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Campo Elétrico Gerado por um Disco

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Teoria

Fala pessoal!

Além do caso das linhas de cargas, também vamos precisar aprender a calcular o campo elétrico gerado por discos, então vem comigo!

Campo Gerado por Disco de Cargas

Vamos pegar um disco de cargas, de raio R , no plano x y , carregado uniformemente com uma carga positiva Q . E digamos que você precisa encontrar o campo elétrico em um ponto P qualquer no eixo z .

E para calcular o campo elétrico de um corpo extenso, o primeiro passo é dividi-lo em pedaços infinitesimais de carga d q , pois o campo elétrico E → gerado pelo corpo vai ser a soma do campo elétrico d E → gerado por cada pedaço de carga.

d E → = k d q d 2 r ^

E → = ∫ d E → = ∫ k d q d 2 r ^

Mas beleza, quem vai ser o nosso pedaço de carga nesse caso?

Quando tínhamos uma linha de carga, nós pegávamos um pedaço infinitesimal de carga que era um ponto da linha de carga.

Agora que temos um disco de carga, nós vamos pegar um pedaço infinitesimal de carga que será uma linha de carga, nesse caso, uma circunferência de raio r .

Agora temos que olhar para o campo elétrico gerado por esse anel de carga, e o lance aqui é encontrar a simetria do problema.

Se olharmos para o campo elétrico de dois pedaços de carga diametralmente opostos desse anel de cargas, nós vamos ter algo assim:

Repara só que a componente em y desses campos elétricos vão se anular e vai sobrar apenas a componente em z :

E isso é válido para todos os pontos do anel de cargas, pois todos eles terão um outro ponto diametralmente oposto que irá anular a componente do campo, ficando apenas com a componente que aponta na direção do eixo z .

Como o anel de cargas gera um campo na direção do eixo z , o disco de cargas (que é a soma de vários anéis de carga), também vai ter um campo na direção do eixo z :

E → = E z   k ^

E para encontrar essa componente do campo no eixo z , faremos:

E z = ∫ d E z

Mas quem é esse d E z ? Se olharmos na figura em que o d E → está decomposto, vemos que ele vai ser:

d E z = d E s e n θ

Por fim, podemos escrever então que:

E z = ∫ d E s e n θ

E z = ∫ k d q d 2 s e n θ

Simetria feita, agora está na hora de substituir esses valores aí, e agora vai entrar a trigonometria :)

A distância d do pedaço infinitesimal de carga até o ponto P e o s e n θ são valores que iremos encontrar a partir do seguinte triângulo:

A distância d é a hipotenusa do triângulo retângulo, portanto:

d 2 = z 2 + r 2

d = z 2 + r 2

E o ângulo θ do triângulo é o mesmo ângulo lá do vetor d E → , e achamos o seu seno assim:

s e n θ = C O H P = z d

E substituindo o d , que acabamos de encontrar:

s e n θ = z z 2 + r 2

Agora é só substituir geral na fórmula lá!

E z = ∫ k d q d 2 s e n θ

E z = ∫ k d q z 2 + r 2 × z z 2 + r 2

E z = ∫ k z d q z 2 + r 2 3 / 2

Agora, você deve estar se perguntando, como eu integro esse negócio aí?

O que a gente precisa é trocar esse d q por um integrador que a gente consiga integrar.

Lá no início, eu disse que esse disco está uniformemente carregado. Como ele é um objeto em 2 D , ele possui uma densidade superficial de carga σ , que me dá a relação entre um pedaço de carga e um pedaço de área do disco.

σ = d q d A

Como esse valor é constante, pois o disco está uniformemente carregado, nós podemos escrever ainda que:

σ = d q d A = Q A = Q π R 2

d q = Q d A π R 2

Mas esse d A aí, ainda não tá bom, mas se liga, a área de um círculo é o quê:

A = π r 2

Deriva em função de r ...

d A d r = 2 π r  

d A = 2 π r d r

E substitui de volta, vamos ter o nosso d q em função de d r .

d q = 2 Q π r d r π R 2 = 2 Q r d r R 2

Se liga numa coisa, o r do numerador é o raio dos anéis que são nossos pedaços infinitesimais de carga e o R do denominador é o raio do disco.

