminui de 3,00 para 0,800   k g   .   m 2 / s em 1,50   s . (a) Qual é o módulo do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o volante durante esse período? (b) Supondo que uma aceleração angular constante, de que ângulo o volante gira? (c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante? (d) Qual é a potência média do volante?

Passo 1

Aprendemos que:

τ = d L d t

Mas, como nesse item ele pede o torque médio:

τ m é d i o = ∆ L ∆ t = 0,8 - 3 1,5 = - 2,2 1,5

τ m é d i o = - 1,47   N . m

Como foi pedido o módulo, a resposta da letra (a) é apenas o valor absoluto do torque médio.

τ m é d i o = 1,47   N . m

Passo 2

Conhecemos a relação:

L = I ω

E, temos também a equação de torricelli da rotação, se liga:

ω 2 = ω 0 2 + 2 α ∆ θ

Como o momento de inércia é uma constante:

L I 2 = L 0 I 2 + 2 α ∆ θ

Para encontrar o valor de α , vamos usar a segunda lei de Newton da rotação:

τ = I α

Agora sabemos todos os valores, exceto ∆ θ :

0,8 0,14 2 = 3 0,14 2 + 2 - 1,47 0,14 ∆ θ

∆ θ = 20,3   r a d

Passo 3

Assim como o trabalho de uma força lá na translação era dado por:

W = F   .   d

Aqui é só mudar as letrinhas:

  • A força vira o torque
  • A distância vira o ângulo percorrido

W = τ   .   ∆ θ = - 1,47   .   20,3

W = - 29,8   J

Passo 4

A potência mantém a sua definição: trabalho realizado por tempo.

P = W ∆ t = 29,8 1,5

P = 19,8   W

Resposta

(a) 1,47   N . m

(b) 20,3   r a d

(c) - 29,8   J

(d) 19,8   W

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