(Pode ser que você encontre uma questão que te dê a densidade superficial, ao invés da carga e do raio do disco, aí o processo é o mesmo, só que ao invés de escrever d Q em função da carga e do raio, você vai deixa-lo em função da densidade superficial σ ).

Agora substitui isso lá na fórmula de volta!

E z = ∫ k z z 2 + r 2 3 / 2 2 Q r d r R 2

E tudo que é constante e não varia com o raio r dos anéis de carga, vai sair da integral.

E z = 2 Q k z R 2 ∫ r d r z 2 + r 2 3 / 2

Antes de resolver, vamos colocar os limites de integração. Aqui queremos integrar todos os anéis de carga que compõe o disco de carga. Para isso, vamos variar o nosso integrador que é o raio do anel de carga r , indo de 0 até R que é o raio do disco.

E z = 2 Q k z R 2 ∫ 0 R r d r z 2 + r 2 3 / 2

E essa integral aí, assusta né!

Mas relaxaaaaa, por que ela é resolvida por substituição, olha só:

u = z 2 + r 2

E derivando...

d u = 2 r d r   ∴ d r = d u / 2 r

Aplicando no nosso caso:

E z = 2 Q k z R 2 ∫ r d u 2 r u 3 2

Ajustando tudo para integrar,

E z = Q k z R 2 ∫ u - 3 2 d u

E z = Q k z R 2 × 1 - 1 2 × u - 1 2  

E por fim, voltamos com a variável e os limites de integração

E z = 2 Q k z R 2 × - 1 z 2 + r 2 R 0

E substituindo nossos limites:

E z = 2 Q k z R 2 × - 1 z 2 + R 2 - - 1 z 2

E z = 2 Q k z R 2 × - 1 z 2 + R 2 + 1 z

Organizando um pouco mais, vou jogar o z para dentro para poder cortar com o denominador da segunda fração...

E z = 2 Q k R 2 × - z z 2 + R 2 + z z

E z = 2 Q k R 2 × 1 - z z 2 + R 2

E pronto, encontramos o campo elétrico gerado pelo disco de cargas, aí tendo o valor da carga, do raio do disco e da altura z do ponto em relação ao disco, podemos encontrar o campo gerado!

E → = E z k ^

E → = 2 Q k R 2 × 1 - z z 2 + R 2 k ^

E se o disco tiver carga negativa?

Nesse caso, a resposta é a mesma, só que ao invés do campo apontar para cima, ele apontaria para baixo!

E → = 2 Q k R 2 × 1 - z z 2 + R 2 ( - k ^ )

É isso aí, partiu praticar?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P1-2013.1-1- c

Uma barra delgada de comprimento L   [ m ] é envergada até formar um semi-círculo, conforme mostra a Figura 1.

a ) Se a barra tem uma densidade de carga uniforme λ > 0   [ C / m ] , calcule o campo elétrico na origem.

b ) Onde deveria ser colocada uma carga pontual de valor igual ao da carga total da barra para que o campo na origem fosse nulo?

c ) Considere agora que esse semicírculo se torne um semi-disco de mesmo raio com um orifício concêntrico semicircular de raio L / 10 π   [ m ] e com uma densidade superficial uniforme σ   [ C / m 2 ] , como mostrado na Figura 2. Calcule o campo elétrico na origem devido a esta nova configuração.

Passo 1

a )

Para calcular o campo elétrico na origem, devido a barra carregada, podemos usar a equação do campo gerado por uma carga infinitesimal:

d E → = k . d q r 2 r ^

Pela simetria, vemos que dois pontos simétricos em relação ao eixo y , produzem campos infinitesimais cujas componentes x irão cancelar, sobrando apenas as componentes y que estão se somando!

Então, queremos:

d E → . sen ⁡ θ = k . d q r 2 . sen ⁡ θ ( - y ^ )

No nosso caso, temos d q = λ . d l = λ . r . d θ , substituindo:

d E → . sen ⁡ θ = k . λ . r . d θ r 2 . sen ⁡ θ ( - y ^ )

Integrando:

E → y = k . λ r ∫ 0 π sen ⁡ θ d θ   ( - y ^ )

E → y = k . λ r ∫ 0 π sen ⁡ θ d θ   ( - y ^ )

E → y = k . λ r - cos ⁡ θ 0 π   ( - y ^ )

E → y = 2 k . λ r   ( - y ^ )

Onde π . r = L , logo:

E → y = 2 k . π . λ L   ( - y ^ ) [ N / C ]

Passo 2

b )

Para que o campo em P seja nulo, o campo gerado pela carga Q deve ser igual em módulo ao campo gerado pelo fio, e de sinal oposto para poder cancelá-lo. O campo gerado pela carga é dado por:

E → Q = k . Q y 2 R ^

Como a carga possui a mesma carga total da barra:

Q = λ . L

Substituindo e igualando ao valor do campo:

k . λ . L y 2 = 2 k . π . λ L

y 2 = L 2 2 . π

y = ± L 2 . π

A carga Q , por ter mesmo sinal que a barra, deve ser colocada no lado oposto, ou seja:

y = - L 2 . π  

Passo 3

c )

Para determinar o campo na origem, devido o disco carregado, podemos partir do que já calculamos no item a , para um semicírculo à uma distancia r da origem, temos que o campo gerado é:

d E → y = 2 k . σ r d r   ( - y ^ )

Integrando de r = L / 10 . π até r = L / π , temos:

E → y = ∫ L 10 π L π 2 k . σ r d r   ( - y ^ )

E → y = 2 k . σ ∫ L 10 π L π 1 r d r   ( - y ^ )

E → y = 2 k . σ ln ⁡ L π - ln ⁡ L 10 π   ( - y ^ )

E → y = 2 k . σ ln ⁡ 10   - y ^ [ N / C ]

Resposta

a ) E → y = 2 k . π . λ L   ( - y ^ ) [ N / C ]

b ) y = - L 2 . π  

c ) E → y = 2 k . σ ln ⁡ 10   - y ^ [ N / C ]

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 47-35.

A que distância do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado de 0,600 m de raio o módulo do campo elétrico é igual à metade do módulo do campo no centro do disco?

Passo 1

Observar que, no caso do disco, os componentes infinitesimais que devemos integrar são pequenas rosquinhas de largura d r e raio r como a indicada em verde na figura acima.

A área infinitesimal dessas rosquinhas vale a derivada da área do círculo de raio r em relação a r :

A = π r 2 → d A d r = 2 π r → d A = 2 π r d r

Passo 2

Calcular a carga infinitesimal da região verde, multiplicando a pequena área d A pela densidade superficial de campo, que é constante pois o disco está uniformemente carregado.

d q = σ d A = 2 π r σ d r

Passo 3

Note que a resultante do campo elétrico se encontra no eixo Z , devido à simetria do problema. Isso por que dois pontos do anel radialmente opostos dão campos de mesma intensidades e que somados dão um campo na direção z ^ como na figura abaixo

Então:

E R E S = E Z

Passo 4

Determinar quem é o campo infinitesimal gerado por cada pedacinho verde da figura e substituir d q na equação encontrada.

d E = K d q P M ¯ 2 = K 2 π r σ d r P M ¯ 2 = K 2 π r σ d r z 2 + r 2 2

d E = K 2 π r σ d r z 2 + r 2

Passo 5

Precisamos descobrir E Z , para isso devemos projetar o campo infinitesimal do passo anterior no eixo O z .

d E z = d E cos ⁡ α = d E z P M ¯ = d E z z 2 + r 2 = K 2 π r σ d r z 2 + r 2 z z 2 + r 2

d E z = K . 2 π r σ z d r z 2 + r 2 3 2

Passo 6

Resolvendo a integral:

E z = ∫ r = 0 r = R d E z = ∫ 0 R K 2 π r σ z d r z 2 + r 2 3 / 2

E z = 2 π σ z K ∫ 0 R r . d r z 2 + r 2 3 / 2

Agora o lance é resolver essa integral. GERALMENTE essa integral vem num formulário da sua prova, mas se não vier vamos ensinar aqui você a fazer! Pra isso pega aí aquela sua caneta/lapiseira/lápis especial e me acompanha, belê?

Passo 7

Primeiro de tudo, essa integral não sai direto! Pra isso temos que fazer uma substituição.

Olhando pra ela

∫ 0 R r d r z 2 + r 2 3 / 2

Vamos ter que simplificar esse denominador. Como em cima tem um r d r , a integral tá pedindo pra gente fazer a seguinte substituição

u = z 2 + r 2

De forma que

d u = 2 r d r → r d r = d u 2

E os limites de integração ficam

r = 0 → u = z 2 + 0 2 = z 2

r = R → u = z 2 + R 2

Então a nossa integral vai ficar

∫ 0 R r . d r z 2 + r 2 3 / 2 = ∫ z 2 R 2 + z 2 d u / 2 u 3 / 2 = 1 2 ∫ z 2 R 2 + z 2 u - 3 / 2 d u

Essa integral vai ser

∫ u - 3 / 2 d u = - 2 u - 1 / 2

Assim a nossa integral fica

1 2 ∫ z 2 R 2 + z 2 u - 3 / 2 d u = 1 2 - 2 u - 1 / 2 = - 1 u 1 / 2 z 2 z 2 + R 2 = 1 u 1 / 2 z 2 + R 2 z 2

1 2 ∫ z 2 R 2 + z 2 u - 3 / 2 d u = 1 z 2 - 1 z 2 + R 2

Finalmente

∫ 0 R r . d r z 2 + r 2 3 / 2 = 1 z - 1 z 2 + R 2

Voltando para o nosso campo

E z = 2 π σ z K 1 z - 1 z 2 + R 2

Supondo z > 0 , vamos ter z = z

E z = 2 π K σ 1 - z R 2 + z 2

Passo 8

Determinar o campo elétrico no centro do disco, que ocorre quando z = 0 :

E z = 0 = 2 π . K . σ . 1 - 0 R 2 + 0 = 2 π . K . σ

Queremos saber em que posição o campo vale a metade disso.

Passo 9

Logo:

2 π . K . σ 2 = π . K . σ = 2 π . K . σ . 1 - z R 2 + z 2 →

1 2 = 1 - z R 2 + z 2 →

z R 2 + z 2 = 1 2 →

z = R 3 = 0,600 3 = 0,346   m

Resposta

z = 0,346   m

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 47-37.

Um engenheiro foi encarregado de projetar um dispositivo no qual um disco uniformemente carregado de raio R produz em um ponto P sobre o eixo do disco a uma distância 2,00 . R do plano do disco. Para economizar material decidiu-se substituir o disco por um anel com o mesmo raio externo R e um raio interno R 2 . O anel tem a mesma densidade superficial de cargas que o disco original. Qual é a razão entre o novo campo no ponto P e o campo antigo?

Passo 1

Observe que, no caso do disco, os componentes infinitesimais que devemos integrar são pequenos anéizinhos de largura d r e raio r como a indicada em verde na figura abaixo.

A área desse anelzinho vai ser o seu comprimento vezes a sua espessura d r

d A = 2 π . r . d r

Passo 2

A carga infinitesimal da região verde, é dada pelo produto da pequena área d A pela densidade superficial de carga, que é constante pois o disco está uniformemente carregado.

d q = σ . d A = 2 π . r . σ . d r

Passo 3

Essa distribuição de carga tem uma simetria cilindrica. Isso significa se pegarmos dois pedaços do anel diametralmente opostos (como na figura) e somarmos o campo produzido por cada um deles, o campo resultante vai estar na direção z ^

Então o nosso campo é da forma

E → R = E R z ^

Lembrando que isso tem que tá bem justificadinho na sua prova hein! Se falar que é assim só por causa da simetria dá ruim :/

Passo 4

Agora temos que montar a expressão pro campo infinitesimal do anel. Como todos os pontos do anel estão a mesma distância do ponto que queremos calcular o campo, vamos ter então

d E → a n e l = K d q ρ 2 z ^

Onde ρ = r 2 + z 2 .

Mas ainda falta uma coisa! Cada infinitésimo produz um campo inclinado em relação ao eixo z e quando somamos todos os pedaços do anel, ficamos só com a componente na direção z . Pela figura abaixo a componenente z é dada por

d E z = d E c o s ( α )

E então

d E → a n e l = K d q ρ 2 cos ⁡ α z ^

Pela figura temos que

cos ⁡ α = z ρ = z z 2 + r 2

Assim

d E → a n e l = K d q ρ 2 z z 2 + r 2 z ^

Subsitituindo ρ e d q = 2 π r σ d r

d E → a n e l = K 2 π r σ d r ( z 2 + r 2 ) z z 2 + r 2 z ^

Passo 5

Resolvendo a integral no caso (A):

E z ( A ) = ∫ 0 R d E z = ∫ 0 R K . 2 π . r . σ . z . d r z 2 + r 2 3 / 2